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7 – Integral Tripla
7.1 – Definição
Seja w = f(x,y,z) uma função de três variáveis definida numa região fechada e limitada T do espaço xyz.
Se subdividirmos T em pequenas sub-regiões traçando planos paralelos aos planos coordenados.
Numeramos os paralelepípedos no interior de T de 1 a n. Em cada um dos pequenos paralelepípedos Tk, escolhemos um ponto arbitrário (xk, yk, zk).
Formamos a soma
=
n
k
f xk yk zk Vk 1
onde ∆ V (^) k é o volume do paralelepípedo Tk.
Fazemos isso de maneira arbitrária, mas de tal forma que a maior aresta dos paralepípedos Tk tende a zero quando n →∞.
Se existir ∑
→ ∞ =
n
k n f xk yk zk Vk 1
lim ( , , ) , ele é chamado de integral tripla da
função f(x, y, z) sobre a região T e representamos por
T
fdV ou ∫∫∫
T
f ( x , y , z ) dxdydz.
7.2 – Propriedades
De forma análoga à integral dupla, temos:
a) ∫∫∫ = ∫∫∫
T T
kfdV k fdV
b) ∫∫∫ + =∫∫∫ +∫∫∫
T T T
( f (^) 1 f 2 ) dV f 1 dV f 2 dV
c) ∫∫∫ =∫∫∫ +∫∫∫
T T 1 T 2
fdV fdV fdV , onde T = T 1 ∪ T 2
7.3 – Cálculo da integral tripla
Podem ser calculadas através de integrações sucessivas, reduzindo-a inicialmente a uma integral dupla. Podemos ter diversas situações:
1º caso ) A região T é delimitada inferiormente pelo gráfico da função z = h 1 (x, y) e superiormente pelo gráfico de z = h 2 (x, y ), onde h 1 e h 2 são funções contínuas sobre a região R do plano xy.
Nesse caso, temos
R
h xy
T h xy
f x yzdV f xy zdz dxdy
(, )
(,)
2
1
Se a região R for do tipo
a x b
f x y f x R
: 1 2 , a integral tripla iterada será:
f x yzdV f xy z dzdydx
b
a
f x
f x
h xy
T h xy
( )
()
(,)
(,)
2
1
2
1
2º caso ) A região T é delimitada à esquerda pelo gráfico da função y = p 1 (x, z) e à direita pelo gráfico de y = p 2 (x, z ), onde p 1 e p 2 são funções contínuas sobre a região R’ do plano xz.
A figura mostra a situação:
3) Calcular =∫∫∫ −
T
I ( x 1 ) dV , onde T é a região do espaço delimitada pelos planos
y = 0, z = 0, y + z = 5 e pelo cilindro parabólico z = 4 - x^2.
- Considere o sólido delimitado por x^2 + y^2 = 4 , z = 0 e z = 4. Determine o seu
volume utilizando integral simples, dupla e tripla.
7.5 – Exercícios
A - Calcular a integral tripla dada sobre a região indicada
T
xyz^2 dV^ , onde T é o paralelepípedo retângulo [0, 1] X [0 , 2] X [1, 3].
T
( 3 x 2 y z ) dV , onde
z
y
x T
T
( x^2 y^2 ) dV , onde T é o cilindro x^2 + y^2 < 1 e 0 < x < 4.
T
dV onde T é a região do 1º octante limitada por x = 4 - y^2 , y = z, x = 0 e z = 0
B - Esboçar a região de integração e calcular as integrais.
1 − −−
0
1
0
1
0
y x y
dzdxdy 2) ∫ ∫ ∫
1 +^ +
0
2
(^20)
x
x
x y xdzdydx
Respostas: 1) 26/3 2) 240 3) 2π 4) 4
