Exercícios de Integral Tripla, Exercícios de Cálculo Diferencial e Integral

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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II – 014.

Observações: 1) Todos os exercícios propostos devem ser resolvidos

e entregue no dia 02 de fevereiro de 2015.

Integrais Duplas

- Integrais Duplas

Seja z = f(x, y) uma função definida em uma região D do plano e suponhamos que D seja

limitado. A integral dupla pode ser interpretada como o volume do sólido S, limitado por D , pela

superfície z = f(x, y) e pelas retas que passam pela fronteira de D , ou seja,

D

V f ( x , y ) dxdy (1)

Se f(x, y) ≡ 1 , então a integral (1) representa a área da região D , isto é,

D

A ( D ) dxdy

De fato, se {( , ) ; , 0 ( )}

2 D = x y ∈ R a ≤ x ≤ b ≤ y ≤ f x então

b

a

b

a

b fx

a

fx

D

A ( D ) dxdy dy dx y dx f ( x ) dx

() 0

( )

0

que como já vimos, esta integral representa a área limitada pela curva y = f ( x )e pelas retas x = a e x = b.

O próximo resultado nos mostra como devemos calcular a integral dupla.

Teorema: (Teorema de Fubini) – Seja f D ⊆ R → R

2 : uma função contínua em uma região D assim

descrita: D = {( x , y )∈ R ; a ≤ x ≤ b , c ≤ y ≤ d }

2

. Então

d

c

b

a

b

a

d

c D

f ( x , y ) dxdy f ( x , y ) dy dx f ( x , y ) dxdy.

As integrais

d

c

b

a

f ( x , y ) dx dy e

b

a

d

c

f ( x , y ) dydx

são as integrais iteradas ou integrais repetidas de f em D. Na primeira integral calculamos primeiramente

em relação a x mantendo y constante e em seguida calculemos a segunda integral em relação a y. Na

segunda integral calculamos primeiramente em relação a y mantendo x constante e em seguida

calculemos a segunda integral em relação à x.

Exemplos: 1) Calcule a integral

D

xydxdy

2

, onde {( , ) ; 0 1 , 0 1 }

2

D = x y ∈ R ≤ x ≤ ≤ y ≤.

Temos que:

1

0

2 1

0 3

(^11)

0

1

0

3 1

0

1

0

2 2 = = = = ⎥⎦

∫∫ =^ ∫ ∫ ∫ ∫

x dx xdx

y xydxdy xydydx x

D

A integral dupla também pode ser calculada da seguinte maneira:

1

0

3 1

0

2 2

(^11)

0

1

0

2 (^12)

0

1

0

2 2 = = = = ⎥⎦

y dy ydy

x xydxdy xydxdy y

D

2) Calcule o volume do sólido S acima da região {( , ) ; 0 1 , 0 1 }

2 D = xy ∈ R ≤ x ≤ ≤ y ≤ e abaixo do plano

x + y + z = 2.

Observe o sólido na figura ao lado. Então, o volume V do sólido será:

1

0

2 1

0

1

0

1

0

2 1

0

1

0

u v

x xdx x

dx

y V x ydxdy x ydydx y xy

D

= − − = ⎡^ − −

z = 2 – x – y

x

y

z

1

1

2

Solução: A região do plano xy pode ser assim descrita:

D = {( x , y ); 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤− x + 1 }.

Logo, o volume do sólido será:

1

0

1

0

2 2

⎥⎦

= = ⎡^ +

∫∫ ∫ ∫

−+ V f xy dxdy x y dy dx

x

D

3) Calcule o volume do tetraedro limitado pelo plano x + y + z = 1 e pelos planos coordenados. Esboce o

sólido.

1. Calcule o volume do sólido limitado pelas superfícies x

_2

• y_

2 = 1, z = x

_2

• y_

2 e pelos planos

coordenados. Esboce o sólido.

6.2 – Mudança de Coordenadas

Consideremos as funções u = u ( x , y ) e v = v ( x , y )com derivadas parciais de primeira ordem

contínuas em uma região. Esse par de equações pode ser interpretado como uma transformação de uma

região do plano xy em uma região do plano uv, isto é,

xy T xy u v

T D D

onde D e D’ são subconjuntos do R

2

. Chamaremos de Jacobiano da transformação ao número real

x y

x y

v v

u u

x y

u v

∂

As regiões do plano xy e do plano uv serão representadas por Rxy e Ruv , respectivamente. Se a

transformação T for inversível, o par de equações acima representam uma mudança de coordenadas.

Exemplos: 1. Considerar a seguinte transformação: x = r cos θ, x = rsen θ. Esta é a transformação polar.

Calculemos o jacobiano da transformação:

r rsen r

sen

y y

x x

r

xy

r

r

−

θ cos

cos

OBS.: – Coordenadas Polares

O sistema de coordenadas que conhecemos para identificar pontos no plano é o sistema de

coordenadas retangulares. Existe outro sistema de coordenadas que pode ser usado neste sentido: “ O

sistema de coordenadas polares ”. A seguir, veremos como construir e como identificar pontos neste

sistema.

Considere um plano e sobre ele escolha um ponto fixo O , chamado de origem ou pólo do sistema.

A partir do ponto O , em qualquer direção, trace uma semi-reta, normalmente traçada horizontalmente,

chamada de eixo polar.

Seja P um ponto qualquer do plano, distinto de O. Seja θ o

ângulo, em radianos, orientado AOP. Se r = OP , então o par (r, θ )

é formado pelas coordenadas polares do ponto P.

P

r

O A

Exemplos : Identificar os pontos no plano polar.

a) ( 4 , 4 )

π A = b) ( 5 , 2 )

π B = c) ( 3 , 2 )

π C = − d) ( 5 , 2 )

3 π D = −

Obs.: Observe que um ponto pode ter mais de uma representação.

Poderíamos perguntar se existe alguma relação entre as coordenadas retangulares de um ponto P

e suas coordenadas polares? A resposta é afirmativa. Para mostrarmos isto, considere o sistema de

coordenadas cartesianas (retangulares). Faça a origem do plano polar coincidir com a origem do plano

cartesiano e o eixo polar coincidir com o eixo dos x. Suponha que r > 0. Então:

Logocos θ = −cos α. Agora,

cos α cosϑ r x r cos θ

x r

x = ⇒ = ⇒ =

−

e

sen θ sen α y rsen θ

r

y = = ⇒ =

y

P y

x x

Assim,

2 2 2

x + y = r. Se r < 0, então x = − r cos( θ + π)= r cos θ e y = − rsen ( θ + π)= rsen θ.

1. Considere a seguinte região do plano

R: 1 ≤ x + y ≤ 2, x ≥ 0, y ≥ 0.

a) Esboce a região R e sua imagem de R no plano uv , pela transformação u = x – y e v = x + y.

b) Calcule ( , )

x y

uv

c) Encontre a transformação inversa e calcule ( , )

u v

xy

Solução: a)

Em f1 temos: y = 0 e 1 ≤ x ≤ 2. Como u = x – y e v = x + y teremos: u = x e v = x. Daí, v = u e 1 ≤ u ≤ 2.

Em f2 temos: y = 2 − x e 0 ≤ x ≤ 2. Então u = 2 − x e v = 2. Daí, v = 2 e − 2 ≤ u ≤ 2.

Em f3 temos: x = 0 e 1 ≤ y ≤ 2. Então u = − y e v = y. Daí, v = − u e − 2 ≤ u ≤− 1.

Em f4 temos: y = 1 − x e 0 ≤ x ≤ 1. Então u = 1 − x e v = 1. Daí, v = 1 e − 1 ≤ u ≤ 1.

região no plano xy região no plano uv

b) Então

x y

x y

v v

u u

xy

uv J.

c) Resolvendo o sistema u = x – y e v = x + y encontraremos: x u v

2

= + e y u v 2

= − + e

u v

u v y y

x x

uv

xy J.

OBS.: Que relação existe entre J e J’?

As equações que são inversíveis são muito importantes, pois permitem passarmos de um sistema

de coordenadas para outro sistema de coordenadas e vice-versa. Assim a integral dupla de uma função f

sobre uma região D , poderá ser calculada de uma maneira mais simples sobre uma região D’ , imagem de

D pela transformação dada.

Vamos considerar o problema de mudança de variáveis numa integral dupla. Sejam D uma região

do plano xy e D ’ a imagem de D , no plano uv , pela transformação biunívoca de equações

u

v

Naturalmente, uma mudança na descrição da região Ω acarreta inversões na ordem de integração.

Definição: Seja D um domínio regular. Definimos o volume V de D , como sendo

∫∫∫

D

V dxdydz

Exemplos: Calcule:

a) o volume do tetraedro limitado pelos planos coordenados e pelo plano x + y + z = 1.

Solução: A região D pode ser assim descrita:

D = {( x , y ); 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤− x + 1 , 0 ≤ z ≤ 1 − x − y }.

Logo

[ ] 6

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

= (^) ∫∫∫ =∫ ∫ ∫ ∫ ∫

− −− − V dxdydz dzdy dx x ydy dx

x x y x

D

z

D

y

x

b) o volume do sólido limitado pelo cilindro y = x

2 e pelos planos y + z = 4 e z = 0.

c) volume do sólido limitado pelos parabolóides z = 1 – x

2

- y

2 e z = x

_2

• y_

2

- 1.

OBS.: Em cada caso, esboce o sólido.

7.2 – Mudança de Coordenadas

Seja w 1 = f(x, y, z) uma função contínua em um domínio compacto D ⊂ R

3

. Seja D’ a imagem de

D pela transformação x = x(u, v, w), y = y(u, v, w) e z = z(u, v, w) , onde x(u, v, w), y(u, v, w) e z(u, v, w)

são contínuas, têem derivadas parciais contínuas e 0

(, , )

uvw

xyz J. Então

f xyzdxdydz f uvw J dudvdw

D D

∫∫∫ ∫∫∫

'

Em particular, considere a transformação

cilíndrica x = rcos θ , y = rsen θ e z =z, r > 0, 0 ≤ θ ≤ 2π ,

cujo jacobiano é

sen r r

rsen

r z

xyz J =

cos 0

cos 0

CILÍNDRICAS

z

P(x,y,z)

y

θ r

x

Portanto,

f xyz dxdydz f r z rdrd dz

D D

∫∫∫ ∫∫∫

'

Exemplos: Usando coordenadas cilíndricas, calcule:

a) o volume do sólido, no primeiro octante, limitado pelas superfícies x

_2

• y_

2 = 1 e

2 2 z = x + y.

Solução: Vamos descrever a região no R

3

. Temos: 0 ≤ x ≤ 1 ,

2 0 ≤ y ≤ 1 − x e 0.

2 2 ≤ z ≤ x + y O volume do sólido será:

∫∫∫ ∫ ∫ ∫

− +

1

0

1

0 0

x^2 x^2 y^2

D

dxdydz dzdydx.

Em coordenadas cilíndricas teremos:

1

0

2 ∫∫∫ ∫ ∫ ∫ 0 0

π

r

D

dxdydz rdzddr

1

1

1

OBS.: Note que a integral em coordenadas cilíndricas é bem mais simples.

b) o volume da esfera de raio R.

c) o volume do sólido limitado pelo plano z = 2y e pela superfície z = x

_2

• y_

2 .

OBS.: Em cada caso, esboce o sólido.

7.3 – Coordenadas Esféricas

Sejam (x, y, z) as coordenadas retangulares de um ponto P ∈ R

3

e ( ρ , φ , θ ) suas coordenadas

esféricas, descritas abaixo:

Temos portanto, que:

x = ρ sen φcos θ

y = ρ cos φcos θ

z = ρ cos φ

ESFÉRICAS

z

r

P(x,y,z)

ϕ ρ

y

θ r

x

Então

sen

sen

sensen sen sen

sen sensen xyz J

2

cos 0

cos cos

cos cos cos

Exemplos : 1) Calcule o volume do sólido limitado pelas superfícies

2 2 z = x + y , z = 0, e x

_2

• y_

_2

• z_

2 = 2.

Solução: Vejamos a interseção entre as superfícies:

2 2 2 2

2 2 2 2 2

⇒ = ⇒ = ⎪⎭

z z x y z

z x y z x y

Quando z = 1 teremos 1

2 2

x + y = e assim 0 ≤ θ ≤ 2 π. Além disso,

teremos 2 4

1 cos 1 2 cos 1 cos

z = ⇒ρ φ= ⇒ φ= ⇒ φ= ⇒φ=.

Logo 4

π ≤ φ ≤ e 0 ≤ρ ≤ 2. Portanto,

ρ φ φ θ ρ π

π

π

0

2

0

4 0

V = (^) ∫ ∫ ∫ sen d d d =.

1. Calcule o volume do sólido acima do cone

2 2 z = x + y e limitado pela esfera x

_2

• y_

_2

• z_

2 = 2az.

1. Calcule o volume do sólido, limitado pelas superfícies 2 ≤ ρ ≤ 4, 0 ≤ θ ≤ π⁄

4

π ≤ φ ≤.

OBS.: Em cada caso, esboce o sólido.