Baixe Lista de integral tripla e outras Exercícios em PDF para Cálculo para Engenheiros, somente na Docsity!
Universidade Federal Fluminense EGM - Instituto de Matem´atica e Estat´ıstica
GMA - Departamento de Matem´atica Aplicada
LISTA 1 - 2015-
Integral Dupla
- Troque a ordem de integra¸c˜ao em:
(a)
∫ (^) e
1
∫ (^) ln x
0
f (x, y) dydx (b)
0
∫ (^1) −√y
−
1 −y^2
f (x, y) dxdy (c)
− 1
∫ (^) y− 2
y^2 − 4
f (x, y) dxdy
- Use integral dupla para calcular a ´area da regi˜ao limitada por:
(a) x = y^3 , x + y = 2, y = 0
(b) y = x, y = 4x, xy = 36
(no primeiro quadrante)
(c) y^2 = −x, x − y = 4, y = − 1 e y = 2
- Calcule as seguintes integrais:
(a)
D
cos
y^3
dxdy, onde D ´e limitada por
y =
x, y = 2, x = 0.
(b)
1
∫ (^) ln 2
ln y 2
ex^ + 1
dxdy
(c)
0
∫ π 2
arcsen y
cos x
1 + cos^2 x dxdy
(d)
0
√ x
1 + y^3 dydx
(e)
0
∫ √y
√y 2
e
x^3 dxdy +
1
√y 2
e
x^3 dxdy
- Use uma integral dupla para calcular o volume do s´olido W limitado por:
(a) y = 0, z = 0, x + y = 4 e z = 4 − x^2
(b) x = 0, z = 0, x + y = 9 e z = 9 − y^2
(c) x = 0, y = 0, z = 0, x^2 + y^2 = a^2 , x^2 + z^2 = a^2 (a > 0), situado no primeiro octante.
(d) x = 0, y = 0, z = 0, z = 6 − x, x = 4 − y^2 , situado no primeiro octante.
- Passe para coordenadas polares e calcule:
(a)
0
1 −y^2
1 −
1 −y^2
xy dxdy
(b)
0
∫ √ 2 −x 2
x^2
x^2 + y^2 dydx
(c)
1
∫ (^) y
0
x^2 + y^2
dxdy
(d)
0
∫ √ 9 −x 2
0
arctan
y
x
dydx
- Exprima (sem calcular)
∫ π 4
0
∫ (^) 2 cos θ
sec θ
r^2
1 + r sen θ
drdθ como integral iterada em coordenadas retangulares,
nas duas poss´ıveis ordens de integra¸c˜ao.
- Seja I =
D
f (x, y)dxdy =
0
−x
f (x, y)dydx +
1
−
√ 2 x−x^2
f (x, y)dydx.
(a) Transforme I em uma s´o integral iterada na ordem invertida.
(b) Calcule I para f (x, y) =
x^2 + y^2.
- Seja I =
− 1
∫ (^) 1+√ 1 −x 2
1
f (x, y) dydx
(a) Inverta a ordem de integra¸c˜ao em I.
(b) Calcule I para f (x, y) =
x^2 + y^2
- Achar o volume do s´olido limitado superiormente pela esfera x^2 + y^2 + z^2 = 4, inferiormente pelo plano
z = 0 e lateralmente pelo cilindro x^2 + y^2 = 1.
- Calcule o volume do s´olido que n˜ao cont´em a origem e ´e limitado pelas superf´ıcies z = 4 − x^2 − y^2 ,
x^2 + y^2 = 1 e z = 0.
- Calcule o volume do s´olido interior `a esfera x^2 + y^2 + z^2 = 16 e ao cilindro x^2 + y^2 = 4x e acima do
plano z = 0.
- Calcule o volume do s´olido contido no primeiro octante, limitado pelo cone z = r, pelo cilindro r = 3 sen θ
e pelo plano z = 0.
- Uma placa D tem a forma da regi˜ao limitada pelas retas x = 1, x = 2, y = 0 e y = √x 3 . A densidade em
cada ponto ´e inversamente proporcional a distˆancia do pontoa origem. Determine a massa da placa.
- Uma placa fina ´e limitada pela circunferˆencia x^2 + y^2 = a^2 , (a > 0), e tem densidade ρ(x, y) = a
2 a^2 +x^2 +y^2. Calcule o momento de in´ercia polar em fun¸c˜ao de sua massa M.
- Seja uma lˆamina delgada representada pela regi˜ao D, determinada por y ≤ x, y ≥ −x, x^2 + y^2 ≥ 2 x e
x^2 + y^2 ≤ 4 x. Se a densidade em cada ponto ´e dada por ρ(x, y) = √^1 x^2 +y^2
, determine:
(a) A massa de D.
(b) O momento de in´ercia em rela¸c˜ao `a origem.
- Uma placa fina de densidade constante ρ tem a forma de um setor circular de raio a e ˆangulo central
2 α. Mostre que o momento de in´ercia em rela¸c˜ao `a bissetriz do ˆangulo ´e dado por 14 M a^2
1 − sen 2 2 αα
onde M ´e a massa da placa.
- Calcule as coordenadas (¯x, y¯) do centro de massa de uma chapa homogˆena D com o formato de um
triˆangulo is´osceles com base 10cm e altura 5cm.
- Calcule o centro de massa da lˆamina D =
(x, y) ∈ R^2 ; 4x^2 + y^2 ≤ 1 , x ≥ 0
, se a densidade ´e propor-
cional `a distˆancia de (x, y) ao eixo y.
- Calcule o centro de massa do conjunto D =
(x, y); 1 ≤ x^2 + y^2 ≤ 4 , y ≥ 0
, sendo a densidade propor-
cional a distˆancia do pontoa origem.
- Uma lˆamina homogˆenea tem a forma de um triˆangulo retˆangulo com lados iguais de medida a. Ache o
momento de in´ercia em rela¸c˜ao a um dos lados iguais, em fun¸c˜ao de sua massa M.
- Calcule a massa de uma lˆamina delimitada por (x − 1)^2 + (y − 2)^2 = 1, se a densidade em um ponto ´e
proporcional `a distˆancia desse ponto a (1, 2).
- Uma lˆamina homogˆenea tem a forma de um triˆangulo retˆangulo de catetos b e h. Ache o momento de
in´ercia em fun¸c˜ao de sua massa M.
(a) em rela¸c˜ao ao eixo x (b) em rela¸c˜ao ao eixo y
- Uma lˆamina homogˆenea tem a forma de um triˆangulo equil´atero de lado a. Ache o momento de in´ercia
em rela¸c˜ao
(a) a uma altura (b) a um lado
2 π 3
- 92 π
π − (^43)
k 2 ln 3
- M a^2
( (^1) −ln 2 ln 2
- (a) 2
(b) (^1409)
- O centro de massa situa-se a 53 cm da base,
sobre sua mediatriz.
3 π 32 ,^0
0 , (^1445) π
- M a
2 6
2 kπ 3
- (a)
M h^2 6
(b) M b
2 6
- (a) k
√ 3 a^4 96
(b)
k
√ 3 a^4 32
- (a) e^16 − 1
(b) (^16)
(c) (^13)
e^16 4 −^
5 e^4 4 +^ e
(d) π 4 (1 − cos 1)
(e) 8 + 523 ln 2
(f) − (^27)
(g) 8
