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Este relatório técnico detalha um experimento para determinar o comprimento de onda de um laser vermelho, a constante de rede de um cd e a espessura de um fio de cabelo, utilizando padrões de difração. O experimento aplica o método dos mínimos quadrados (mmq) para ajustar os dados experimentais e calcular os valores. Os resultados obtidos mostram excelente concordância com os valores teóricos, demonstrando a eficácia do método experimental. O relatório aborda a teoria por trás da difração, os procedimentos experimentais detalhados e a análise dos resultados, incluindo o cálculo de incertezas e erros. Valioso para estudantes e pesquisadores interessados em óptica e técnicas de medição precisas, oferecendo uma abordagem prática e teórica para a análise de fenômenos de difração e interferência.
Tipologia: Trabalhos
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1 Valores experimentais de z, x e θ, com suas respectivas incertezas, obtidos utilizando a rede de difra¸c˜ao da CIDEPE................... 12 2 Valores experimentais de z, x e θ, com suas respectivas incertezas, obtidos utilizando a rede de difra¸c˜ao feita com CD................... 15 3 Valores experimentais de z, x e θ, com suas respectivas incertezas, obtidos utilizando o fio de cabelo, considerando a ordem do m´ınimo m = 1..... 17 4 Valores experimentais de z, x e θ, com suas respectivas incertezas, obtidos utilizando o fio de cabelo, considerando a ordem do m´ınimo m = 2..... 18 5 Valores experimentais de z, x e θ, com suas respectivas incertezas, obtidos utilizando o fio de cabelo, considerando a ordem do m´ınimo m = 3..... 19 6 M´edia e o desvio padr˜ao da m´edia para a espessura do fio de cabelo (a)... 20 7 Compara¸c˜ao entre os coeficientes lineares B obtidos experimentalmente e o valor te´orico esperado B = 0......................... 21
Determinar o comprimento de onda (λ) de um laser vermelho utilizando uma rede de difra¸c˜ao da CIDEPE, obter a constante de rede (d) de uma rede de difra¸c˜ao produzida a partir de um CD e encontrar a espessura (a) de um fio de cabelo, analisando os padr˜oes de difra¸c˜ao e interferˆencia produzidos quando o feixe de laser incide sobre esses equipamentos difrativos.
Um dos dispositivos mais utilizados no estudo da luz e das propriedades de objetos que a emitem ou absorvem ´e a rede de difra¸c˜ao. Esse instrumento pode conter milhares de fendas, tamb´em chamadas de ranhuras, distribu´ıdas em cada mil´ımetro de sua superf´ıcie. A Figura 1a apresenta uma rede de difra¸c˜ao simplificada, composta por apenas cinco fendas. Ao serem iluminadas com luz monocrom´atica, essas fendas produzem franjas de interferˆencia. A an´alise dessas franjas permite determinar, entre outras propriedades, o comprimento de onda da luz incidente. A Figura 1b exibe a imagem observada em um anteparo quando a rede ´e iluminada com luz vermelha monocrom´atica, proveniente de um laser. Nesse caso, os m´aximos de interferˆencia s˜ao bastante estreitos (por isso, recebem o nome de franjas) e se encontram separados por regi˜oes escuras relativamente largas [1].
Figura 1: Rede de difra¸c˜ao simplificada.
(a)
(b)
Fonte: Fundamentos de F´ısica - Optica e F´´ ısica Moderma, Halliday & Resnick, 10ª edi¸c˜ao.
Figura 2: Diferen¸ca de ca- minho entre raios adjacen- tes.
Fonte: Fundamentos de F´ısica - Optica´ e F´ısica Moderna, Halliday & Res- nick, 10ª edi¸c˜ao.
A distˆancia d entre ranhuras adjacentes em uma rede di- frativa ´e chamada de espa¸camento da rede ou constante de rede. Quando a luz passa por essa rede, a diferen¸ca de caminho entre feixes provenientes de ranhuras vizi- nhas ´e dada por d sin θ, onde θ ´e o ˆangulo formado entre o eixo central da rede e a dire¸c˜ao que vai da rede at´e um ponto P de observa¸c˜ao [1]. Portanto, a condi¸c˜ao para os m´aximos no padr˜ao de interferˆencia construtiva a um ˆangulo θ ´e
d sen θ = mλ (1)
em que λ ´e o comprimento de onda da luz, e m ´e um n´umero inteiro chamado de ordem do m´aximo. Cada franja clara observada pode ser rotulada com base no valor de m [1].
Figura 5: Numera¸c˜ao dos materiais utilizados.
Interruptor do laser - Fonte cc para laser duplo (1): Fabricado pela CIDEPE, ´e utili- zado para ligar e desligar o feixe de laser durante o experimento. Laser vermelho port´atil (2): Fabricado pela CIDEPE, ´e utilizado como fonte de luz nos experimentos de ´optica. Rede de difra¸c˜ao feita com CD (3): Utiliza os sulcos espirais do disco para dispersar a luz em diferentes comprimentos de onda. Isso ocorre porque os sulcos atuam como fendas m´ultiplas que causam interferˆencia e difra¸c˜ao da luz incidente. Fita m´etrica (4): Permite medir a distˆancia entre o fio de cabelo e o anteparo, apre- sentando um erro de escala de σescala = 0,05 cm. Anteparo (5): Utilizado para visualizar as franjas e medir suas distˆancias em rela¸c˜ao ao m´aximo central. Apresenta um erro de escala de σescala = 0,05 cm. Trilho de montagem (6): Utilizado para posicionar os equipamentos difrativos ao longo de um eixo comum. Acoplado com uma trena, que possui um erro de escala de σescala = 0,05 cm, permite medir a distˆancia entre as redes de difra¸c˜ao e o anteparo. Suporte met´alico (7): Utilizado para fixar as redes de difra¸c˜ao ao longo do eixo do trilho de montagem. Fita adesiva durex transparente (8): Utilizada para fixar o fio de cabelo no suporte. Rede de difra¸c˜ao da CIDEPE - 1000 fendas/mm (9): Utilizada para dispersar a luz e produzir padr˜oes de interferˆencia vis´ıveis no anteparo. Possui uma constante de rede d = 1 × 10 −^6 m.
Suporte para o fio de cabelo (10): Utilizado para manter o fio de cabelo esticado e fixo na posi¸c˜ao desejada, garantindo seu alinhamento perpendicular `a dire¸c˜ao do feixe de laser. Caixa de pl´astica (11): Utilizada para armazenar as redes de difra¸c˜ao quando n˜ao est˜ao em uso.
Na primeira parte do experimento, foram utilizados os materiais (1), (2), (5), (6), (7), (9). O aparato experimental foi montado utilizando um trilho de montagem, um laser vermelho e uma rede de difra¸c˜ao fabricada pela CIDEPE (com constante de rede previamente conhecida). O laser foi cuidadosamente posicionado para incidir diretamente sobre a rede, possibilitando a forma¸c˜ao e a observa¸c˜ao do padr˜ao de difra¸c˜ao e interferˆencia projetado no anteparo. Com o sistema em funcionamento, foi identificado a ordem do m´aximo m = 1, correspondente a uma franja clara. Posteriormente, foram medidas as distˆancias entre a rede de difra¸c˜ao e o anteparo (z) e entre m = 1 e o m´aximo central (x). Em seguida, a posi¸c˜ao da rede foi ajustada ao longo do trilho — sendo aproximada ou afastada do anteparo — e novas medi¸c˜oes de z e x foram realizadas. Esse procedimento foi repetido at´e que se obtivessem cinco pares distintos de valores para cada uma das grandezas. Na segunda etapa do experimento, foram utilizados os materiais (1), (2), (3), (5), (6), (7). A rede de difra¸c˜ao fabricada pela CIDEPE foi substitu´ıda por uma rede de difra¸c˜ao feita com CD (com constante de rede desconhecida). A mesma metodologia adotada anteriormente foi repetida para este novo sistema, como o posicionamento do laser, a observa¸c˜ao do padr˜ao de difra¸c˜ao e interferˆencia no anteparo, e a medi¸c˜ao das distˆancias entre a rede e o anteparo (z) e entre as franjas correspondentes a ordem do m´aximo m = 1 e o m´aximo central (x). Os valores de z e x foram registrados para diferentes posi¸c˜oes da rede ao longo do trilho, de modo a obter cinco pares distintos de valores para cada grandez Na terceira e ´ultima parte do experimento, foram utilizados os materiais (1), (2), (4), (5), (6), (8), (10). O laser foi posicionado de modo a incidir sobre um fio de cabelo fixado verticalmente em um suporte. A posi¸c˜ao do sistema foi ajustada at´e que se observasse no anteparo um padr˜ao de difra¸c˜ao, e as posi¸c˜oes correspondentesas ordens dos m´ınimos m = 1, m = 2 e m = 3 (franjas escuras) foram registradas. Garantiu-se que a distˆancia entre o fio de cabelo e o anteparo (z) fosse significativamente maior do que as distˆancias dos m´ınimos em rela¸c˜ao ao m´aximo central (x). Esse procedimento foi repetido at´e que se obtivessem cinco pares de valores distintos para cada grandeza, considerando as ordens m = 1, m = 2 e m = 3.
x =
λ √ d^2 − λ^2
z
Essa equa¸c˜ao possui a forma da equa¸c˜ao de uma reta y = AX + B, onde y = x, X = z, A = √d 2 λ−λ 2 (coeficiente angular) e B = 0 (coeficiente linear). Nesse contexto, z
representa a vari´avel independente (eixo horizontal), enquanto x ´e a vari´avel dependente (eixo vertical). Sendo assim, utilizando o M´etodo dos M´ınimos Quadrados (MMQ) para os dados da Tabela 1, por meio do software chamado SciDavis, foram obtidos os coeficientes A = (0, 861 ± 0 ,007) e B = (2, 57 ± 0 ,07). O coeficiente angular A corresponde a √d 2 λ−λ 2. Dessa forma, para determinar o com- primento de onda do laser, basta isolar λ na equa¸c˜ao e substituir os valores conhecidos, sendo d = 1 × 10 −^6 m (constante de rede).
λ √ d^2 − λ^2
⇒ λ =
A d √ 1 + A^2 Substituindo os valores:
λ =
p 1 + 0, 8612
= 6, 52 × 10 −^7 = 652 × 10 −^9 m = 652 nm
A incerteza associada a λ ´e calculada a partir da equa¸c˜ao (4):
δλ =
0 , 007 = 3 × 10 −^9 = 3 nm
Portanto, tem-se que λ = (652 ± 3) nm. Esse valor obtido para o comprimento de onda do laser encontra-se dentro da faixa t´ıpica de emiss˜ao de lasers vis´ıveis da cor vermelha, que geralmente varia entre 630 e 670 nm. A pequena incerteza associada (±3 nm) refor¸ca a confiabilidade do resultado e mostra que a propaga¸c˜ao de erros, ao levar em conta a sensibilidade da fun¸c˜ao λ = √1+AdA 2 em rela¸c˜ao `a varia¸c˜ao de A, foi bem controlada. Graficamente, esse comportamento pode ser representado da seguinte forma:
Figura 6: Gr´afico do ajuste linear correspondente `a rede de difra¸c˜ao da CIDEPE.
A fim de quantificar a discrepˆancia entre o valor te´orico e o valor experimental do comprimento de onda, calculou-se o erro relativo utilizando a equa¸c˜ao (5), apresentada no Apˆendice A:
onde Vexperimental = 652 × 10 −^9 m e Vte´orico = 650 × 10 −^9 m. O erro relativo de apenas 0,3% entre o comprimento de onda experimental e o valor te´orico evidencia a precis˜ao do m´etodo empregado e a adequa¸c˜ao do modelo f´ısico adotado. Essa pequena discrepˆancia indica que a inclina¸c˜ao da reta ajustada — parˆametro direta- mente relacionado ao comprimento de onda — foi corretamente determinada a partir dos dados experimentais. Ademais, note que, embora o ˆangulo m´edio de difra¸c˜ao tenha sido inicialmente de- terminado a partir das medi¸c˜oes de x e z, o c´alculo do comprimento de onda λ n˜ao de- pendeu desse ˆangulo, mas sim do coeficiente angular A obtido por meio do ajuste linear, juntamente com a constante de rede d da rede de difra¸c˜ao da CIDEPE. Essa aborda- gem apresenta uma vantagem significativa: ela elimina a necessidade de utilizar fun¸c˜oes trigonom´etricas, como o seno, cuja propaga¸c˜ao de incertezas ´e mais complexa e menos intuitiva. Em vez disso, fundamenta-se na an´alise gr´afica da rela¸c˜ao linear entre x e z, o que simplifica tanto os c´alculos quanto a an´alise estat´ıstica dos dados experimentais. Al´em disso, essa metodologia pode ser estendida aos demais equipamentos difrativos utilizados durante o experimento, como o CD e o fio de cabelo, uma vez que suas geome- trias experimentais tamb´em permitem estabelecer uma rela¸c˜ao linear entre as vari´aveis medidas, possibilitando determinar a grandeza de interesse sem a necessidade do ˆangulo m´edio, conforme pode ser visto nas Se¸c˜oes posteriores.
Figura 7: Gr´afico do ajuste linear correspondente `a rede de difra¸c˜ao feita com CD.
O resultado evidencia a consistˆencia do experimento e a efetividade da metodologia aplicada. A pequena incerteza sugere que o procedimento adotado — desde a coleta dos dados at´e a an´alise matem´atica — foi conduzido com cuidado, refor¸cando a confiabilidade da medida obtida para a constante de rede da estrutura difrativa analisada. Outro aspecto importante ´e que a an´alise de propaga¸c˜ao de incertezas foi aplicada corretamente, levando em conta as contribui¸c˜oes tanto do comprimento de onda utilizado quanto do coeficiente angular obtido via ajuste. Esse cuidado na quantifica¸c˜ao da incerteza fortalece ainda mais a validade do resultado, pois oferece uma estimativa realista da margem de erro envolvida. Al´em disso, na ausˆencia de um valor te´orico previamente estabelecido para a constante de rede, n˜ao ´e poss´ıvel quantificar a discrepˆancia entre o valor obtido experimentalmente e um valor de referˆencia.
Com o objetivo de encontrar a espessura do fio de cabelo (a), ´e importante considerar que a distˆancia entre o fio de cabelo e o anteparo (z) ´e significativamente maior do que a distˆancia das franjas escuras em rela¸c˜ao ao m´aximo central (x). Nessa condi¸c˜ao, o ˆangulo de difra¸c˜ao (θ) tende a assumir valores suficientemente pequenos, o que permite utilizar as aproxima¸c˜oes:
sin(θ) ≈ tan(θ) ≈ θ Considerando que x e z formam os catetos de um triˆangulo retˆangulo, podemos aplicar a defini¸c˜ao trigonom´etrica da tangente:
tan(θ) =
cateto oposto cateto adjacente
x z e, com a aproxima¸c˜ao para ˆangulos pequenos:
θ ≈
x z
A tabela abaixo apresenta os valores experimentais de z, x e θ, juntamente com suas respectivas incertezas, obtidos utilizando o fio de cabelo (m=1).
Tabela 3: Valores experimentais de z, x e θ, com suas respectivas incertezas, obtidos utilizando o fio de cabelo, considerando a ordem do m´ınimo m = 1.
(z ± δz) cm (x ± δx) cm (θ ± δθ) rad
126 , 50 ± 0 , 05 1 , 00 ± 0 , 05 0 , 0079 ± 0 , 0004
138 , 00 ± 0 , 05 1 , 20 ± 0 , 05 0 , 0087 ± 0 , 0004
146 , 00 ± 0 , 05 1 , 40 ± 0 , 05 0 , 0096 ± 0 , 0003
156 , 50 ± 0 , 05 1 , 40 ± 0 , 05 0 , 0089 ± 0 , 0003
174 , 00 ± 0 , 05 1 , 50 ± 0 , 05 0 , 0086 ± 0 , 0003
Angulo m´ˆ edio 0 , 0087 ± 0 , 0003
As incertezas associadas aos valores de θ foram determinadas por meio da propaga¸c˜ao de incertezas, usando a equa¸c˜ao (7). Como exemplo, para θ = 0,0079 rad, tem-se:
δθ =
s 1 126 , 5
Como o fio de cabelo atua como uma fenda ´unica, a equa¸c˜ao (2), presente na Se¸c˜ao 2, pode ser reescrita de forma equivalente como:
a
x z
= mλ
Isolando x, tem-se:
x =
mλ a
z
A equa¸c˜ao obtida assume a forma de uma equa¸c˜ao de reta do tipo y = AX + B, na qual se identifica y = x, X = z, A = mλa como o coeficiente angular da reta, e B = 0 como o coeficiente linear. Nesse contexto, z ´e tratado como a vari´avel independente (eixo horizontal), enquanto x corresponde `a vari´avel dependente (eixo vertical), permitindo a aplica¸c˜ao do ajuste linear com o software SciDAVis aos dados experimentais para a determina¸c˜ao de a.
Figura 9: Gr´afico do ajuste linear correspondente ao fio de cabelo para m = 2.
Tabela 5: Valores experimentais de z, x e θ, com suas respectivas incertezas, obtidos utilizando o fio de cabelo, considerando a ordem do m´ınimo m = 3.
(z ± δz) cm (x ± δx) cm (θ ± δθ) rad
126 , 50 ± 0 , 05 3 , 00 ± 0 , 05 0 , 0237 ± 0 , 0004
138 , 00 ± 0 , 05 3 , 50 ± 0 , 05 0 , 0254 ± 0 , 0004
146 , 00 ± 0 , 05 3 , 80 ± 0 , 05 0 , 0260 ± 0 , 0003
156 , 50 ± 0 , 05 4 , 00 ± 0 , 05 0 , 0256 ± 0 , 0003
174 , 00 ± 0 , 05 4 , 50 ± 0 , 05 0 , 0259 ± 0 , 0003
Angulo m´ˆ edio 0 , 0253 ± 0 , 0004
Figura 10: Gr´afico do ajuste linear correspondente ao fio de cabelo para m = 3.
Al´em da an´alise individual de cada valor da espessura do fio de cabelo, ´e poss´ıvel obter uma representa¸c˜ao mais precisa por meio da m´edia aritm´etica dos resultados. Essa abordagem reduz as flutua¸c˜oes aleat´orias, fornecendo um valor central mais confi´avel. Adicionalmente, para quantificar a incerteza estat´ıstica associada `a m´edia, calcula-se o desvio padr˜ao da m´edia. A tabela abaixo apresenta esse processo, no qual s˜ao utilizadas, mais uma vez, as equa¸c˜oes (9) a (11).
Tabela 6: M´edia e o desvio padr˜ao da m´edia para a espessura do fio de cabelo (a).
C´alculos Espessura do fio de cabelo
a 1 6 , 5 × 10 −^5
a 2 6 , 2 × 10 −^5
a 3 6 , 3 × 10 −^5
M´edia (¯a) 6 , 33 × 10 −^5
σ 0 , 152753 × 10 −^5
σm 0 , 09 × 10 −^5
a ± δa (6, 33 ± 0 ,09) × 10 −^5
A espessura do fio de cabelo variou entre 6, 2 × 10 −^5 m e 6, 5 × 10 −^5 m, com m´edia aritm´etica de 6, 33 × 10 −^5 m e desvio padr˜ao da m´edia de 0, 09 × 10 −^5 m. Essa pequena dispers˜ao entre os valores individuais sugere que o procedimento experimental foi condu- zido com um bom controle de incertezas. No entanto, como a espessura do fio de cabelo n˜ao foi previamente identificada por meio do micrˆometro, n˜ao h´a um valor de referˆencia confi´avel, o que impossibilita determinar a discrepˆancia em rela¸c˜ao a um valor te´orico. Assim, a avalia¸c˜ao da qualidade dos resultados depende principalmente da consistˆencia dos dados experimentais obtidos.
