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Este relatório técnico explora o movimento harmônico simples (mhs) através de experimentos com sistemas massa-mola e pêndulos simples. O documento detalha a fundamentação teórica, os procedimentos experimentais e a análise dos dados obtidos. Inclui a construção de gráficos para observar o comportamento dos sistemas, o uso de equações matemáticas para determinar constantes elásticas e aceleração gravitacional, e a aplicação da teoria de erros para avaliar a precisão dos resultados. O relatório aborda tanto o sistema massa-mola estático quanto o dinâmico, além de analisar o comportamento do pêndulo simples sob pequenas amplitudes. Os resultados são apresentados com suas respectivas incertezas, calculadas através da propagação de incertezas e do método dos mínimos quadrados, utilizando o software scidavis. O objetivo principal é compreender as propriedades do mhs através da experimentação e análise de dados.
Tipologia: Trabalhos
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Muitos tipos de movimento se repetem indefinidamente: a vibra¸c˜ao de um cristal de quartzo em um rel´ogio, a oscila¸c˜ao do pˆendulo de um rel´ogio de carrilh˜ao, as vibra¸c˜oes sonoras produzidas por um clarinete ou pelo tubo de um ´org˜ao, e as oscila¸c˜oes geradas pelos pist˜oes no motor de um autom´ovel, ou seja, ´e todo movimento que se repete a intervalos regulares, por isso ´e chamado de movimento peri´odico ou movimento harmˆonico. Neste relat´orio, estamos interessados em dois tipos particulares de movimento peri´odico conhecido como movimento harmˆonico simples (MHS): o sistema massa-mola e o pˆendulo simples. [?][?] Um corpo em movimento peri´odico est´a sempre em uma posi¸c˜ao de equil´ıbrio est´avel. Quando deslocado dessa posi¸c˜ao e liberado, surge uma for¸ca que o faz retornar ao equil´ıbrio. No entanto, ao atingir esse ponto, devido a energia cin´etica acumulada, o corpo o ultra- passa, parando em um ponto do lado oposto e sendo novamente puxado para a posi¸c˜ao de equil´ıbrio. [?] Quando um corpo ´e deslocado da posi¸c˜ao de equil´ıbrio de uma mola, a for¸ca da mola tende a fazˆe-lo retornar a essa posi¸c˜ao. Essa for¸ca ´e chamada de for¸ca restauradora. Uma oscila¸c˜ao s´o ocorre quando h´a uma for¸ca restauradora que obriga o sistema a voltar para sua posi¸c˜ao de equil´ıbrio. Se n˜ao houvesse atrito nem outra for¸ca capaz de remover a energia mecˆanica do sistema, esse movimento se repetiria eternamente. A for¸ca restaura- dora sempre obrigaria o corpo a retornara sua posi¸c˜ao de equil´ıbrio, e ele ultrapassaria essa posi¸c˜ao todas as vezes.[?] O tipo mais simples de oscila¸c˜ao ocorre quando a for¸ca restauradora F ´e diretamente proporcional a deforma¸c˜ao x em rela¸c˜aoa posi¸c˜ao de equil´ıbrio. Isso acontece quando a mola ´e ideal, ou seja, quando obedece `a Lei de Hooke. [?] A constante de proporcionalidade entre F e x ´e chamada de constante el´astica ou constante k, portanto:
F = −kx
O sinal negativo indica que a for¸ca deve ter o sentido oposto ao do deslocamento para que o corpo volte a posi¸c˜ao de equil´ıbrio. [?]. Contudo, a primeira parte do experimento, ´e feita utilizando um sistema massa-mola est´atico. Nesse est´agio, a mola ´e deformada at´e uma posi¸c˜ao onde a for¸ca restauradora se igualaa for¸ca aplicada, e o sistema permanece inerte, por conseguinte:
F = kx (1)
Obs: Nesse caso, a for¸ca aplicada ser´a igual ao peso: P = mg Na segunda parte do experimento, a for¸ca restauradora n˜ao ser´a igual a for¸ca aplicada, resultando em um sistema massa-mola dinˆamico, ou seja, oscilat´orio. Podemos relacionar a constante el´astica ka massa m do corpo e frequˆencia do MHS resultante: [?]
k = mω^2 Se a massa do corpo ´e conhecida, ´e poss´ıvel calcular a frequˆencia angular do movimento explicitando ω: [?]
ω =
r k m
Ademais, ´e poss´ıvel determinar o per´ıodo T do movimento combinando a equa¸c˜ao anterior com a equa¸c˜ao ω = (^2) Tπ : [?]
T = 2π
r m k
Na terceira parte do experimento, ´e empregado um pˆendulo simples, um modelo ide- alizado composto por um corpo suspenso por um fio inextens´ıvel e de massa desprez´ıvel. Quando este corpo ´e deslocado lateralmente a partir de sua posi¸c˜ao de equil´ıbrio e em seguida liberado, ele oscila ao redor da posi¸c˜ao de equil´ıbrio. [?] A trajet´oria do corpo n˜ao ´e uma linha reta, mas sim um arco de circunferˆencia com raio L, correspondente ao comprimento do fio. Assim, ´e vi´avel representar a for¸ca sobre o peso em termos dos componentes radial e do tangencial. A for¸ca restauradora Fθ ´e o componente tangencial da for¸ca resultante: [?]
Fθ = −mg sin(θ)
A for¸ca restauradora Fθ ´e fornecida pela acelera¸c˜ao da gravidade g. Como a for¸ca Fθ n˜ao ´e proporcional a θ, mas sim a sin(θ), logo o movimento n˜ao ´e harmˆonico simples. Entretanto, quando o ˆangulo θ ´e pequeno, sin(θ) ´e aproximadamente igual ao ˆangulo θ em radianos, ou seja, quando θ = 0,1 rad, aproximadamente igual a 6◦, sin(θ) = 0,998 ´e poss´ıvel estabelecer o MHS. Essa ´e uma diferen¸ca de apenas 0,2%. Com essa aproxima¸c˜ao, podemos reescrever a for¸ca restauradora da seguinte forma: [?]
Fθ → −mgθ → −mg
x L
mg L
x
A for¸ca restauradora ´e, ent˜ao, proporcional `a coordenada para pequenos deslocamen- tos, com a constante da for¸ca dada por k = mgL. Assim sendo, a frequˆencia angular ω de um pˆendulo simples com pequena amplitude ´e dada por: [?]
ω =
r k m
r mg/L m
r g L Al´em dos mais, tamb´em ´e poss´ıvel determinar o per´ıodo T do pˆendulo simples combi- nando a equa¸c˜ao anterior com a equa¸c˜ao ω = (^2) Tπ :
T = 2π
s L g
A Tabela 2, ao contr´ario da Tabela 1, apresenta tratamento estat´ıstico em rela¸c˜ao aos per´ıodos. Diante disso, ser´a necess´ario determinar a incerteza aleat´oria dos per´ıodos refe- rentes a cada massa e, em seguida, a incerteza total conforme mostrado abaixo. Adotando σ3Esc. = 0, 01 s para o per´ıodo.
M´edia 1,37 1,65 1,86 2,20 2, Desvio Padr˜ao da M´edia 0,03 0,07 0,05 0,03 0, Incerteza Total 0,03 0,07 0,05 0,03 0, M´edia/5 0,27 0,33 0,37 0,44 0,
Observe que ´e essencial dividir a m´edia por 5, pois ´e vital considerar apenas a medida de um per´ıodo para cada massa. Como o principal objetivo do experimento tamb´em ´e obter a constante el´astica k e sua incerteza, ´e necess´ario seguir a mesma metodologia do sistema est´atico. No entanto, para aplicar o MMQ, a fun¸c˜ao deve ser linear, o que n˜ao ´e o caso da express˜ao ?. Para contornar esse problema, ´e preciso usar o processo de lineariza¸c˜ao:
T = 2π
r m k
4 π^2
k
m
Para simplificar a express˜ao, ´e crucial nomear T^ 2 4 π^2 como^ f^. Com o prop´osito de determinar a incerteza, assim como no caso do peso, ´e essencial aplicar a propaga¸c˜ao de incertezas:
δf =
s ∂f ∂T
δT 2 →
4 π^2
δT
Ap´os isso, basta determinar o f associada a cada massa, com sua devida incerteza seguindo a Teoria de Erros:
(0,0018 ± 0,0004) s (0,003 ± 0,001) s (0,003 ± 0,001) s (0,005 ± 0,001) s (0,006 ± 0,001) s
Note que, desta vez, o coeficiente angular da fun¸c˜ao? ´e (^) k^1. Por isso, para encontrar a incerteza da constante el´astica, ´e necess´ario aplicar novamente a propaga¸c˜ao de incerteza:
k
→ k =
→ δk =
s ∂k ∂A
δA^2 →
δA
Sendo assim, temos o seguinte ajuste linear:
Figura 2: Per´ıodo em fun¸c˜ao da massa
A Tabela 3 apresenta o mesmo perfil estat´ıstico da Tabela 2. A diferen¸ca principal ´e que seu objetivo ´e determinar a acelera¸c˜ao da gravidade g e sua incerteza variando o comprimento L. Exceto por essa diferen¸ca, a metodologia ser´a a mesma do sistema dinˆamico para ambas as massas. Posto isto, temos os seguintos dados:
0,02373 kg M´edia 4,00 5,60 6,60 7,77 8, Desvio Padr˜ao da M´edia 0,32 0,24 0,06 0,07 0, Incerteza Total 0,32 0,24 0,06 0,07 0, M´edia/5 0,80 1,12 1,32 1,55 1,
0,00759 kg M´edia 3,80 5,60 6,72 7,74 8, Desvio Padr˜ao da M´edia 0,20 0,19 0,05 0,02 0, Incerteza Total 0,20 0,19 0,05 0,02 0, M´edia/5 0,76 1,12 1,34 1,55 1,
Ap´os a lineariza¸c˜ao com o uso da express˜ao ?, ´e poss´ıvel definir o f e calcular a sua incerteza por meio da propaga¸c˜ao e, em seguida, exibir os valores de acordo com a Teoria de Erros para ambas as massas:
0,02373 kg (0,016 ± 0,013) s (0,032 ± 0,014) s (0,044 ± 0,004) s (0,061 ± 0,005) s (0,074 ± 0,005) s
