Interpolação e Integração Numérica, Esquemas de Matemática

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João Carlos dos Santos

Gabriela Faria Barcelos Gibim

Cálculo Numérico

Cálculo

Numérico

KLS

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) Santos, João Carlos dos ISBN 978-85-8482-228-

1. Cálculos numéricos. I. Gibim, Gabriela Faria Barcelos. II. Título. CDD 518 Faria Barcelos Gibim. – Londrina : Editora e Distribuidora Educacional S.A., 2015. 216 p. S237c Cálculo numérico / João Carlos dos Santos, Gabriela © 2015 por Editora e Distribuidora Educacional S.A Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida ou transmitida de qualquer modo ou por qualquer outro meio, eletrônico ou mecânico, incluindo fotocópia, gravação ou qualquer outro tipo de sistema de armazenamento e transmissão de informação, sem prévia autorização, por escrito, da Editora e Distribuidora Educacional S.A. Presidente: Rodrigo Galindo Vice-Presidente Acadêmico de Graduação: Rui Fava Gerente Sênior de Editoração e Disponibilização de Material Didático: Emanuel Santana Gerente de Revisão: Cristiane Lisandra Danna Coordenação de Produção: André Augusto de Andrade Ramos Coordenação de Disponibilização: Daniel Roggeri Rosa Editoração e Diagramação: eGTB Editora 2015 Editora e Distribuidora Educacional S.A Avenida Paris, 675 – Parque Residencial João Piza CEP: 86041-100 — Londrina — PR e-mail: [email protected] Homepage: http://www.kroton.com.br/

Unidade 1 | Erros Seção 1.1 - Conversão de números inteiros e fracionários decimais para binários Seção 1.2 - Aritmética de ponto flutuante Seção 1.3 - Análise de erros - Parte I Seção 1.4 - Análise de erros - Parte II Unidade 2 | Raízes Seção 2.1 - Método da bissecção Seção 2.2 - Método da falsa posição Seção 2.3 - Método iterativo linear Seção 2.4 - Método de Newton-Raphson Unidade 3 | Interpolação Seção 3.1 - Polinômio interpolador Seção 3.2 - Forma de Lagrange para o polinômio interpolador Seção 3.3 - Forma de Newton para o polinômio interpolador Seção 3.4 - Estudo do erro na interpolação pelo método de Newton Unidade 4 | Integração Numérica Seção 4.1 - Fórmula de Newton-Cotes Seção 4.2 - Regra dos Trapézios Seção 4.3 - Regra de Simpson Seção 4.4 - Estudo dos erros na integração numérica 7 9 22 33 45 57 58 73 84 96 111 113 126 138 148 161 163 176 188 199 Sumário

Palavras do autor Olá, aluno, bem-vindo. Nesta unidade curricular, você será apresentado aos principais tópicos de cálculo numérico, tais como: os conceitos de erros, raízes, interpolação e integração. O seu material é composto pelo livro didático, que apresenta os principais temas que deverão ser estudados. Além desse, você também pode contar com a orientação das atividades apresentadas nas webaulas e, ainda, os momentos de orientação, mediação, explicação e interação que ocorrem no decorrer das aulas. Participe ativamente das atividades. A estrutura de seu livro didático contempla quatro(quatro) unidades de ensino. São elas:

• Erros: apresenta conversão de números inteiros e fracionários decimais para binários, aritmética de ponto flutuante e análise de erros.
• Raízes: método da bisseção, falsa posição, interativo linear e Newton-Raphson.
• Interpolação: interpolação polinomial, forma de Lagrange, Newton e estudo de erro na interpolação
• Integração: fórmulas de Newton-Cotes, regra dos trapézios, regra de Simpson, estudo dos erros na integração numérica. Prezado estudante, mantenha uma rotina de estudos que possibilite dedicação aos processos de leitura, participação e realização das atividades propostas. Isso tem extrema importância para que você obtenha sucesso tanto em construção e desenvolvimento de aprendizagem, quanto em sua aplicação. Desde já desejo a você bons estudos.

8 U1 - Erros "Carlos é coordenador de Engenharia de uma empresa de médio porte em São Paulo. Sua função é coordenar a equipe de técnicos (eletricistas, mecânicos, produção e civil) da empresa. Em seu dia a dia profissional, aparecem várias situações relacionadas ao cálculo numérico, em cuja solução Carlos deve auxiliar." Imagine que você esteja no lugar de Carlos e que o laboratório de engenharia compra uma máquina de calcular, capaz de armazenar 4 dígitos na mantissa (parte decimal de um número) utilizando arredondamento. Então, os técnicos do laboratório, em cuja solução Carlos deve auxiliar em algumas dúvidas relacionadas à nova máquina que chegou e na resolução de algumas situações ligadas a ela.

U1 - Erros 9 Seção 1.

Conversão de números inteiros e fracionários

decimais para binários

Diálogo aberto Para que converter números decimais em binários e vice-versa? Veja a importância de compreender os fundamentos do estudo de conversão de números binários que iniciará nesta seção. Aproveite a oportunidade e faça bons estudos. Dica Você pode encontrar mais sobre o estudo de conversão de números inteiros e fracionários para binários no link: <http://www2.sorocaba. unesp.br/professor/luiza/CNC/apostila.pdf>. Acesso em: 9 jul. 2015. Lembre-se Você sabia que nem todas as propriedades básicas da aritmética valem quando executadas no computador? Na matemática, os números são representados por infinitos algarismos, já no computador isso não ocorre, pois a memória é finita. Temos como exemplo e. Vamos voltar à situação hipotética apresentada no convite ao estudo? Uma das situações-problema apresentadas pelos técnicos a Carlos foi a seguinte: Uma máquina foi adquirida para executar o acionamento das lâmpadas do laboratório de engenharia, posicionadas em acordo com a disposição binária. Assim, os técnicos foram instruídos a acioná-las inserindo na máquina um algarismo decimal, que será convertido por ela em um código binário, fazendo assim o correspondente acionamento. Os técnicos ainda tinham dúvidas sobre qual número deveriam inserir para acionar determinada lâmpada e solicitaram a ajuda de Carlos. Considerando a disposição fixa das lâmpadas, conforme figura abaixo, qual código decimal Carlos (você) terá que inserir para que apenas a lâmpada

U1 - Erros 11 Assimile Você sabia que um número pode ser representado de forma finita em uma base e de forma não finita em outras bases? Na Antiguidade, foram utilizadas outras bases, como a base 12 e a base 60. Já o computador opera com a base binária, que utiliza apenas 2 dígitos, ou com a hexadecimal, que utiliza 16 dígitos. Para que o computador execute as funções esperadas, é necessário que as instruções estejam organizadas de forma sistemática de acordo com a estrutura do sistema computacional. Isso significa que as instruções passadas ao computador o orientam a realizar algum tipo de operação sobre os valores que podem ser numéricos, alfabéticos ou lógicos. Reflita Como ocorre a análise dos dados informados pelo usuário no computador? O usuário envia os dados na base 10 para o computador que converte essas informações para o sistema binário, assim como suas operações. Depois, esses números são convertidos novamente para o sistema decimal e transmitidos aos usuários. Desse modo, toda linguagem de programação usada para escrever um programa computacional precisará ser convertida num outro programa equivalente à linguagem da máquina. Sistema de Numeração Um sistema de numeração é uma forma lógica adotada para representar simbolicamente quantidades numéricas. De forma geral, um número pode ser escrito numa base qualquer “b” como exemplificado a seguir: an. bn^ + a(n-1).b(n-1)+...+a 1 .b^1 +a0. b^0 Sendo:

• a= algarismo
• (n+1)= posição que o algarismo ocupa, n= 0,1,2,.....;
• b=base do sistema de notação Utilizando essa representação, pode-se realizar a conversão de

12 U1 - Erros qualquer número para o sistema decimal. Sistema de numeração decimal Nesse sistema, usamos dez dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, sendo 9 o maior deles. Em um sistema numérico com base b, existem b dígitos, e o maior é b-1. Sistema de numeração binário Neste sistema, existem 2 dígitos apenas: o zero (0), que se convencionou como "desligado" e o um (1) que se convencionou como "ligado". Cada dígito representado nesse sistema é denominado bit (contração de Binary digiT). Conversão do sistema binário para decimal Ao escrever o número na base 2 (sistema binário), os dígitos representam os coeficientes de potências de 2. A representação do número (aj aj-1.......a 2 a 1 a 0 ) 2 na base 10, denotada por b 0 , é obtida através do processo: bj = aj bj-1= a (^) j-1+ 2bj

.. .. .. b1 = a 1 + 2b 2 b0 = a 0 +2b 1 Exemplificando Por exemplo, o número decimal 11 é escrito em representação binária como 1011, pois para (1011) 2 , a sequência obtida será: b 3 = a 3 = 1 b 2 = a 2 + 2b 3 = 0 + 2 × 1 = 2 b 1 = a 1 + 2b 2 = 1 + 2 × 2 = 5 b 0 = a 0 + 2b 1 = 1 + 2 × 5 = 11 Esse exemplo mostra que 1011 2 é o mesmo que 1110.

14 U1 - Erros 6 + 0,78125. Já foi mostrado como encontrar o binário de um número decimal inteiro, por meio de divisões sucessivas por 2, considerando o resto como número binário. A parte fracionária do número decimal será transformada em binário pela multiplicação sucessiva por 2. Quando o resultado dessa multiplicação fornecer na parte inteira do número “0” ou “1”, eles são colocados à direita da fração binária. Quando for “1”, esse número é subtraído do número decimal fracionário para que seja novamente multiplicado por 2. Esse processo se repete até finalizar com zero. 6 + 0, Conversão da parte inteira do número decimal: 6 : 2 = 3 resto = 0 3 : 2 = 1 resto = 1 1 : 2 = 0 resto = 1 Logo 6 10 = 110 2. Conversão da parte fracionária do número decimal:

0,78125 × 2 = 1,5625 “1” à direita na parte fracionária do binário

0,5625 × 2 = 1,125 “1” à direita na parte fracionária do binário

0,125 × 2 = 0,25 “0” à direita na parte fracionária do binário

0,25 × 2 = 0,5 “0” à direita na parte fracionária do binário

Subtrai a unidade usada. Mantém o número.

0,5 × 2 = 1,0 “1” à direita na parte fracionária do binário

0,0 Fim do processo. Nesse ponto, não é usado mais dígito algum. Mantém o número. Subtrai a unidade usada.

U1 - Erros 15 Seguindo a ordem das multiplicações sucessivas, deve-se usar o primeiro dígito como primeiro dígito fracionário binário, conforme indica a seta mais à direita. Logo, 0,78125 10 = 0,11001 2 , sendo o número final a soma das parcelas inteiras e fracionárias. 6,0 10 + 0,78125 10 = 110 2 + 0,11001 2 6,78125 10 = 110,11001 2 Assim, deve-se multiplicar a parcela decimal por 2. Continue multiplicando a parte decimal do resultado obtido por 2. O número na base 2 será então obtido tomando-se a parte inteira do resultado de cada multiplicação. Exemplificando Assim, 0,75 × 2 = 1, 0,50 × 2 = 1, 0,00 × 2 = 0, Logo: (0,75) 10 = (0,11) 2. Podemos ver essa situação no exemplo a seguir. Para passar o número 3,8 da base 10 para a base 2 devemos transformar a parte inteira 3 10 = 11 2 ; e a parte decimal. 0,8 × 2 = 1, 0,6 × 2 = 1, 0,2 × 2 = 0, 0,4 × 2 = 0, 0,8 × 2 = ... Logo: (3,8) 10 = (11,11001100.. .) 2. Portanto, o número (3,8) 10 não terá representação binária finita. Alguns números não terão representação finita no sistema binário, acarretando assim erros nos cálculos realizados nesse sistema. O computador irá registrar uma aproximação porque opera no sistema binário.

U1 - Erros 17 Faça você mesmo Dado o número 110111 que está na base 10, escreva-o na base 2.

Sem medo de errar

Após o estudo de conversão de números inteiros e fracionários decimais para binários, vamos resolver a primeira situação-problema apresentada a Carlos? Uma máquina foi adquirida para executar o acionamento das lâmpadas do laboratório de engenharia, as quais foram posicionadas em acordo com a disposição binária. Assim, os técnicos foram instruídos a acioná-las inserindo na máquina um algarismo decimal, que será convertido pela máquina em um código binário, fazendo assim o correspondente acionamento. Os técnicos ainda tinham dúvidas sobre qual número deveriam inserir para acionar determinada lâmpada e solicitaram a ajuda de Carlos. Considerando a disposição fixa das lâmpadas, conforme figura a seguir, qual código decimal Carlos (você) terá que inserir para que apenas a lâmpada 4 acenda? Considere a lâmpada "0" representando o algarismo menos significativo do número binário, a lâmpada "1", o segundo menos significativo, e assim sucessivamente. Solução Carlos deverá inserir o número decimal 16, pois 16 10 = 10000 2. Sendo a lâmpada 4 o algarismo mais significativo, temos o número binário 10000. Convertendo esse número para decimal: 1 × 2^4 + 0 × 2^3 + 0 × 22 + 0 × 2^1 + 0 × 2^0 = 16. Assim, Carlos deverá inserir na máquina o decimal 16. 10 000= 2^4 × 1 + 2^3 × 0 + 2^2 × 0 + 2^1 × 0 + 2^0 × 0 = 16, fazendo o processo inverso de decimal para binário. 16:2= 8 resto =

18 U1 - Erros 8:2= 4 resto= 0 4:2=2 resto= 2:2=1 resto= 1:2=0 resto= Logo 16 10 = 10000 2. Nem todos os números reais têm representação no sistema binário, sendo necessário arredondar ou truncar para o número mais próximo da máquina. Lembre-se Alguns números não terão representação finita no sistema binário, acarretando assim erros nos cálculos realizados nos sistemas binários. O computador irá registrar uma aproximação porque opera no sistema binário. Veja mais em: <http://www2.sorocaba.unesp.br/professor/luiza/ CNC/apostila.pdf>. Acesso em: 13 jul. 2015.

Avançando na Prática

Pratique mais

Instrução Desafiamos você a praticar o que aprendeu transferindo seus conhecimentos para novas situações que podem ser encontradas no ambiente de trabalho. Realize as atividades e depois as compare com as de seus colegas. Conversão de números

1. Competência de fundamentos de área Conhecer o cálculo numérico
2. Objetivos de aprendizagem Fornecer condições para conhecer e realizar cálculos de conversão de números decimais em binários.
3. Conteúdos relacionados Conversão de número decimal para binário. Atenção