Introdução a álgebra linear, Manuais, Projetos, Pesquisas de Matemática

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Para Franciele, Lilian e Paulo Henrique.

Ao Aluno

Os assuntos apresentados neste livro d˜ao continuidade a obra “Geometria Anal´ıtica e ´Algebra Linear: uma Vis˜ao Geom´etrica”, de D. Avritzer. Assim, muitos resultados daquele texto s˜ao supostos conhecidos. Por outro lado, meu enfoque sobre alguns assuntos di- fere do apresentado naquele texto. Isso motivou-me a apresent´a-los novamente. H´a uma enorme diferenc¸a entre um texto de Geometria Anal´ıtica (mesmo com uma abordagem utilizando a ´Algebra Linear, como no texto de D. Avritzer) e um texto de ´Algebra Linear, como este livro. A apresentac¸ ˜ao torna-se muito mais abstrata, o que ´e uma imposic¸ ˜ao para se conseguir resultados mais gerais. Assim, ao estudar este texto, vocˆe se defrontar´a com resultados que ter´a dificuldades para compreender qual o seu significado. Essa situac¸ ˜ao ´e normal e s ´o ser´a superada com muitas horas de estudo. O curso apresenta muitos c´alculos. Apesar deles serem impor- tantes, o principal objetivo ´e que vocˆe entenda o porquˆe deles fun- cionarem. Quer dizer, vocˆe precisa compreender bem o assunto que est´a sendo exposto; caso contr´ario, vocˆe chegar´a em contas que n˜ao ter˜ao qualquer significado. A compreens˜ao da estrutura da ´Algebra Linear ´e o desafio que vocˆe ter´a que enfrentar neste curso. A demonstrac¸ ˜ao dos resultados expostos (teorema, lemas, proposic¸ ˜oes) esclarece esta estrutura, n˜ao sendo apenas uma parte “desagrad´avel e incompreens´ıvel” do as- sunto. Cada resultado deve ser lido e relido at´e que seu significado aflore. Se isso n˜ao for suficiente, tente seguir sua demonstrac¸ ˜ao em um exemplo particular, que vocˆe mesmo pode elaborar. Al´em disso, vocˆe disp ˜oe de contato quase direto com os monitores ou profes- sores, contato esse que lhe ajudar´a nessa compreens˜ao. Mas vocˆe ter´a que se dedicar bastante ao curso para superar suas dificuldades. Esse desafio ´e o mesmo enfrentado por alunos de cursos presenciais. O fato do curso ser a distˆancia apresenta – o que a primeira vista parece paradoxal – a possibilidade de uma interac¸ ˜ao mais profunda entre vocˆe e seus professores ou tutores. D ´uvidas podem ser sana- das praticamente no momento em que vocˆe est´a estudando, grac¸as a comunicac ¸ ˜ao por meio da internet. Mas, se vocˆe desprezar esse ca- nal de comunicac¸ ˜ao, o ritmo do curso far´a com que vocˆe logo se sinta completamente desorientado. Assim, a sua participac¸ ˜ao no curso, por meio desses canais de comunicac¸ ˜ao, ´e decisiva para o seu apren- dizado.

v

Sum´ario

Apresenta¸c˜ao iii

• 1 Conceitos Fundamentais Ao Aluno v
  • 1.1 Vetores na F´ısica e na Matem´atica
  • 1.2 Sistemas Lineares e o M´etodo de Gauss-Jordan
  • 1.3 C´alculo de Determinantes
  • 1.4 Exerc´ıcios
• 2 O Espa¸co Rn
  • 2.1 Equac¸ ˜ao Param´etrica do Plano
  • 2.2 Sistemas Lineares em 3 vari´aveis
  • 2.3 O Espac¸o Rn
  • 2.4 Espac¸os Vetoriais Abstratos
  • 2.5 Exerc´ıcios
• 3 Subespa¸cos do Rn e Bases
  • 3.1 Subespac¸os e Combinac¸ ˜oes Lineares
  • 3.2 Bases
  • 3.3 Dimens˜ao
  • 3.4 Exerc´ıcios
• 4 Aplica¸c ˜oes Lineares
  • 4.1 Aplicac¸ ˜oes Lineares e Matrizes – Parte I
  • 4.2 Espac¸o Linha e Espac¸o Coluna
  • 4.3 Multiplicac¸ ˜ao de Matrizes
  • 4.4 Exerc´ıcios
• 5 O Teorema do N ´ucleo e da Imagem
  • 5.1 Teorema (da dimens˜ao) do N ´ucleo e da Imagem
  • 5.2 Isomorfismos e Inversas
  • 5.3 Obtenc¸ ˜ao da Inversa de uma Matriz
  • 5.4 Exerc´ıcios
• 6 Mudan¸cas de Base
  • 6.1 Representac¸ ˜ao de um Vetor em uma Base
  • 6.2 Aplicac¸ ˜oes Lineares e Matrizes – Parte II
  • 6.3 Aplicac¸ ˜ao: Diagonalizac¸ ˜ao de uma Matriz
  • 6.4 Exerc´ıcios
• 7 O Teorema de Cayley-Hamilton viii SUM ARIO´
  • 7.1 Polin ˆomios de Aplicac¸ ˜oes Lineares
  • 7.2 Subespac¸os Invariantes
  • 7.3 O teorema de Cayley-Hamilton
  • 7.4 Aplicac¸ ˜oes
  • 7.5 Exerc´ıcios
• Referˆencias Bibliogr´aficas
• ´Indice Remissivo

2 CAP´ITULO 1. CONCEITOS FUNDAMENTAIS

Aprendemos ainda que vetores podem ser somados e multipli- cados por escalares (o nome que passamos a utilizar para nos referir a n ´umeros reais). A soma dos vetores ~v e ~w, definidos pelos pon- tos Pi, Pf e Qi, Q (^) f ´e obtida ao transladarmos o vetor ~w, de modo que seu ponto inicial seja o ponto Pf ; o vetor ~v + ~w e dado pelo segmento´ orientado unindo Pi e Q (^) f.

Pi Pf = Qi

 



^1

Q (^) f

~ u

~ v

~ u + ~ v

Figura 1.2: A adic¸ ˜ao de vetores.

Exerc´ıcio 1.1 Na figura 1.2, os vetores v e w pertencem ao “plano” do papel deste livro. Se os vetores pertencem ao espac¸o, ainda assim a figura est´a correta?

A multiplicac¸ ˜ao do vetor ~v pelo escalar α e definida como o vetor´ α ~v com a mesma direc¸ ˜ao do vetor ~v, com o mesmo sentido, se α > 0, e com sentido contr´ario, se α < 0. O m ´odulo do vetor α ~v e definido´ por ‖ α ~v‖ = | α | ‖~v‖, em que | α | e o valor absoluto do escalar´ α.





v

2 v

− 3 v

Figura 1.3: A multiplicac¸ ˜ao de um vetor por um escalar.

Exerc´ıcio 1.2 Como ´e definido α ~v, se α = 0?

Se a id´eia da soma de vetores ´e clara, a sua obtenc¸ ˜ao pr´atica no caso de vetores definidos pelas coordenadas de seus pontos inicial

e final n˜ao ´e t˜ao simples: dados dois vetores ~v =

Pi Pf e ~w =

Qi Q (^) f (isto ´e, dois segmentos orientados de retas), o vetor ~v + w~ e obtido´ por meio de uma reta r, paralela `a reta definida por ~w, passando pelo ponto Pf. Nessa reta, obtemos dois pontos cuja distˆancia ao ponto Pf ´e a mesma que a distˆancia entre Qi e Q (^) f. Ao escolhermos a soluc¸ ˜ao

R (^) f que define o mesmo sentido de

Qi Q (^) f , o segmento orientado

Pi R (^) f ´e o vetor ~v + w~. Veja a Figura 1.4.

Observa¸c˜ao 1.3 Observe que n˜ao podemos descrever a reta r como Pf + t~w, pois (ainda) n˜ao sabemos como somar as coordenadas do ponto Pf com as coordenadas do vetor w. Assim, ainda n˜ao sabemos como obter a soluc¸ ˜ao R (^) f = Pf + 1 ~w! ¢

1.1. VETORES NA F´ISICA E NA MATEM ATICA´ 3

Pi ~ v Pf

 Qi

Q (^) f ~ w

r

 R^ f  

^1

Figura 1.4: A construc¸ ˜ao geom´etrica da soma de vetores dados por suas coordenadas, a partir da definic¸ ˜ao.

Exerc´ıcio 1.4 Considere os vetores ~v =

Pi Pf e w~ =

Qi Q (^) f do plano, definidos pelos pontos Pi = (0, 0), Pf = (2, 3), Qi = (1, 5) e Q (^) f = (7, 2). Utilizando o m´etodo descrito no par´agrafo anterior, obtenha os pontos inicial Ri e final R (^) f do vetor ~v + ~w. Exerc´ıcio 1.5 Repita o exerc´ıcio anterior no caso dos vetores espaciais ~v =

Pi Pf e ~w = −−−→ Qi Q (^) f , se Pi = (0, 0, 3), Pf = (2, 3, 7), Qi = (1, 5, 2) e Q (^) f = (7, 2, 2).

Os c´alculos feitos na soluc¸ ˜ao dos exerc´ıcios anteriores nos mos- tram como ´e dif´ıcil operar com vetores desse modo. A soluc¸ ˜ao “matem´atica” para a resoluc¸ ˜ao daqueles exerc´ıcios ´e bastante interessante e corresponde a uma utilizac¸ ˜ao consciente do sistema de coordenadas cartesianas. Em primeiro lugar, notamos que a cada vetor

Qi Q (^) f corresponde

um ´unico vetor

0 P, cujo ponto inicial ´e a origem 0 e cujo ponto final ´e o ponto P. Se os vetores

Qi Q (^) f e

Ri R (^) f s˜ao iguais, a eles corresponde

o mesmo ponto P. Em outras palavras, cada vetor

Pi Pf da F´ısica ´e identificado com um ´unico ponto P. Ou seja, um vetor da F´ısica corresponde a um ponto P do sistema de coordenadas cartesianas.

Na Matem´atica, um vetor ´e um ponto do espac¸o (ou do plano).

Por esse motivo, matem´aticos usualmente denotam vetores por u, v, w, ao inv´es de ~u, ~v, w~. Em algumas situac¸ ˜oes, ´e interessante dis- tinguir entre vetores e pontos. Assim, quando queremos nos referir simplesmente ao ponto P (e n˜ao ao vetor definido por esse ponto), mantemos a notac¸ ˜ao de pontos: P, Q, R. Por outro lado, quando nos referirmos a um vetor v no sentido da F´ısica, manteremos a notac¸ ˜ao ~v. Para continuarmos, verificaremos duas propriedades b´asicas da adic¸ ˜ao de vetores: ela ´e comutativa e associativa. Ou seja, ~v + ~w = ~w + ~v e ~u + (~v + ~w) = (~u + ~v) + ~w. A comutatividade da adic¸ ˜ao ´e ilustrada pela Figura 1.5.

-











*

~ u

~ v ~ v

~ u

Figura 1.5: A adic¸ ˜ao de vetores ´e comutativa, pois vetores s˜ao soma- dos de acordo com a “regra do paralelogramo”.

1.1. VETORES NA F´ISICA E NA MATEM ATICA´ 5

Naturalmente, o mesmo procedimento tamb´em se aplica `as so- mas ~v 2 + ~w 2 e ~v 3 + ~w 3. Ora, ent˜ao temos

v + w = (v 1 + v 2 + v 3 ) + (w 1 + w 2 + w 3 ) = (v 1 + w 1 ) + (v 2 + w 2 ) + (v 3 + w 3 ) = (x 0 + x 1 , 0, 0) + (0, y 0 + y 1 , 0) + (0, 0, z 0 + z 1 ) = (x 0 + x 1 , y 0 + y 1 , z 0 + z 1 ). Em outras palavras, o tratamento anterior nos mostra que pode- mos encontrar facilmente a soma de dois vetores, se conhecemos as coordenadas de ambos: basta somar as coordenadas corresponden- tes.

Exerc´ıcio 1.6 Justifique: se v = (x 0 , y 0 , z 0 ), ent˜ao α v = ( α x 0 , α y 0 , α z 0 ). Em particular, −v = (− 1 )v = (−x 0 , −y 0 , −z 0 ), de modo que est´a definida a subtrac¸ ˜ao de dois vetores: v − w = v + (−w).

Uma vez resolvido o exerc´ıcio anterior, falta apenas um passo para encontrarmos uma soluc¸ ˜ao pr´atica para os Exerc´ıcios 1.4 e 1.5.

Consideremos o vetor

Pi Pf definido pelos pontos inicial Pi = (x 0 , y 0 , z 0 ) e final Pf = (x 1 , y 1 , z 1 ). Qual o ponto P que corresponde a esse vetor da F´ısica? Em outras palavras, qual o vetor v da Ma- tem´atica correspondente a esse vetor da F´ısica?

Examinando a Figura 1.9, vemos que

0 Pi +

Pi Pf =

0 Pf. Assim, −−→ Pi Pf =

0 Pf −

0 Pi. Como os vetores do lado direito da ´ultima igual- dade tem seu ponto inicial na origem (correspondendo assim a veto- res da Matem´atica), acabamos de verificar que

Pi Pf corresponde ao vetor v = (x 1 − x 0 , y 1 − y 0 , z 1 − z 0 ) da Matem´atica.

B B B B BBN





:

Pi

Pf

0

Figura 1.9: Se Pi = (x 0 , y 0 , z 0 ) e Pf = (x 1 , y 1 , zi), ent˜ao

−→ Pi Pf corres- ponde ao vetor v = (x 1 − x 0 , y 1 − y 0 , z 1 − z 0 ) da Matem´atica.

Exerc´ıcio 1.7 Refac¸a os Exerc´ıcios 1.4 e 1.5. Exerc´ıcio 1.8 Verifique que o todo o procedimento descrito anteriormente permanece v´alido para vetores do plano. Em outras palavras, verifique que a adic¸ ˜ao dos vetores u = (a, b) e v = (c, d) e dada pelo vetor´ u + v = (a + c, b + d) e que λ u = ( λ a, λ b). Se ~u = P~i Pf for um vetor (da F´ısica) determinado pelos pontos Pi = (x 0 , y 0 ) e Pf = (x 1 , y 1 ), verifique que ao vetor ~u corresponde o vetor (da Matem´atica) u = (x 1 − x 0 , y 1 − y 0 ).

Essa abordagem de vetores tem in ´umeras vantagens. Mas tamb´em tem desvantagens: em alguns casos, o fato geom´etrico a ser descrito fica muito mais claro utilizando o conceito de vetor no sentido f´ısico. Veja a Figura 1.10.

6 CAP´ITULO 1. CONCEITOS FUNDAMENTAIS

6

^

~ n

Figura 1.10: O vetor ~n = (0, 0, 1) e normal `´ a esfera x^2 + y^2 + z^2 = 1 no ponto (0, 0, 1).

Exerc´ıcio 1.9 Porque a figura anterior n˜ao corresponde ao sentido de vetor utilizado na Matem´atica?

Quando conveniente, ilustramos figuras utilizando o conceito f´ısico de vetor. Essa situac¸ ˜ao ocorre com frequˆencia no estudo da Ge- ometria Anal´ıtica, abordada no texto “Geometria Anal´ıtica e ´Algebra Linear: uma Vis˜ao Geom´etrica”, de D. Avritzer. Vocˆe est´a convidado a rever os Cap´ıtulos 1 a 4 do tomo II daquele livro.

1.2 Sistemas Lineares e o M´etodo de Gauss-Jordan

Para 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n, suponhamos conhecidos os valores aij e os valores bj. Um sistema linear em m equac¸ ˜oes e n inc ´ognitas procura a soluc¸ ˜ao x 1 ,... , xn que satisfaz

a 11 x 1 +... + a 1 n xn = b 1 a 21 x 1 +... + a 2 n xn = b 2 .. .

am 1 x 1 +... + amn xn = bm. Como sabemos, esse sistema pode ser escrito utilizando matrizes    

a 11 a 12 · · · a 1 n a 21 a 22 · · · a 2 n .. .

am 1 am 2 · · · amn

x 1 x 2 .. . xn

b 1 b 2 .. . bm

ou, Ax = b Se b = 0, o sistema ´e chamado homogˆeneo; se b 6 = 0, o sistema ´e n˜ao homogˆeneo. Os sistemas Ax = b e Ax = 0 relacionam- se de um modo especial, de modo que informac¸ ˜oes sobre as soluc¸ ˜oes de um fornecem dados importantes para a soluc¸ ˜ao do outro. Por esse motivo, no estudo do sistema Ax = b, o sistema Ax = 0 ´e chamado sistema homogˆeneo associado. Vamos estudar o sistema Ax = b. Para isso, mais sinteticamente ainda, representaremos esse sistema por uma ´unica matriz, chama- da matriz aumentada do sistema:

8 CAP´ITULO 1. CONCEITOS FUNDAMENTAIS

Exemplo 1.10 Considere o sistema

A = (A | b) =

Subtraindo da segunda linha duas vezes a primeira e ent˜ao divi- dindo por (− 2 ) a (nova) segunda linha, obtemos ( 1 2 3

matriz que est´a na forma escalonada. Por outro lado, trocando as duas linhas da matriz original A , di- vidindo a (nova) primeira linha por 2 e ent˜ao subtraindo a segunda linha, chegamos a (^) ( 1 1 1

que tamb´em est´a na forma escalonada. Assim, a uma mesma matriz podem corresponder diferentes for- mas escalonadas! Note, entretanto, que os pivˆos s˜ao os mesmos nas duas formas obtidas. ¢

Suponhamos agora que uma matriz C esteja na forma escalonada. Se cada piv ˆo for o ´unico elemento n˜ao nulo de sua coluna, dizemos que a matriz est´a em sua forma escalonada reduzida por linhas. Apli- cando a operac¸ ˜ao elementar (c), podemos fazer com que uma matriz na forma escalonada atinja sua forma reduzida por linhas. De fato, consideremos o piv ˆo da ´ultima linha n˜ao-nula de C. A aplicac¸ ˜ao da operac¸ ˜ao elementar (c) torna poss´ıvel zerar os elementos que est˜ao acima do piv ˆo, mantendo ainda a matriz na forma escalonada. A demonstrac¸ ˜ao agora segue-se da´ı por induc¸ ˜ao, aplicando o mesmo procedimento ao piv ˆo da pen ´ultima linha n˜ao-nula de C e assim su- cessivamente. A forma escalonada reduzida por linhas de uma matriz ´e ´unica. Mostraremos esse resultado no Teorema 1.17.

Exemplo 1.11 Consideremos o sistema Ax = b, cuja matriz aumen- tada ´e dada por     

b 1 − 1 0 0 0 0 0

∣ (^) b 2 0 1 0 0 0 0

b 3 1 1 1 1 0 0

b 4 0 0 0 0 1 − 3

∣ (^) b 5

Queremos determinar para quais valores de b 1 ,... , b 5 o sistema tem soluc¸ ˜ao. Se ele tiver soluc¸ ˜ao, queremos determin´a-la. Levando a matriz aumentada do sistema `a forma escalonada re- duzida por linhas, obtemos    

b 1 0 1 0 0 0 0

∣ (^) b 3 0 0 1 1 0 0

∣ (^) b 4 − b 1 − b 3 0 0 0 0 1 − 3

b 5 0 0 0 0 0 0

∣ (^) b 1 + b 2

1.2. SISTEMAS LINEARES E O M ETODO DE GAUSS-JORDAN´ 9

A ´ultima linhas nos mostra que esse sistema apenas possui solu- c¸ ˜ao se tivermos b 1 + b 2 = 0. Quer dizer, se tivermos b 1 + b 2 6 = 0, o sistema n˜ao tem soluc¸ ˜ao. Se o sistema tiver soluc¸ ˜ao, podemos determin´a-las.^2 Suponha- mos, portanto, que b 1 + b 2 = 0. Escrevemos as vari´aveis corres- pondentes aos piv ˆos em termos das demais vari´aveis (chamadas vari´aveis livres):

x 1 = b 1 x 2 = b 3 x 3 = (b 4 − b 1 − b 3 ) − x 4 x 4 = x 4 x 5 = b 5 + 3 x 6 x 6 = x 6

Podemos escrever essa resposta de uma maneira que se mostrar´a bastante ´util:     

x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6

b 1 b 3 b 4 − b 1 − b 3 0 b 5 0

• x 4

• x 6

Quer dizer, para quaisquer valores de b 1 , b 3 , b 4 e b 5 , e para quais- quer valores escolhidos para as vari´aveis livres x 4 e x 6 , a soluc¸ ˜ao do sistema Ax = b (com b 1 + b 2 = 0) ´e dada pela express˜ao anterior. O sistema tem infinitas soluc¸ ˜oes, resultantes da escolha de valores para x 4 e x 6. ¢

Observa¸c˜ao 1.12 O exemplo anterior deixa claro que a existˆencia de soluc¸ ˜oes para um sistema Ax = b, sendo A uma matriz m × n, n˜ao depende diretamente de m e n. Ele n˜ao possuir´a soluc¸ ˜ao se, na forma escalonada reduzida por linhas de (A|b), n˜ao tivermos uma linha no formato (0, c), com c 6 = 0. (Esse ´e o formato da ´ultima linha no sis- tema anterior, se tivermos b 1 + b 2 6 = 0.) Se esse n˜ao for o caso, o sistema sempre possuir´a soluc¸ ˜ao: se existirem vari´aveis livres (quer dizer, o n ´umero de piv ˆos n˜ao for igual a n), ent˜ao o sistema pos- suir´a infinitas soluc¸ ˜oes, resultantes das infinitas escolhas de valores para as vari´aveis livres. Se n˜ao existirem vari´aveis livres, o sistema possuir´a uma ´unica soluc¸ ˜ao. ¢

Exerc´ıcio 1.13 Escreva explicitamente o sistema considerado no Exemplo 1.11. Exerc´ıcio 1.14 Dˆe um exemplo de um sistema com uma equac¸ ˜ao e duas inc ´ognitas que possua as mesmas soluc¸ ˜oes de um sistema com duas equac¸ ˜oes e duas inc ´ognitas. Exerc´ıcio 1.15 Dˆe um exemplo de um sistema com duas equac¸ ˜oes e duas inc ´ognitas que n˜ao possua soluc¸ ˜ao. (^2) Sendo mais expl´ıcito, estou dizendo que a denominac¸ ˜ao “sistema indetermi- nado”, utilizada no ensino m´edio, ´e inadequada.

1.3. C ALCULO DE DETERMINANTES´ 11

Teorema 1.19 Considere um sistema homogˆeneo Ax = 0. Se A for uma matriz m × n, com m < n, ent˜ao Ax = 0 possui infinitas solu¸c˜oes. Ou seja, qualquer sistema homogˆeneo com mais inc´ognitas do que equa¸c˜oes possui infinitas solu¸c˜oes.

Demonstra¸c˜ao: A forma escalonada reduzida por linhas de A pos- sui um n ´umero r de piv ˆos que ´e, no m´aximo, igual ao n ´umero de equac¸ ˜oes. Assim, ela possui n − r de vari´aveis livres e, portanto, infinitas soluc¸ ˜oes. 2

Defini¸c˜ao 1.20 Sejam A uma matriz m × n. Definimos o n ´ucleo de A, denotado ker A,^3 como sendo o conjunto de solu¸c˜oes do sistema Ax = 0.

Teorema 1.21 Suponha que x 0 seja uma solu¸c˜ao do sistema Ax = b, isto ´e, Ax 0 = b. Se x 1 tamb´em for uma solu¸c˜ao do sistema Ax = b, ent˜ao x 1 = x 0 + z, em que z ∈ ker A. Em particular, se Ax = 0 s´o possuir a solu¸c˜ao trivial, a solu¸c˜ao de Ax = b ser´a ´unica.

Demonstra¸c˜ao: Suponhamos que z ∈ ker A. Ent˜ao x 0 + z e soluc´ ¸ ˜ao do sistema Ax = b, pois A(x 0 + z) = Ax 0 + Az = b + 0 = b. Quer dizer, x 0 + z e soluc´ ¸ ˜ao de Ax = b, para todo z ∈ ker A. Suponhamos agora que Ax 1 = b, ou seja, que x 1 seja tamb´em soluc¸ ˜ao de Ax = b. Consideremos x 1 − x 0. Ent˜ao A(x 1 − x 0 ) = Ax 1 − Ax 0 = b − b = 0, que dizer, (x 1 − x 0 ) ∈ ker A. Denotando z = x 1 − x 0 , temos x 1 = x 0 + (x 1 − x 0 ) = x 0 + z, o que completa a demonstrac¸ ˜ao. 2

Voltando ao Exemplo 1.11, podemos agora interpretar a equac¸ ˜ao (1.1). O primeiro termo do lado direito (o termo dependente de b) ´e uma soluc¸ ˜ao particular de Ax = b (no caso b 1 + b 2 = 0). Os termos seguintes (correspondentes as vari´aveis livres x 4 e x 6 nos fornecem todas as soluc¸ ˜oes do sistema homogˆeneo associado. Observe que isso ´e imediato, pois correspondea escolha b 1 = · · · = b 6 = 0.

Exerc´ıcio 1.22 Considere o sistema

3 x + 2 y + 3 z = 8 x + y + z = 3 2 x + y − z = 2.

Sabendo que (1, 1, 1) e uma de suas soluc´ ¸ ˜oes, ache todas as soluc¸ ˜oes do sistema.

1.3 C´alculo de Determinantes

Defini¸c˜ao 1.23 Uma matriz quadrada ´e triangular superior se todas as suas entradas abaixo da diagonal principal s˜ao nulas.

Exerc´ıcio 1.24 Mostre que o determinante de uma matriz triangular superior ´e o pro- duto de suas entradas na diagonal principal. Defina matriz triangular inferior e mostre o resultado an´alogo. (^3) A notac¸ ˜ao ker vem do alem˜ao: kernel quer dizer n ´ucleo.

12 CAP´ITULO 1. CONCEITOS FUNDAMENTAIS

Exerc´ıcio 1.25 Justifique: se uma matriz quadrada estiver na forma escalonada, ent˜ao ela e triangular superior.´ O escalonamento de uma matriz (e o fato do determinante de uma matriz triangular superior ser o produto das entradas diago- nais dessa matriz) nos fornece um m´etodo eficiente para o c´alculo do determinante de uma matriz. De fato, sabemos que a aplicac¸ ˜ao da operac¸ ˜ao fundamental (a) a uma matriz faz com que seu determinante seja multiplicado por −1. A operac¸ ˜ao fundamental (b) faz com que o determinante seja multiplicado pelo valor c, enquanto a operac¸ ˜ao fundamental (c) n˜ao altera o valor do determinante. (As operac¸ ˜oes fundamentais (a), (b) e (c) foram descritas na Sec¸ ˜ao 1.2.) Vejamos um exemplo do c´alculo do determinante de uma matriz:

Exemplo 1.26 Consideremos a matriz

A =

Multiplicando a primeira linha por −1 e somando a segunda ea terceira e, ent˜ao, multiplicando a primeira linha por −4 e somando a quarta linha, n˜` ao alteramos o valor do determinante:

det A = det

 =^ det

.^ (1.2)

Continuando o escalonamento, obtemos (de acordo com as pro- priedades do determinante)

det A = det

 = (^2 )^ det

Ent˜ao,

det A = ( 2 ) det

 =^ −(^2 )^ det

A ´ultima matriz ´e triangular superior, de modo que seu determi- nante ´e o produto de suas entradas na diagonal principal. Assim,

det A = −2.