Baixe Álgebra linear 1, matemática e outras Notas de aula em PDF para Álgebra, somente na Docsity!
Introdu¸c˜ao
Algebra Linear 1 ´^ ´ e uma continua¸c˜ao de GAAL. Em GAAL, estudamos propriedades de:
- Matrizes com entradas em R
- Vetores (geralmente em R^2 ou R^3 )
Em Algebra Linear 1 vamos re-estudar os conceitos de vetor e matriz. Umas ideias principais:´
- Um espa¸co vetorial V ser´a uma cole¸c˜ao de todos os vetores de um dado tipo (por exemplo, R^2 , R^3 s˜ao espa¸cos vetoriais). Vamos considerar espa¸cos do tipo Rn^ com n maior, e at´e espa¸cos com “n = ∞”.
- Uma matriz ser´a considerada como um tipo de aplica¸c˜ao especial entre espa¸cos vetoriais. Tais aplica¸c˜oes se chamam transforma¸c˜oes lineares. Por exemplo, uma matriz 3 × 2 vai ser uma trans- forma¸c˜ao linear de R^2 a R^3.
Com essas ideias em m˜ao, v´arias defini¸c˜oes peculiares de GAAL se tornam mais naturais. Por exemplo, suponha que temos transforma¸c˜oes lineares assim:
R^4
g ←− R^3 f ←− R^2.
- f corresponde a uma matriz 3 × 2 A,
- g corresponde a uma matriz 4 × 3 B.
A composi¸c˜ao gf ´e uma transforma¸c˜ao linear de R^2 a R^4 , logo corresponde a uma matriz 4 × 2. Qual?
Resposta: a matriz da composi¸c˜ao ser´a o PRODUTO BA das matrizes B e A. Por isso o produto de matrizes ´e definido assim.
Antes de come¸car: Introdu¸c˜ao aos n´umeros Complexos
Neste curso, nossa tarefa principal ser´a para estudar os espa¸cos vetoriais com coeficientes em R (os espa¸cos R^2 , R^3 ,... que j´a conhecemos de GAAL). Mas essencialmente tudo que a gente faz funcionar´a igualmente bem (ou at´e melhor) com coeficientes no corpo C dos n´umeros complexos, e vamos ter utilidade expl´ıcita de C bem pelo fim do curso. Ent˜ao segue uma pequena introdu¸c˜ao aos n´umeros complexos.
O ponto de partido ´e:
Defini¸c˜ao. Seja i o n´umero tal que i^2 = − 1.
Observe que i 6 ∈ R, pois a^2 > 0 para todo a ∈ R.
Defini¸c˜ao. O conjunto C dos n´umeros complexos ´e
C = {a + bi | a, b ∈ R}.
Somamos os n´umeros complexos assim:
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i,
e multiplicamos eles assim: (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i.
Esta multiplica¸c˜ao faz sentido, lembrando que i^2 = −1, pois:
(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2 = ac + (ad + bc)i + bd(−1) = (ac − bd) + (ad + bc)i.
Observe que, como em R (mas diferente de Z, por exemplo), todo n´umero complexo a + bi diferente de 0 possui inverso multiplicativo, nomeadamente (^) a 2 a+b 2 − (^) a (^2) +bb 2 i (confirme isso!).
As vezes ´` e ´util pensar nos elementos de C no plano:
i a + bi
a
b
O eixo horizontal chama-se o eixo real (pois os n´umeros deste eixo tˆem a forma a + 0i = a ∈ R), enquanto o eixo vertical chama-se o eixo imagin´ario. A norma ‖z‖ de um n´umero complexo z ´e o comprimento do segmento no plano representando z. Logo pelo Teorema de Pit´agoras, ‖a + bi‖ =
a^2 + b^2.
Defini¸c˜ao. O conjugado complexo de um n´umero complexo z = a + bi ´e o n´umero complexo z = a − bi.
Logo, o conjugado complexo z de z ´e a reflex˜ao de z no eixo real:
i
z
z
Exerc´ıcio: Dados n´umeros complexos y, z, mostre que y + z = y + z e que y · z = yz.
Uma f´ormula importante pra gente:
z · z = z · z = ‖z‖^2
Assumindo que z = a + bi, ela segue por uma conta f´acil:
z · z = (a + bi)(a − bi) = a^2 + abi − abi − b^2 i^2 = a^2 + b^2 = ‖z‖^2 X
Observe tamb´em que quando z 6 = 0, esta f´ormula implica que
1 = z · z ‖z‖^2
z · z a^2 + b^2
e segue que z−^1 = z/‖z‖ = (a − bi)/(a^2 + b^2 ) como foi afirmado anteriormente. Os n´umeros complexos tˆem todas as propriedades legais dos n´umeros reais: podemos somar, multiplicar e dividir eles entre si. Mas os n´umeros complexos tˆem uma vantagem enorme sobre os n´umeros reais, e por isso s˜ao t˜ao importantes na matem´atica:
Teorema (O Teorema Fundamental da Algebra)´. Seja f (x) um polinˆomio n˜ao constante com coeficientes em C. Existe uma raiz de f em C. Isto ´e, existe z ∈ C tal que f (z) = 0.
A prova deste resultado usa an´alise – vale a pena ver ela em algum momento. Por enquanto, somente vamos olhar um exemplo simples:
Exemplo. Seja f (x) = x^2 − 2 x + 5. Pela f´ormula quadr´atica, as raizes de f s˜ao
λ =
2 ± 4 i 2
= 1 ± 2 i.
Exemplos. • Rn^ ´e um espa¸co vetorial ∀n. Exerc´ıcio: confirme que Rn^ satisfaz as propriedades 1–8.
- Quando n = 1 acima, obtemos que R = R^1 ´e um espa¸co vetorial sobre R. As opera¸c˜oes da soma e da multiplica¸c˜ao por escalar s˜ao simplemente a soma e o produto de n´umeros reais:
(a) + (b) = (a + b)
λ(a) = (λa).
- O menor espa¸co vetorial de todos: { 0 } ´e um espa¸co vetorial. Temos somente um jeito de definir a soma e produto por escalar: 0 + 0 = 0 λ · 0 = 0. Este espa¸co parece meio idiota, mas ele ´e muito importante.
- Denote por Mm,n(R) o conjunto das matrizes m × n com entradas em R. Se lembre que podemos somar duas matrizes em Mm,n(R):
Se A = (aij ), B = (bij ) ∈ Mm,n(R) ent˜ao A + B = (aij + bij ) ∈ Mm,n(R).
Tamb´em podemos multiplicar uma matriz por um escalar:
Se A = (aij ) ∈ Mm,n(R) , λ ∈ R ent˜ao λA = (λaij ) ∈ Mm,n(R).
De fato, com essas opera¸c˜oes, Mm,n(R) ´e um espa¸co vetorial. Confirmo, por exemplo, que satisfaz Propriedade 3. A matriz 0 ser´a a matriz cujas entradas s˜ao todas 0:
Para qualquer matriz A = (aij ) a gente tem
A + 0 = (aij ) + (0) = (aij + 0) = (aij ) = A. X
Exerc´ıcio: confirme que mais algumas das propriedades valem. Os espa¸cos M 1 ,n(R) e Mn, 1 (R) s˜ao os espa¸cos de vetores linhas e de vetores colunas, respetivamente, de comprimento n sobre R. Estes espa¸cos ser˜ao identificados com Rn.
- Um exemplo menos ´obvio. Seja X um conjunto qualquer e considere o conjunto das fun¸c˜oes (= aplica¸c˜oes) de X a R: F(X, R) = {f : X → R uma fun¸c˜ao}. Podemos definir a soma de duas fun¸c˜oes: Dadas fun¸c˜oes f, g : X → R, definimos uma fun¸c˜ao nova (f + g) : X → R como (f + g)(x) := f (x) + g(x). Tamb´em podemos definir o produto por escalar de uma fun¸c˜ao f pelo escalar λ assim:
(λf )(x) := λ · f (x).
Com essas opera¸c˜oes, F(X, R) ´e um espa¸co vetorial. Vamos confirmar umas propriedades:
Prop 2: Dadas fun¸c˜oes f, g : X → R, queremos confirmar que as fun¸c˜oes f + g e g + f s˜ao iguais. Para fazer isso, temos que confirmar que (f + g)(x) = (g + f )(x) para todo x ∈ X. Mas isso ´e f´acil:
(f + g)(x) = f (x) + g(x) = g(x) + f (x) = (g + f )(x).
Prop 3: A fun¸c˜ao 0 ∈ F(X, R) ser´a a fun¸c˜ao que leva todo x ∈ X pro elemento 0 ∈ R. Ou seja, 0(x) := 0 ∀x ∈ X. Temos que confirmar que f + 0 = f , logo temos que confirmar que (f + 0)(x) = f (x) ∀x ∈ X. Mas (f + 0)(x) = f (x) + 0(x) = f (x) + 0 = f (x).
Exerc´ıcio: Defina a fun¸c˜ao “−f ” e confirme que as outras propriedades valem.
Subespa¸cos
Um subespa¸co W de um espa¸co vetorial V ser´a um espa¸co vetorial “menor” contido dentro de V. Observe que um espa¸co vetorial possui v´arios subespa¸cos diferentes:
x
y W 1
W 2
W 3
Os espa¸cos vetoriais W 1 , W 2 , W 3 s˜ao subespa¸cos de R^2
Vamos passar tempo estudando como os subespa¸cos de um espa¸co vetorial podem interagir entre si. Defini¸c˜ao formal:
Defini¸c˜ao. Um subespa¸co do espa¸co vetorial V ´e um subconjunto n˜ao vazio W de V tal que
- u, v ∈ W =⇒ u + v ∈ W ,
- u ∈ W e λ ∈ R =⇒ λu ∈ W.
Quando W ´e um subespa¸co de V , vamos `as vezes escrever W 6 V.
Outras propriedades seguem da defini¸c˜ao:
Fato: Para todo subespa¸co W de V , 0 ∈ W.
Demonstra¸c˜ao. W 6 = ∅, ent˜ao existe algum w ∈ W. Mas agora
0 · w = 0 ∈ W
pela segunda condi¸c˜ao de subespa¸co.
Exerc´ıcio: Confirme que um subespa¸co W de V ´e de fato um espa¸co vetorial. A defini¸c˜ao de subespa¸co ´e mais curta pois certas propriedades seguem automaticamente. Por exemplo, ∀u, v, w ∈ W temos que
(u + v) + w = u + (v + w)
pois essa propriedade j´a vale em V.
Exemplos (gerais). Seja V um espa¸co vetorial. Uns subespa¸cos de V :
- { 0 } 6 V , pois 0 + 0 = 0 ∈ { 0 } e λ0 = 0 ∈ { 0 } para qualquer λ ∈ R.
- V 6 V.
- Seja w um vetor qualquer de V e seja W = {λw | λ ∈ R} o conjunto de todos os m´ultiplos escalares de w. Ent˜ao W 6 V : λw, μw ∈ W =⇒ λw + μw = (λ + μ)w ∈ W X λw ∈ W, μ ∈ R =⇒ μ(λw) = (μλ)w ∈ W. X Subespa¸cos dessa forma em Rn^ s˜ao retas que passam pela origem, como os subespa¸cos W 1 , W 2 , W 3 no diagrama acima.
Combina¸c˜oes lineares e geradores
Se lembre que nossos espa¸cos vetoriais s˜ao sobre R.
Defini¸c˜ao. Sejam v 1 ,... , vn elementos do espa¸co vetorial V. Uma combina¸c˜ao linear de v 1 ,... , vn ´e um elemento de V da forma λ 1 v 1 + · · · + λnvn,
com λ 1 ,... , λn elementos de R.
Teorema. Seja X um conjunto de elementos do espa¸co vetorial V. Ent˜ao o conjunto
W =
λ 1 v 1 + · · · + λnvn | n ∈ N , λ 1 ,... , λn ∈ R , v 1 ,... , vn ∈ X
de todas as combina¸c˜oes lineares (finitas!) de elementos de X ´e um subespa¸co de V. Diremos que W ´e gerado por X e que os elementos de X s˜ao geradores de W. Vamos `as vezes usar a nota¸c˜ao [X] para denotar o subespa¸co de V gerado por X.
Demonstra¸c˜ao. Exerc´ıcio! E f´´ acil mas muito importante.
Exemplos. • Considere o seguinte subconjunto de M 2 , 3 (R):
X =
Uma combina¸c˜ao linear geral de elementos de X tem a forma
a
a b 2 c 0 c a
ent˜ao o subespa¸co de M 2 , 3 (R) gerado por X ´e { ( a b 2 c 0 c a
∣ a, b, c^ ∈^ R
{anxn^ + an− 1 xn−^1 + · · · + a 1 x + a 0 | n ∈ N, a 0 ,... , an ∈ R}
dos polinˆomios com coeficientes em R. Afirmamos que R[x] ´e um espa¸co vetorial (sobre R). Para verificar esta afirma¸c˜ao, vamos definir a soma e o produto por escalar para polinˆomios. SOMA: Pegue dois polinˆomios f (x), g(x). J´a que uns coeficientes poderiam ser 0, podemos escrevˆe-las como: f (x) = anxn^ + · · · + a 1 x + a 0 g(x) = bnxn^ + · · · + b 1 x + b 0. onde o graus de f, g s˜ao no m´aximo n. A soma de f e g ´e
f (x) + g(x) = (anxn^ + · · · + a 1 x + a 0 ) + (bnxn^ + · · · + b 1 x + b 0 ) = (an + bn)xn^ + · · · + (a 1 + b 1 )x + (a 0 + b 0 ) ∈ R[x]
PRODUTO ESCALAR: Dado f (x) = anxn^ + · · · + a 1 x + a 0 ∈ R[x] e λ ∈ R, temos
λ · f (x) = λ(anxn^ + · · · + a 1 x + a 0 ) = λanxn^ + · · · + λa 1 x + λa 0 ∈ R[x].
E f´^ ´ acil verificar que esta soma e produto escalar satisfazem as propriedades exigidas na defini¸c˜ao de espa¸cos vetoriais e portanto o conjunto R[x] ´e um espa¸co vetorial. Note que todo polinˆomio f (x) ∈ R[x] determina uma fun¸c˜ao polinomial, nomeadamente, a fun¸c˜ao
f : R → R, α 7 → f (α),
e polinˆomios distintos definem fun¸c˜oes distintas (esta afirma¸c˜ao n˜ao ´e totalmente ´obvia e vocˆe deve pensar em uma justificativa). Al´em disso a soma e o produto por escalar de polinˆomios correspondem
`a soma e ao produto escalar de fun¸c˜oes. Considerando R[x] como o conjunto de fun¸c˜oes polinomiais, R[x] pode ser visto como um subespa¸co do espa¸co de fun¸c˜oes F(R, R). Considere o seguinte conjunto dos polinomios mais f´aceis:
X = { 1 , x, x^2 , x^3 ,.. .}.
Observe que qualquer elemento
f (x) = anxn^ + an− 1 xn−^1 + · · · + a 1 x + a 0 · 1
de R[x] ´e uma combina¸c˜ao linear dos elementos de X, e que toda combina¸c˜ao linear de elementos de X ´e um elemento de R[x]. Ent˜ao, R[x] ´e gerado pelo conjunto X.
Interse¸c˜oes e somas de subespa¸cos
Sejam V um espa¸co vetorial e W, Y dois subespa¸cos de V.
Proposi¸c˜ao. A interse¸c˜ao W ∩ Y de W e Y ´e mais um subespa¸co de V.
Demonstra¸c˜ao. Temos que confirmar que as propriedades de subespa¸co est˜ao satisfeitas. Primeiro, 0 ∈ W e 0 ∈ Y , logo 0 ∈ W ∩ Y , mostrando que W ∩ Y 6 = ∅.
- Sejam u, v ∈ W ∩ Y. Ent˜ao
- u, v ∈ W e W ´e subespa¸co, logo u + v ∈ W ,
- u, v ∈ Y e Y ´e subespa¸co, logo u + v ∈ Y.
Segue que u + v ∈ W ∩ Y.
- Exerc´ıcio! A ideia ´e similar `a primeira parte.
Noutro lado, a uni˜ao de dois subespa¸cos de V geralmente n˜ao ´e um subespa¸co. Por exemplo, considere os seguintes subespa¸cos de R^2 :
X = {(x, 0) | x ∈ R} , Y = {(0, y) | y ∈ R}
(informalmente, X ´e o “eixo x” e Y ´e o “eixo y”). Os elementos
(1, 0) , (0, 1) ∈ X ∪ Y,
mas (1, 0) + (0, 1) = (1, 1) n˜ao pertence nem a X nem a Y , logo (1, 1) 6 ∈ X ∪ Y :
X
Y
(1, 0) ∈ X ∪ Y
X ∪ Y 3 (0, 1) • •^
(1, 1) = (1, 0) + (0, 1) 6 ∈ X ∪ Y
O jeito correto para “juntar” dois subespa¸cos ´e o seguinte:
Defini¸c˜ao. Sejam W, Y dois subespa¸cos do espa¸co vetorial V. A soma de W e Y ´e
W + Y := {w + y | w ∈ W , y ∈ Y }.
Exerc´ıcio: Confirme que W + Y ´e sempre um subespa¸co de V.
- todo elemento de P 2 pode ser escrito como soma de um elemento de D e um elemento de E, logo P 2 = D + E.
- essa express˜ao ´e ´unica (a = α , b = β − α , c = γ − α, n˜ao temos escolha).
Segue pela proposi¸c˜ao ent˜ao que P 2 = D ⊕ E.
Dependˆencia Linear
Defini¸c˜ao. O conjunto X de vetores no espa¸co vetorial V ´e linearmente dependente (LD) se existem v 1 ,... , vn ∈ X e λ 1 ,... , λn ∈ R, nem todos 0 , tais que
λ 1 v 1 + · · · + λnvn = 0.
Se X n˜ao ´e linearmente dependente, ent˜ao X ´e linearmente independente (LI). Logo X ´e LI se dados v 1 ,... , vn ∈ X, λ 1 v 1 + · · · + λnvn = 0 =⇒ λi = 0 ∀i ∈ { 1 ,... , n}.
Exemplos. • Seja v 6 = 0 um vetor. Ent˜ao X = {v} ´e LI, pois a equa¸c˜ao
λv = 0
est´a satisfeita somente quando λ = 0.
- Qualquer conjunto X que cont´em o vetor 0 ´e LD, pois
1 · 0 = 0 mas 1 6 = 0.
- O subconjunto {(1, 1), (1, −1)} ⊆ R^2 ´e LI: suponha que
λ(1, 1) + μ(1, −1) = 0.
Temos que confirmar que λ = μ = 0. Mas
λ(1, 1) + μ(1, −1) = (λ + μ, λ − μ) = (0, 0).
O segundo componente diz que λ − μ = 0, ent˜ao λ = μ. O primeiro componente diz que 0 = λ + μ = λ + λ = 2λ, ent˜ao λ = μ = 0, logo {(1, 1), (1, −1)} ´e LI.
- Exerc´ıcio: Sejam u, v vetores n˜ao nulos. Mostre que {u, v} ´e LD se, e somente se, u ´e m´ultiplo escalar de v.
- Sejam V = R^3 e X = {(1, 2 , 5) , (7, − 1 , 5) , (1, − 1 , −1)}. Para ver se X ´e LD ou LI, temos que decidir se a equa¸c˜ao
x 1 (1, 2 , 5) + x 2 (7, − 1 , 5) + x 3 (1, − 1 , −1) = (0, 0 , 0)
possui solu¸c˜ao n˜ao trivial ou n˜ao. A matriz do sistema linear correspondente ´e
cuja forma escalonada reduzida ´e (^)
A terceira coluna n˜ao possui pivˆo, ent˜ao x 3 ´e livre. Em particular, o sistema possui solu¸c˜oes n˜ao triviais. Segue da defini¸c˜ao que X ´e linearmente dependente.
Um subconjunto X ´e LD se existir uma dependˆencia linear entre os elementos de X. Mais precisamente:
Proposi¸c˜ao. Seja X um subconjunto de V com pelo menos dois elementos. Ent˜ao X ´e LD se, e somente se, pelo menos um dos vetores v de X pode ser escrito como combina¸c˜ao linear dos outros.
Demonstra¸c˜ao. Exerc´ıcio. Dicas:
=⇒ Suponha que X ´e LD. Ent˜ao existem v 1 ,... , vn ∈ X tais que
λ 1 v 1 + · · · + λnvn = 0
com nem todo λi = 0. Pegue um vi com λi 6 = 0. Isole ele de um lado para expressar ele como combina¸c˜ao linear dos outros.
⇐= Expresse algum v ∈ X como combina¸c˜ao linear de outros vetores em X. Rearrange.
Coordenadas
O seguinte resultado explica porque bases s˜ao t˜ao importantes na teoria dos espa¸cos vetoriais.
Teorema. Se B ´e uma base de um espa¸co vetorial V , ent˜ao todo elemento de V pode ser escrito unicamente como combina¸c˜ao linear de elementos em B.
Demonstra¸c˜ao. A defini¸c˜ao da base implica que todo elemento de V pode ser escrito como combina¸c˜ao linear de elementos de B. Assuma que um vetor v pode ser escrito de duas maneiras:
v = α 1 b 1 + · · · + αkbk = β 1 b 1 + · · · + βkbk
com b 1 ,... , bk ∈ B e α 1 ,... , αk, β 1 ,... , βk ∈ R. Subtraindo o lado direito do lado esquerdo, obtemos que
0 = (α 1 − β 1 )b 1 + · · · + (αk − βk)bk.
Mas, como B ´e uma base, os vetores b 1 ,... , bk s˜ao LI e isto significa (pela defini¸c˜ao de ser LI) que
(α 1 − β 1 ) = · · · = (αk − βk) = 0;
ou seja, αi = βi vale para todo i. Obbtivemos assim que a express˜ao de v como combina¸c˜ao linear de elementos de B ´e ´unica.
Defini¸c˜ao. Seja B uma base de um espa¸co vetorial V e seja v ∈ V. Escreva o vetor v como uma combina¸c˜ao linear v = α 1 b 1 + · · · + αkbk de elementos de B. Os escalares α 1 ,... , αk s˜ao chamadas de coordenadas do vetor v relativas `a base B.
Como est´a enfatizado na defini¸c˜ao acima, as coordenadas de um vetor v dependem da base escolhida.
Exemplo. Considere V = R^3. Considere a base canˆonica B 1 = {(1, 0 , 0), (0, 1 , 0), (0, 0 , 1)} de V e considere tamb´em a base B 2 = {(1, 1 , 0), (1, 0 , 1), (0, 1 , 1)} de V. Seja v = (1, − 1 , 1). O vetor v pode ser escrito como combina¸c˜ao linear nestas bases na maneira seguinte:
v = 1 · (1, 0 , 0) − 1 · (0, 1 , 0) + 1 · (0, 0 , 1) = (− 1 /2)(1, 1 , 0) + (3/2)(1, 0 , 1) − (1/2)(0, 1 , 1).
Ent˜ao as coordenadas de v s˜ao 1, −1, 1 relativas a base B 1 , enquanto as coordenadas relativasa base B 2 s˜ao − 1 /2, 3/2, − 1 /2.
Existˆencia de bases
Defini¸c˜ao. O espa¸co vetorial V ´e finitamente gerado se existir um subconjunto finito X de V que gera V.
O seguinte resultado vale para espa¸cos vetoriais quaisquer, mas a prova usa t´ecnicas da teoria dos conjuntos que a gente n˜ao possui.
Teorema. Sejam V um espa¸co vetorial finitamente gerado e X um conjunto finito de geradores de V. Algum subconjunto de X ´e uma base de V.
Demonstra¸c˜ao. O espa¸co vetorial { 0 } possui a base ∅, ent˜ao vamos supor que V 6 = { 0 }. Seja B = {b 1 ,... , bn} um subconjunto maximal LI de X: isto ´e, B ⊆ X ´e LI, mas quando colocar qualquer ou- tro elemento de X, ent˜ao o conjunto obtido ser´a LD. Afirmamos que qualquer v ∈ X ´e combina¸c˜ao linear de elementos de B: os elementos de B obviamente s˜ao, ent˜ao seja v ∈ X\B. O conjunto B ∪ {v} ´e LD (pois B ´e maximal LI), ent˜ao existem n´umeros λ, a 1 ,... , an nem todos 0, tais que λv + a 1 b 1 + · · · + anbn = 0.
Se λ fosse 0, ter´ıamos que a 1 b 1 + · · · + anbn = 0
com nem todo ai = 0 – imposs´ıvel, pois B ´e LI. Ent˜ao, λ 6 = 0 e podemos rearranjar para obter
v = −
a 1 λ
b 1 − · · · −
an λ
bn.
J´a que todo elemento de X ´e combina¸c˜ao linear dos elementos de B, o subespa¸co gerado por B cont´em o subespa¸co gerado por X, mas esse ´e V. Logo B gera V. Ent˜ao, B ´e um conjunto LI de geradores de V , ou seja, uma base de V.
Corol´ario. Qualquer espa¸co vetorial finitamente gerado possui uma base finita.
Demonstra¸c˜ao. Seja X um conjunto finito de geradores de V. Pelo teorema, algum subconjunto de X ´e uma base finita de V.
Dimens˜ao
Em princ´ıpio, pode acontecer que um espa¸co vetorial possui uma base com 3 elementos, e outra base com 4 elementos. Vamos mostrar que isso n˜ao acontece. Quaisquer duas bases de um espa¸co vetorial finitamente gerado tˆem o mesmo tamanho.
Proposi¸c˜ao. Seja B = {b 1 ,... , bn} uma base de V com n elementos. Qualquer subconjunto X de V com mais que n elementos ´e LD.
Demonstra¸c˜ao. Seja Y = {v 1 ,... , vn+1} um subconjunto de X com n + 1 elementos. Vamos mostrar que Y ´e LD (logo X tamb´em a ´e). Temos que mostrar que a equa¸c˜ao
λ 1 v 1 + · · · + λn+1vn+1 = 0 (∗)
possui solu¸c˜ao n˜ao trivial. J´a que B gera V , cada vi ´e combina¸c˜ao linear dos elementos de B:
v 1 = a 1 , 1 b 1 + · · · + an, 1 bn v 2 = a 1 , 2 b 1 + · · · + an, 2 bn .. . vn+1 = a 1 ,n+1b 1 + · · · + an,n+1bn
Substituindo estas express˜oes em (∗) e colocando os bi em evidˆencia, obtemos a equa¸c˜ao
(a 1 , 1 λ 1 + · · · + a 1 ,n+1λn+1)b 1 + · · · + (an, 1 λ 1 + · · · + an,n+1λn+1)bn = 0.
Mas B ´e LI, logo obtemos as equa¸c˜oes
a 1 , 1 λ 1 + · · · + a 1 ,n+1λn+1 = 0 .. . an, 1 λ 1 + · · · + an,n+1λn+1 = 0
Mas este ´e um sistema homogˆeneo com n equa¸c˜oes e n + 1 vari´aveis. Ent˜ao ele possui uma solu¸c˜ao n˜ao trivial, como a gente queria.
Teorema. Seja B uma base finita do espa¸co vetorial V ´e seja C outra base de V. Ent˜ao |C| = |B|.
Demonstra¸c˜ao. J´a que B ´e uma base de V e C ´e LI, segue da proposi¸c˜ao que |C| 6 |B|. Mas agora C ´e uma base finita e B ´e LI, ent˜ao |B| 6 |C| pela proposi¸c˜ao de novo. Logo |B| = |C|.
Exemplos. • O subconjunto de M 2 , 2 (R)
X =
´e LI ou LD? R: Poderia resolver essa quest˜ao usando sistemas lineares, mas seria chato. Em vez disso: j´a observamos que M 2 , 2 (R) possui uma base com quatro elementos {( 1 0 0 0
logo qualquer conjunto com mais que 4 elementos ´e LD. J´a que |X| = 5, acabou – X ´e LD.
- Mostre que o espa¸co vetorial R[x] n˜ao possui uma base finita. R: At´e agora, sabemos que R[x] possui pelo menos uma base infinita, nomeadamente
X = { 1 , x, x^2 , x^3 ,.. .}.
Suponha que R[x] tamb´em possu´ısse uma base finita B. Mas o teorema diz ent˜ao que |X| = |B| < ∞, uma contradi¸c˜ao.
Suponha que temos um espa¸co V com dimens˜ao n. Queremos saber se algum subconjunto B ´e uma base de V :
- Vai ter que ter n elementos, pois qualquer base tem.
- Vai ter que gerar V.
- Vai ter que ser LI. De fato, basta confirmar quaisquer duas dessas coisas: Teorema. Sejam V um espa¸co vetorial de dimens˜ao n e B um subconjunto de V. Se B tem qualquer duas das propriedades 1 , 2 , 3 acima, ent˜ao B ´e uma base de V. Demonstra¸c˜ao. Suponha que B satisfaz:
2 e 3: Ent˜ao B ´e uma base pela defini¸c˜ao de base.
1 e 2: J´a que B gera V , sabemos que algum subconjunto B′^ de B ´e base de V. Se B n˜ao for LI, B′^6 = B, ent˜ao V tem base de < n elementos – contradi¸c˜ao.
1 e 3: J´a que B ´e LI, ele ´e uma base do subespa¸co gerado por B, e este subespa¸co tem dimens˜ao n. Mas o ´unico subespa¸co de V com dimens˜ao n ´e V , ent˜ao B gera V.
Exerc´ıcio: Seja V um espa¸co vetorial de dimens˜ao finita. J´a mostramos que qualquer subconjunto finito de geradores de V pode ser “diminuido” para uma base de V. Mostre a outra dire¸c˜ao: que qualquer subconjunto LI de V pode ser estendido para uma base de V. Isto ´e, se X ´e LI, ent˜ao existe uma base B de V com X ⊆ B.
A dimens˜ao da soma
Teorema. Sejam W, Y subespa¸cos do espa¸co vetorial de dimens˜ao finita V. Ent˜ao
dim(W + Y ) = dim(W ) + dim(Y ) − dim(W ∩ Y ).
Demonstra¸c˜ao. Seja I = {v 1 ,... , va} uma base de W ∩ Y. J´a que I ⊆ W ´e LI, pelo exerc´ıcio podemos estender I para uma base B = {v 1 ,... , va , w 1 ,... , wb} de W , e similarmente estender I para uma base C = {v 1 ,... , va , y 1 ,... , yc} de Y. J´a que B gera W e C gera Y , B ∪ C gera W + Y. Vamos confirmar que B ∪ C ´e LI: suponha que
α 1 v 1 + · · · + αava + β 1 w 1 + · · · + βbwb + γ 1 y 1 + · · · + γcyc = 0. (∗)
Rearranjando, γ 1 y 1 + · · · + γcyc = −
α 1 v 1 + · · · + αava + β 1 w 1 + · · · + βbwb
pertence a W ∩ Y , logo existem δ 1 ,... , δa tais que
γ 1 y 1 + · · · + γcyc = δ 1 v 1 + · · · + δava.
Mas rearranjando de novo, γ 1 y 1 + · · · + γcyc − δ 1 v 1 − · · · − δava = 0, ent˜ao cada γi = 0, pois C ´e uma base, logo LI (cada δi = 0 tamb´em, mas n˜ao precisamos disso). Jogando γi = 0 ∀i na equa¸c˜ao (∗), obtemos
α 1 v 1 + · · · + αava + β 1 w 1 + · · · + βbwb = 0,
mostrando que αi = 0 ∀i e βi = 0 ∀i, pois B ´e LI. Ent˜ao (∗) possui somente a solu¸c˜ao trivial, logo B ∪ C ´e uma base de W + Y. Finalmente,
dim(W + Y ) = |B ∪ C| = a + b + c = (a + b) + (c + a) − a = |B| + |C| − |I| = dim(W ) + dim(Y ) − dim(W ∩ Y ).
Corol´ario. Sejam V um espa¸co vetorial e W, Y dois subespa¸cos tais que
V = W ⊕ Y.
Ent˜ao dim(V ) = dim(W ) + dim(Y ).
Demonstra¸c˜ao. Imediato do teorema, pois dim(W ∩ Y ) = dim({ 0 }) = 0.
Defini¸c˜ao. Seja W um subespa¸co do espa¸co vetorial V. Um complemento de W em V ´e um subespa¸co Y de V tal que V = W ⊕ Y.
Corol´ario. Sejam V um espa¸co vetorial de dimens˜ao finita e W um subespa¸co de V. Existe um complemento de W em V.
Demonstra¸c˜ao. Seja {w 1 ,... , wa} uma base de W e estenda ela para uma base
{w 1 ,... , wa , y 1 ,... , , yb}
de V. Seja Y o subespa¸co gerado por {y 1 ,... , yb}. Ent˜ao V = W + Y. Mas dim(V ) = a + b ent˜ao pelo teorema
dim(W ∩ Y ) = dim(W ) + dim(Y ) − dim(W + Y ) = a + b − (a + b) = 0,
logo W ∩ Y = { 0 } e V = W ⊕ Y.
Cuidado: Um subespa¸co W geralmente possui MUITOS complementos distintos:
Exemplo. (Exerc´ıcio) Seja V = R^2 e W o subespa¸co com base {(1, 0)}. Ent˜ao os subespa¸cos
Yb tendo base {(b, 1)}
s˜ao distintos para todo b ∈ R, e qualquer Yb ´e complemento de W em R^2.
W
Y 0
Y 1
Y− 2
Os subespa¸cos Y 1 , Y 0 , Y− 2 s˜ao complementos de W em R^2
. Ent˜ao TA : R^3 → R^2 ´e a transforma¸c˜ao linear dada por
TA
x y z
x y z
x − 3 z 2 x + y + 5z
∈ R^2.
- Exemplos 1-3 acima podem ser interpretados dessa forma:
- A transforma¸c˜ao nula Rm^ → Rn^ ´e a transforma¸c˜ao T 0 correspondente `a matriz nula n × m
pois T 0 (v) = 0 · v = 0 , ∀v ∈ Rm.
- A transforma¸c˜ao identidade Rn^ → Rn^ ´e TI , onde I ´e a matriz identidade n × n
I =
pois TI (v) = Iv = v ∀v ∈ Rn.
- A transforma¸c˜ao T : R^2 → R de Exemplo 3 corresponde a TA, em que A ´e a matriz 1 × 2
A =
pois TA
x y
x y
2 x − y
= T ((x, y)).
- A transforma¸c˜ao linear correspondente `a matriz quadrada
A =
´e a “proje¸c˜ao no eixo x”: TA
x y
x y
x 0
x
y
(x, y)
×
(x, 0)
(x′, y′)
×
(x′, 0)
Similarmente, a matriz n × n Eii corresponde `a transforma¸ca˜o linear Rn^ → Rn^ “proje¸c˜ao na coordenada i”:
TEii
x 1 x 2 .. . xi .. . xn
xi .. . 0
Exerc´ıcio. Seja T : V → W uma transforma¸c˜ao linear, sejam v 1 ,... , vk ∈ V e λ 1 ,... , λk ∈ R. Mostre que
T (λ 1 v 1 + · · · + λkvk) = λ 1 T (v 1 ) + · · · + λkT (vk).
Este exerc´ıcio diz que uma transforma¸c˜ao linear leva uma combina¸c˜ao linear de vetorores para a combina¸c˜ao linear das suas imagens com os mesmos coeficientes.
Proposi¸c˜ao. Qualquer transforma¸c˜ao linear T : V → W leva 0 em 0.
Demonstra¸c˜ao. O vetor 0 = 0 · 0. Logo
T (0) = T (0 · 0) = 0 · T (0) = 0.
Sejam V, W espa¸cos vetoriais. Podemos considerar o conjunto de todas as transforma¸c˜oes lineares de V a W : L(V, W ) := {T : V → W | T uma transforma¸c˜ao linear}.
Teorema. L(V, W ) ´e um espa¸co vetorial.
Demonstra¸c˜ao. J´a que elementos de L(V, W ) s˜ao fun¸c˜oes V → W ,
L(V, W ) ⊆ F(V, W ).
Ent˜ao s´o precisamos confirmar que L(V, W ) ´e subespa¸co de F(V, W ). Ou seja, que a soma de duas TLs ´e uma TL, e que o produto por escalar de uma TL ´e uma TL. Ent˜ao sejam S, T ∈ L(V, W ) e u, v ∈ V, λ ∈ R.
(S + T )(u + v) = S(u + v) + T (u + v) (def de soma em F(V, W )) = S(u) + S(v) + T (u) + T (v) (S, T s˜ao TLs) = S(u) + T (u) + S(v) + T (v) = (S + T )(u) + (S + T )(v) X
Similarmente
(S + T )(λu) = S(λu) + T (λu) = λS(u) + λT (u) = λ(S(u) + T (u)) = λ(S + T )(u). X
Logo S + T ´e transforma¸c˜ao linear.
Exerc´ıcio: Sejam T ∈ L(V, W ) e λ ∈ R. Mostre que a fun¸c˜ao λT ´e uma transforma¸c˜ao linear.
Ent˜ao L(V, W ) ´e fechado por somas e produtos por escalar. Ou seja, L(V, W ) ´e subespa¸co de F(V, W ).
Exemplo. No caso especial em que W = R, o espa¸co vetorial L(V, R) se chama o espa¸co dual de V e est´a denotado por V ∗. Os elementos de V ∗^ s˜ao transforma¸c˜oes lineares V → R e s˜ao chamados de funcionais ou formas lineares de V.
Transforma¸c˜oes lineares e matrizes
Quando temos dois conjuntos B, C, ´e muito f´acil definir uma fun¸c˜ao f : B → C, pois pode mandar os elementos de B para C como quiser, sem condi¸c˜oes nenhumas. Com uma transforma¸c˜ao linear T : V → W , n˜ao temos tanta liberdade: temos que mandar 0 para 0, por exemplo, e T tem que preservar soma e m´ultiplo escalar. Mas vamos ver que, de fato, transforma¸c˜oes lineares s˜ao “igualmente f´aceis” como fun¸c˜oes, de alguma forma.
Teorema. Sejam V um espa¸co vetorial com base B e W outro espa¸co vetorial. Seja f : B → W uma fun¸c˜ao qualquer. Ent˜ao existe uma ´unica transforma¸c˜ao linear Tf : V → W com a propriedade que
Tf (b) = f (b) para todo b ∈ B.
