Algebra Linear, Notas de estudo de Matemática

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Álgebra Linear

Bruno Martins da Costa Fonseca e-mail: [email protected]

SUMÁRIO

• 1. Espaços Vetoriais
  • 1.1. Espaço Vetorial
    • 1.1.1. Teoremas Sobre Multiplicação Escalar
  • 1.2. Geradores/Bases
    • 1.2.1. Teoremas Sobre LD e LI
    • 1.2.2. Teoremas Sobre Geradores/Base
  • 1.3. Coordenadas
  • 1.4. Subespaços Vetoriais
    • 1.4.1. Decomposição em Subespaços
• 2. Transformações Lineares
  • 2.1. Transformações Lineares
  • 2.2. Equivalência Entre Espaços Vetoriais - Isomorfismos
  • 2.3. Subespaços Afins e Espaço Quociente

(10)[Distribuição de Vetor] Para todo v ∈ V e a , b ∈ (K, +, ·), ( a + b ) ∗ v = a ∗ v + b ∗ v. Observação Sobre Notação. É costume denotarmos a multiplicação escalar a ∗ v preguiçosamente como a v. Contudo deve ficar bem claro que existe a operação ∗ de multiplicação escalar que opera a com v , o que justifica o fato de empregarmos a notação (V, + , ∗) para denotar um espaço vetorial. Apesar de extensa e chata, essa notação deixa bem claro que temos um conjunto V munido de duas operação. Com a prática, talvez possamos abandonar essa notação e passar a denotar o espaço vetorial apenas por V. Além disso, utilizei o sinal de soma + em negrito para denotar a soma do espaço vetorial (V, + , ∗) no intuito de destacar que essa operação não é, em geral, a mesma operação de soma + do corpo (K, +, ·). Isso é algo que deve ficar bem claro. Contudo, costuma-se denotar tanto a soma do espaço vetorial quanto a soma do corpo indiscriminadamente pelo sinal +. Assim, um espaço vetorial é um objeto matemático que possui uma certa estrutura algébrica, ou seja, é um conjunto V não-vazio no qual existem duas operações que se comportam da maneira prescrita na definição de espaço vetorial. Contudo, não são apenas as operações que devem cumprir certas exigênciasl!! Olhando novamente a definição, vemos que (3) e (4) fazem exigências sobre o próprio V!!! Isso porque requerem a existência de elementos especiais (= Neutro e Inversos) em V, isto é, elementos que se comportem de uma maneira especial frente às operações (no caso, frente somente à operação de soma!!!). Em suma: dê-me um conjunto de coisas quaisquer (livros, números, polinômios, funções, matrizes, .... não importa), uma operação soma + entre dois elementos desse conjunto e uma outra operação multiplicação escalar ∗ entre cada elemento desse conjunto e elementos de um corpo (K, +, ·). Se formos capazes de mostrar que V,+,∗ satisfazem todas as propriedades listadas na definição de espaço vetorial (o que passa por encontrar aqueles elementos especiais 0 e -v em V), então isso significa que V,+,∗ é um espaço vetorial e, portanto, todos os teoremas que demonstraremos a seguir estarão imediatamente disponíveis para o tal conjunto. “Mas pra que isso tudo serve?” Vejamos alguns belos exemplos!!! Exemplos de Espaços Vetoriais ๏ (^) Exemplo 1. O conjunto Kn^ das n-uplas ordenadas k = ( k 1 ,..., k n) com k iʼs num corpo (K, +, ·) e as operações de soma + e multiplicação escalar ∗ usuais^3 constitui um espaço vetorial sobre (K, +, ·) (verifique!!). Em particular, se o corpo (K, +, ·) é o corpo dos números reais (R, +, ·), então R^2 , R^3 ,..., Rn^ são todos espaços vetoriais sobre o corpo (R, +, ·). ๏ Exemplo 2. Até mesmo o conjunto K∞^ das sequências infinitas k = (k 0 , k 1 , k 2 , ..., kn, ...) com kiʼs num corpo (K, +, ·) e operações: (1) [Soma + ] Se k , h ∈ K∞, então k + h = (k 0 + h 0 , k 1 + h 1 , ... , kn + hn, ...); (2) [Multiplicação Escalar ∗] Se k ∈ K∞^ e a ∈ (K, +, ·), então a ∗ k = ( a · k 0 , a · k 1 , ... , a · kn, ...); constitui um espaço vetorial sobre o corpo (K, +, ·)!!!! (verifique da mesma forma que no Exemplo 1!!!) ๏ (^) Exemplo 3. O conjunto Mm x n(K) das matrizes m x n sobre um corpo (K, +, ·) com as operações de soma e multiplicação escalar usuais é um espaço vetorial sobre o corpo (K, +, ·). (verifique!!!) (^3) Isto é, se k = ( k 1 ,..., k n) e h = ( h 1 ,..., h n), então: (Soma) k + h = ( k 1 + h 1 ,...., k n + h n); (Multiplicação Escalar) a ∗ k = ( a · k 1 ,..., a · k n) com a ∈ (K, +, ·).

๏ (^) Exemplo 4. O conjunto F(X,K) das funções f: X ➙ K de X em (K, +, ·) com as operações: (1) [Soma + ] Se f,g ∈ F(X,K) e x ∈ X, então (f + g)(x) = f(x) + g(x); (2) [Multiplicação Escalar ∗] Se f ∈ F(X,K) e a ∈ (K, +, ·), então ( a ∗ f)(x) = a · f(x); constitui um espaço vetorial sobre (K, +, ·). Esse fato é algo que se mostrará muito útil no estudo das funções reais f: X ➙ R e funções complexas f: X ➙ C. (verifique!!) ๏ Exemplo 5. O conjunto das função contínuas f : X ➙ R com X ⊂ R com as mesmas operações do Exemplo 4 consititui um espaço vetorial. Esse subespaço é tão importante que recebe uma notação especial: C^0 [X]. Da mesma forma, o conjunto das funções integráveis (no sentido de Lebesgue) f : X ➙ R com X ⊂ R também formam um subespaço do espaço das funções reais F(X,R). Esse subespaço também recebe uma notação especial: L[X]. Além disso, o conjunto de todas as funções polinomiais reais p : X ➙ R de grau menor ou igual a n (ou seja, p ( x ) = a 0 + a 1 x + ... + a n x n^ com a n ≠ 0) também forma um suebspaço do espaço das funções F(X,R). Esse subespaço recebe a notação esepcial: R[ x ]. ๏ Exemplo 6. Tente construir você mesmo alguns exemplos de espaços vetoriais com base nas propriedades listadas na definição!! O céu é o limite!! (verifique!!!!!!) Assim, a utilidade máxima do conceito de espaço vetorial é de “abraçar” de uma só vez diversos objetos matemáticos que a priori parecem ser bem distintos. De fato, o que esses objetos têm em comum é a natureza (linear, como veremos adiante) de sua estrutura algébrica, uma vez que as operações de soma e multiplicação escalar desses objetos comportam-se exatamente como prescrito na definição de espaço vetorial! Mas é claro que a definição de espaço vetorial não nasceu geral dessa forma!! É o fruto de um longo processo de evolução e percepção das semelhanças em objetos aparentemente distintos! Possivelmente tudo começou com o estudo de equações reais do tipo c 1 x 1 + ... + c n x n = 0, as quais, por exemplo, representam retas passando pela origem em R^2 quando n = 2 e coisas que se comportam como retas pela origem quando n > 2, no sentido de que se a 1 , a 2 ,.., a n e b 1 ,..., b n satisfazem c 1 x 1 + ... + c n x n = 0 então ka 1 ,..., ka n e a 1 + b 1 ,..., a n + b n também a satisfazem (verifique que isso é justamente o que acontece na equação de uma reta passando pela origem em R^2 )!! Dessa forma, equações desse tipo são denominadas equações lineares justamente por representarem objetos (que em R^2 e R^3 podem ser ditos geométricos no sentido usual desse termo) que se comportam como retas!! Os espaços vetoriais são exatamente uma extensão desse conceito, o que justifica muitos autores a denominarem espaços vetoriais como espaços lineares!! De fato, com a prática veremos que as coisas num espaço vetorial se comportam como retas generalizadas em R^2 ou R^3 (obs.: um plano em R^3 é uma espécie de reta generalizada!!!) e, mais adiante, mostraremos que alguns tipos de espços vetoriais (os de dimensão finita) sobre o corpo (K, +, ·) são equivalentes (i. e., indistinguíveis aos olhos da teoria de espaços vetoriais) a algum Kn. Observação Sobre Notação. Denotarei vetores de um espaço vetorial genérico (V, + , ∗) como v negritado. Agora, se especificarmos a natureza desse espaço genérico, então poderemos trocar o símbolo v por um símbolo que seja mais conveniente para esse espaço específico. Por exemplo, se especificarmos que (V, + , ∗) é o espaço das matrizes reais Mm x n(R), então é claro (eu espero!) que denotar uma matriz por v é algo não muito natural. Nesse caso, trocaremos o símbolo v pelo símbolo A, mas lembrando que a matriz A é um vetor, uma vez que é elemento do espaço vetorial Mm x n(R). Talvez a único caso de espaço vetorial para o

Demonstração. Como no corpo (K, +, ·) temos que 1 + (-1) = 0, então (1 + (-1)) ∗ v = 0 ∗ v = 0 , ou seja, (1 + (-1)) ∗ v = 1 ∗ v + (-1) ∗ v = v + (-1) ∗ v = 0 e, portanto, (-1) ∗ v deve ser o elemento inverso de v na soma + de (V, + , ∗), visto que dos teoremas de grupo esse elemento inverso é único. Assim, (-1) ∗ v = -v. ◼ Observação. Graças ao Teorema 1, o conjunto { 0 } consistindo apenas do neutro aditivo 0 constitui um espaço vetorial (verifique!), o qual denomina-se espaço nulo.

1.2. Geradores/Bases

O fato de um espaço vetorial ser fechado na soma e na multiplicação escalar permite-nos construir muitos vetores novos a partir de uma coleção finita qualquer de vetores do espaço. Essa “construção” de vetores a partir de uma quantidade finita de vetores é expressa em termos de combinação linear. ❖ Definição de Combinação Linear. Se (V, + , ∗) é um espaço vetorial sobre o corpo (K, +, ·) e S ⊆ (V, + , ∗), então uma combinação linear de elementos em S é uma soma finita do tipo a 1 v 1 + ... + a k v k com a 1 ,..., a k ∈ (K, +, ·) e v 1 ,..., v k ∈ S. Do fechamento de (V, + , ∗) segue-se que qualquer combinação linear é um vetor de (V, + , ∗). Assim, se v é combinação linear de vetores v 1 ,..., v k, dizemos que v é gerado por v 1 ,..., v k, pois v = a 1 v 1 + ... + a k v k para certos escalares a 1 ,.., a k no corpo (K, +, ·). Para resumir as coisas, permita-me de agora em diante expressar essa “geração” de v denotando v = ∑ a i v i com v i ∈ { v 1 ,..., v k}. A pergunta que não quer calar é: dado um espaço vetorial (V, + , ∗) qualquer, existiria algum conjunto finito de vetores v 1 ,..., v k capaz de gerar^4 todos os demais vetores v de (V, + , ∗)? Se a resposta for afirmativa estamos numa situação privilegiada, pois podemos alcançar todos os vetores de (V, + , ∗) trabalhando apenas com um conjunto finito deles. Esse fato merece até mesmo uma definição especial! ❖ Definição de Espaço Vetorial de Dimensão Finita. Um espaço vetorial (V, + , ∗) é dito ser de dimensão finita se possuir pelo menos um subconjunto finito S = { v 1 ,..., v k} que o gera. Agora, se (V, + , ∗) é de dimensão finita, de modo que existe um gerador S = { v 1 ,..., v k}, então essa “geração” de (V, + , ∗) pode não ser a melhor possível, no sentido de que: se algum dos próprios v 1 ,..., v k, digamos v j, for combinação linear dos demais, digamos v j = ∑i≠j b i v i, então um v ∈ (V, + , ∗) tal que v = ∑ a i v i com v i ∈ S pode ser expresso mais resumidamente como v = a j v j + ∑i≠j a i v i = ∑i≠j b i v i + ∑i≠j a i v i = ∑i≠j ( b i + a i) v i. Assim, o mesmo vetor v que era gerado por k vetores passa a ser gerado por apenas k - 1 vetores, o que constitui uma boa economia!! Temos uma nova pergunta que não quer calar: dado um espaço vetorial (V, + , (^4) Observe que como o nosso gerar é em termos de combinação linear, a qual, por sua vez, é em termos de um soma finita , então pelo menos por enquanto só faz sentido perguntar se existe um conjunto finito de vetores capaz de gerar todos os vetores do espaço. Seria contraditório perguntar se existiria um conjunto infinito de vetores capaz de gerar todos os vetores do espaço. Numa etapa mais adiante, começaremos a nos perguntar sobre a existência de um conjunto infinito de vetores capaz de gerar todos os vetores de um espaço, mas para tanto teremos de redefinir o nosso conceito de gerar.

∗) de dimensão finita, existiria um gerador S = { v 1 ,..., v k} de (V, + , ∗) com o menor número de vetores possível? Ora, caso esse conjunto exista, então estamos numa situação mais privilegiada ainda, pois podemos alcançar todos os vetores de (V, + , ∗) trabalhando com o menor dos geradores de (V, + , ∗), o que simplificaria muito nosso trabalho!! Para resumir um pouco a discussão que está por vir, permita-nos definir os seguintes conceitos: ❖ Definição de Linearmente Dependente (LD). Um subconjunto S = { v 1 ,..., v k} não-vazio de um espaço vetorial (V, + , ∗) sobre o corpo (K, +, ·) é dito ser linearmente dependente se algum de seus vetores for combinação linear dos demais. ❖ Definição de Linearmente Independente (LI). Um subconjunto S = { v 1 ,..., v k} não-vazio de um espaço vetorial (V, + , ∗) sobre o corpo (K, +, ·) é dito ser linearmente independente se não for linearmente dependente. Agora, essas definições são pouco práticas, no sentido de que não apresentam um método eficiente para determinar se um conjunto de vetores é LD ou não (= LI). Afinal de contas, não seria muito inteligente tentar descobrir se um conjunto é LD testando vetor por vetor desse conjunto à procura de algum vetor que seja combinação linear de todos os demais!!! Felizmente temos os seguintes resultados úteis.

1.2.1. Teoremas Sobre LD e LI

❖ Teorema 5 (Critério de LD). Um subconjunto S = { v 1 ,..., v k} do espaço vetorial (V, + , ∗) é linearmente dependente se, e somente se, na equação a 1 v 1 + ... + a k v k = 0 tivermos a i ≠ 0 para pelo menos um a i. Demonstração. (⇒) Suponha que S = { v 1 ,..., v k} seja LD. Queremos mostrar que se a 1 v 1 + ... + a k v k = 0 , então pelo menos um a i ≠ 0. Como S é LD, existe algum v j ∈ S tal que v j = ∑i≠j b i v i para certos b iʼs no corpo (K, +, ·). Agora, o anterior implica que v i - ∑i≠j b i v i = 0 e, portanto, que 1 v j + ∑i≠j (- b i) v i = 0. Tomando a j = 1 e -b i = a i para i ≠ j, mostramos que a 1 v 1 + ... + a k v k = 0 e que a j ≠ 0. (⇐) Suponha que na equação a 1 v 1 + ... + a k v k = 0 tenhamos um a j ≠ 0. Dessa forma, como a j é um elemento de um corpo (K, +, ·), então existe o inverso multiplicativo a j-1^ de a j. Multiplicando toda a equação pelo escalar a j- teremos que a j-1( a 1 v 1 + ... + a k v k) = a j-1 0 e, portanto, que a j-1( a j v j + ∑i≠j a i v i) = 1 v j + ∑i≠j ( a j a i) v i = 0. Assim, segue-se que v j = ∑i≠j (- a j a i) v i e, portanto, que S é LD. ◼ ❖ Corolário 2. Se um subconjunto S = { v 1 ,..., v k} do espaço vetorial (V, + , ∗) é tal que v i = 0 para algum i, então S é LD. ❖ Teorema 6 (Critério de LI). Um subconjunto S = { v 1 ,..., v k} do espaço vetorial (V, + , ∗) é linearmente independente se, e somente se, na equação a 1 v 1 + ... + a k v k = 0 tivermos a i = 0 para todos os a iʼs. Da discussão anterior, se (V, + , ∗) é de dimensão finita com gerador linearmente dependente (a partir de agora diremos apenas LD ou LI), então conseguimos obter um novo gerador com menos vetores

❖ Teorema 7 (Existência de Base). Se (V, + , ∗) é um espaço vetorial de dimensão finita não-nulo, então existe uma base B para (V, + , ∗). Demonstração. Como (V, +, ∗) é de dimensão finita, então existe um gerador S = { v 1 ,..., v k} de (V, + , ∗). Se esse gerador for LI, então ele será a base que estamos procurando. Caso contrário ele será LD, de modo que algum v i ∈ S é gerado pelos demais vetores de S e, portanto, pelo Lema 1, o conjunto S 1 = S - { v i} ainda é gerador de (V, +, ∗). Se esse gerador S 1 for LI, então ele será a base que estamos procurando. Caso contrário ele será LD e podemos repetir o argumento anterior para obtermos um gerador S 2 que possui dois vetores a menos que S. Agora, como S é um conjunto finito, então ou obteremos em algum momento um gerador LI não-unitário para (V, +, ∗) ou, na pior das hipóteses, chegaremos a um conjunto unitário { v j} que gera (V, + , ∗). Nesse último caso, para podermos dizer que { v j} é uma base para (V, + , ∗), devemos excluir o caso de v j = 0 , o que resultaria { v j} LD (Corolário 2). Ora, como estamos supondo que (V, + , ∗) é não-nulo, ou seja, que existe um v ∈ (V, + , ∗) tal que v ≠ 0 , então é claro que devemos ter v j ≠ 0 , pois caso contrário teríamos o vetor nulo v j gerando o vetor não-nulo v , o que é um absurdo! Assim, se (V, + , ∗) é de dimensão finita e não-nulo, então sempre conseguimos encontrar uma base para (V, + , ∗). O Teorema da Existência de Base constitui uma resposta afirmativa para a pergunta que não queria calar!! Ou seja, se (V, + , ∗) é um espaço vetorial de dimensão finita não-nulo, então sempre conseguimos encontrar uma base para ele. Agora, a utilidade máxima das bases ainda está por vir! Primeiramente, enquanto geradores diferentes podiam ter número de vetores diferentes (como no Lema 1), mostraremos que isso não se verifica para bases, ou seja, mostraremos que todas as bases de um espaço vetorial de dimensão finta possuem sempre o mesmo número de vetores, de modo que esse número constitua uma propriedade invariante e, portanto, intrínseca do espaço vetorial. Isso nos levará a definir o importante conceito de dimensão!! Antes, porém, precisamos de um pequeno Lema. ❖ Lema 3. Se (V, + , ∗) é um espaço vetorial de dimensão finita com gerador S = { v 1 ,..., v k} e Sʼ = { w 1 ,..., w m} é um subconjunto LI de (V, + , ∗), então m ≤ k. Demonstração. Suponha por absurdo que m > k. Como S = { v 1 ,..., v k} é gerador de (V, + , ∗), então em particular o vetor w 1 de Sʼ é gerado por S, ou seja, w 1 = ∑ b 1i v i para certos b 1iʼs no corpo (K, +, ·). Agora, pelo menos um b 1j ≠ 0, pois caso contrário w 1 = 0 e S não seria LI de acordo com o Corolário 2. Suponha por mera conveniência que b 11 ≠ 0 (qualquer outra escolha seria tratada com o mesmo raciocínio). Assim, para esse b 11 existe b 11 -1^ no corpo (K, +, ·), de modo que possamos multiplicar a equação w 1 = ∑ b 1i v i = b 11 v 1 + ∑i≠ 1 b 1i v i por esse b 11 -1^ e obter v 1 = b 11 -1 w 1 + ∑i≠j (-b 11 -1 b 1i) v i. Em suma, mostramos que v 1 é gerado por { w 1 , v 2 ,..., v k} e, portanto, aplicando o Lema 1 ao conjunto { w 1 , v 1 , v 2 ,..., v k}, que { w 1 , v 2 ,..., v k} é gerador de (V, + , ∗). Utilizando esse novo gerador, podemos repetir o argumento anterior para w 2 e, supondo novamente por conveniência b 22 ≠ 0, concluir que { w 1 , w 2 , v 3 ,..., v k} é gerador de (V, + , ∗). O importante desse processo é que substituímos progressivamente os vetores do gerador original S pelos vetores de Sʼ obtendo conjuntos que ainda são geradores. Agora, como S tem k vetores, é de certa forma fácil perceber que na k -ésima etapa do processo anterior teremos substituído todos os vetores v i de S por vetores de Sʼ e concluiremos que { w 1 ,..., w k} é gerador de (V, + , ∗). Mas a suposição inicial de que m > k (i. e., Sʼ possui mais vetores do que S) implica que existe um vetor w k+1 que não está em { w 1 ,..., w k} e, portanto, que w k+1 é gerado por { w 1 ,..., w k}. Isso é um absurdo, visto que por hipótese Sʼ é LI. Dessa forma, devemos assumir que m ≤ k. ◼ ❖ Corolário 4. Se (V, + , ∗) é um espaço vetorial de dimensão finita com gerador S = { v 1 ,..., v k} e Sʼ = { w 1 , ..., w m} é um subconjunto LI de (V, + , ∗), então m = k implica que Sʼ é base de V.

Demonstração. Da demonstração do Lema 3 segue-se que somos capazes de substituir os vetores de S pelos vetores de Sʼ e obter que { w 1 ,..., w k} é gerador de (V, + , ∗). Como m = k , então esse gerador é o próprio Sʼ, de modo que Sʼ seja um gerador LI e, portanto, uma base para (V, + , ∗). ◼ ❖ Teorema 8 (Unicidade do Número de Vetores Numa Base). Se (V, + , ∗) é um espaço vetorial de dimensão finita não-nulo, então todas as bases para (V, + , ∗) possuem o mesmo número de vetores. Demonstração. Como (V, + , ∗) é um espaço vetorial de dimensão finita não-nulo, então o Teorema 7 garante a existência de uma base B = { v 1 ,..., v k} para (V, + , ∗). Se existir apenas essa base para (V, + , ∗), então o Teorema está demonstrado, pois todas as bases terão o mesmo número de vetores. Agora, suponha que exista uma outra base Bʼ = { w 1 ,..., w m} para (V, + , ∗). Como B é um gerador de (V, + , ∗) e Bʻ é LI, então o Lema 3 garante que m ≤ k. Agora, como Bʼ é gerador e B é LI, então o Lema 3 também garante que k ≤ m. Assim, m ≤ k e k ≤ m , de modo que k = m para quaisquer duas bases B e Bʻ para (V, + , ∗). ◼ Esplêndido!! Agora podemos dar um nome especial a esse número invariante de vetores nas bases de um espaço vetorial (V, +, ∗): ele será chamado de dimensão do espaço. ❖ Definição de Dimensão. Se (V, + , ∗) é um espaço vetorial de dimensão finita não-nulo, então o número de vetores numa base qualquer de (V, + , ∗) é denominada a dimensão de (V, + , ∗) e denotada por dim(V). Se (V, + , ∗) é o espaço nulo { 0 }, então convencionaremos dim(V) = 0. Algumas páginas acima definimos um espaço vetorial (V, + , ∗) de dimensão finita como sendo um espaço vetorial que possuía um gerador S = { w 1 ,..., w m}. Ora, se (V, + , ∗) for não-nulo, então (V, + , ∗) possui uma base B = { v 1 ,..., v n}, de modo que o Lema 3 garante n ≤ m. Assim fica perfeitamente claro o que queremos dizer quando alegamos que um espaço vetorial é de dimensão finita!!! Simplesmente estamos afirmando que (V, + , ∗) possui uma base com um número finito de vetores. Se não existir uma tal base para (V, + , ∗) diremos que ele é um espaço vetorial de dimensão infinita e as coisas se tornarão um pouco diferentes, uma vez que até mesmo o conceito de gerador deverá ser reformulado para fazer sentido nesses espaços vetoriais. Antes de prosseguirmos, permita-me apenas destacar em Proposições duas propriedades muito úteis da dimensão e, em seguida, dois fatos sobre a construção de base para um espaço vetorial de dimensão finita. As idéias dessas proposições já estavam presentes em nossas discussões anteriores, como, por exemplo, a Proposição 2, a qual afirma que uma base é um gerador com menor número de vetores. ❖ Proposição 1. Se (V, + , ∗) é um espaço vetorial de dimensão não-nulo, então dim(V) = n é número máximo de vetores LI em (V, + , ∗), no sentido de que qualquer conjunto com mais do que n vetores é LD. Demonstração. Como (V, + , ∗) é um espaço vetorial não-nulo de dimensão finita e dim(V) = n , então existe uma base B = { v 1 ,..., v n} para (V, + , ∗). Agora, como B é um gerador, então o Lema 3 garante que todo conjunto S = { w 1 ,..., w k} LI é tal que k ≤ n. Assim, um conjunto S com mais do que n vetores deve ser necessariamente LD. ◼

❖ Teorema 9 (Unicidade de Representação). Se (V, + , ∗) é um espaço vetorial de dimensão finita não- nulo com base B = { v 1 ,..., v n}, então todo vetor v ∈ (V, + , ∗) se expressa de maneira única como combinação linear dos elementos de B. Demonstração. Suponha que v = ∑ a i v i e v = ∑ b i v i sejam duas formas de expressar v como combinação linear dos elementos de B. Dessa forma, teríamos que ∑ a i v i = ∑ b i v i e, portanto, que ∑ a i v i + ∑(- b i) v i = 0. Assim, teríamos que ∑( a i - b i) v i = 0 e, portanto, como B é LI, que a i - b i = 0 para todo i, ou seja, a i = b i para todo i. Isso mostra que a representação de v como combinação linear dos elementos de B é única. ◼ Dessa forma, fixada uma base B = { v 1 ,..., v n} para (V, + , ∗), o Teorema 9 garante que um v ∈ (V, + , ∗) é representado de forma única como v = a 1 v 1 + ... + a n v n, o que abre a possibilidade de expressarmos v resumidamente por meio da n-upla ( a 1 ,..., a n) (obs.: dim(V) = n ). Agora, essa representação de n-upla para v depende fortemente da ordenação dos vetores de B. Para ver isso, um exemplo valerá mais do que mil palavras!! Suponha que B = { v 1 , v 2 , v 3 } seja base de nosso espaço vetorial (V, + , ∗) e que v = 1 v 1 + 2 v 2 + 3 v 3. Assim, a representação de v por meio de n-upla seria (1,2,3). Mas, se reordenarmos B para obter B = { v 2 , v 1 , v 3 }, então, mesmo que o conjunto dos coeficientes que representam v na base B reordenada seja igual ao de antes (pois, aos olhos do Teorema 9, B não foi alterado já que possui os mesmo elementos), a representação de v será v = 2 v 2 + 1 v 1 + 3 v 3 e, portanto, a notação de n-upla deverá ser (2,1,3). Assim, a notação de n-upla acompanha a ordem da base B. Para destacar esse fato, devemos definir o conceito de base ordenada. ❖ Definição de Base Ordenada. Se (V, + , ∗) é um espaço vetorial de dimensão finita, então uma base ordenada de (V, + , ∗) é uma base cuja ordem de seus elementos a distingue de outras bases que possuem os mesmos elementos. Ou seja, se duas bases B e Bʼ de (V, + , ∗) possuem os mesmos elementos, mas com ordenações diferentes desses elementos, então B e Bʼ são bases ordenadas diferentes!! Dessa forma, para uma mesma base ordenada B, a representação de v como ( a 1 ,..., a n) não deixa dúvidas: a i é o coeficiente do i-ésimo vetor v i da base B na representação v = a 1 v 1 + ... + a n v n e ponto!!! Diremos mais apropriadamente que a i é a i-ésima coordenada ou componente de v com relação à base ordenada B. ❖ Definição de Coordenadas. Se (V, + , ∗) é um espaço vetorial de dimensão finita com base ordenada B = { v 1 ,..., v n} e v = a 1 v 1 + ... + a n v n para um v ∈ (V, + , ∗), então os coeficientes a i da equação anterior são denominados coordenadas de v em relação à base B. (1) Notação de n-upla: ( v )B = ( a 1 ,..., a n). (2) Notação vetor-coluna: [ v ]B = [ a 1 ... a n]T (3) Notação vetor-linha: [ v ]BT^ = [ a 1 ... a n] Observação. Não se peocupe com as notações (2) e (3) por enquanto. Tudo fará sentido mais tarde!! Vejamos como estamos até agora: conseguimos encontrar um gerador B com o menor número de vetores possível (i. e., uma base) para um espaço vetorial de dimensão finita (= n ) e mostramos que se mantivermos fixa a ordem dos elementos de B, então todo v ∈ (V, + , ∗) pode ser representado como

( a 1 ,..., a n) para a iʼs únicos no corpo (K, +, ·). Ora, mas dessa forma acabamos de mostrar que existe uma correspondência única entre os elementos v ∈ (V, + , ∗) e os elementos ( a 1 ,..., a n) ∈ Kn, ou seja, então para um v ∈ (V, + , ∗) corresponde um único ( a 1 ,..., a n) ∈ Kn^ e vice-versa. A utilidade dessa correspondência se tornará evidente, uma vez que muitas das coisas que fazemos naturalmente em Kn^ (por exemplo, em Rn) poderão agora ser feitas em qualquer espaço vetorial (V, + , ∗) de dimensão finita igual a n !!! Tenhamos paciência que tudo se revelará, como num romance!!!

1.4. Subespaços Vetoriais

Interessantemente, um espaço vetorial (V, + , ∗) pode conter outros espaços vetoriais menores!!! E o Kiko?? Mais adiante veremos que certos subespaços desempenham papéis importantes na teoria de Transformações Lineares e, mais adiante ainda, lidaremos com problemas que podem ser incrivelmente simplificados se formos capazes de decompor um espaço vetorial (V, + , ∗) em subespaços especiais!! ❖ Definição de Subespaço Vetorial. Se (V, + , ∗) é um espaço vetorial sobre o corpo (K, +, ·) e W ⊂ (V, + , ∗), então W é denominado um subespaço vetorial de (V, + , ∗) se ele próprio for um espaço vetorial sobre o corpo (K, +, ·) com relação às operações + e ∗ de (V, + , ∗). Observação. Em nenhum momento na definição de subespaço vetorial exigimos que (V, + , ∗) fosse de dimensão finita! Mas como mostrar que um subconjunto W de (V, + , ∗) é um subespaço??? Muito fácil: basta verificar todas as propriedades listadas na definição de espaço vetorial para esse subconjunto W!!! Trata-se de um processo bem tedioso. Felizmente, no caso de subespaço não precisamos verificar todas as propriedades, mas apenas as propriedades de fechamento!!! ❖ Teorema 10 (Critério de Subespaço). Se W é um subconjunto não-vazio do espaço vetorial (V, + , ∗) sobre o corpo (K, +, ·), então W é um subespaço de (V, + , ∗) se, e somente se, o seguinte for verdadeiro: (1) [Fechamento na Soma + ] Se u , v ∈ W, então u + v ∈ W. (2) [Fechamento na Multiplicação ∗] Se a ∈ (K, +, ·) e u ∈ W, então a ∗ v ∈ W. Demonstração. Essa fica para você!!! Basta verificar que, exceto os fechamentos, todas as outras exigências de espaço vetorial são prontamente válidas para qualquer subconjunto W. Assim, exigindo que esse W satisfaça os fechamentos, ele se torna um espaço vetorial sobre o mesmo corpo (K, +, ·) de (V, + , ∗)!! Esse Teorema deixa claro qual a estrutura essencial de um subespaço vetorial: o fechamento na combinação linear de seus elementos!!! No próximo capítulo estudaremos um tipo especial de função que preserva essa estrutura essencial: as Transformações Lineares!

❖ Teorema 12. Se S é um subconjunto não-vazio de um espaço vetorial (V, + , ∗), então o menor subespaço W de (V, + , ∗) que contém S é o conjunto de todas as combinações lineares possíveis com os vetores de S. Demonstração. Para simplificar as coisas, denotemos o conjunto de todas as combinações lineares possíveis com vetores de S pela letra L. Ou seja, os elementos s de L são combinaçõe lineares s = ∑n b i s i com s iʼs em S. Agora, se W é o menor subespaço que contém S, mostremos que L = W. Façamos isso mostrando que L ⊂ W e W ⊂ L. Por um lado, como W é subespaço e contém S, então o Teorema 10 garante que W contém toda combinação linear s = ∑k a i s i com s iʼs em S e, portanto, que L ⊂ W. Por outro lado, como todo s ∈ S é uma combinação linear trivial s = 1 s , então L contém S. Além disso, se u , v são elementos de L, ou seja, se v = ∑n b i v i e u = ∑m c i u i com v iʼs e u iʼs em S, então r v = r (∑n b i v i) = ∑n( rb i) v i e v + u = (∑n b i v i) + (∑m c i u i) são ambos combinações lineares de elementos de S e, portanto, estão em L. Assim, pelo Teorema 10, L é um subespaço de (V, + , ∗) e ainda por cima contém S!! Ora, como W é o menor dos subespaços que contêm S, então W ⊂ L. Dessa forma, mostramos que L ⊂ W e W ⊂ L, o que implica L = W. ◼ Agora podemos entender o porquê desse menor subespaço W que contém S ser denominado o subespaço gerado por S! ❖ Definição de Subespaço Gerado. Se S é um subconjunto qualquer de um espaço vetorial (V, + , ∗), então o menor subespaço W que contém S é denominado o subespaço gerado por S. No caso particular em que S é um conjunto finito { v 1 ,..., v k}, podemos dizer que W é o subespaço gerado pelos vetores v 1 ,..., v k. Assim, dado um subconjunto S de (V, + , ∗), automaticamente “ganhamos” um subespaço de (V, + , ∗), isto é, o subespaço gerado por S!! Concentremos agora nossas atenções ao caso em que (V, + , ∗) é um espaço vetorial de dimensão finita!! Se W é um subespaço de (V, + , ∗), o que pedemos dizer sobre dim(W)?? Alguns dirão: “É claro que dim(W) ≤ dim(V)!”. Mas essa intuição deve ser precisamente justificada num Teorema. ❖ Teorema 13. Se W é um subespaço de um espaço vetorial (V, + , ∗) de dimensão finita, então dim(W) ≤ dim(V). Demonstração. Antes de mais nada, como (V, + , ∗) é de dimensão finita, então pela Proposição 1 sabemos que qualquer subconjunto com mais do que dim(V) = n vetores é necessariamente LD, ou seja, qualquer base de um subespaço Wi de dimensão finita em (V, + , ∗) deve ter menos do que n vetores e, portanto, dim(Wi) ≤ n. Infelizmente, não sabemos a priori se W é um subespaço de dimensão finita e, portanto, não sabemos se existe uma base para W!! Assim, não podemos aplicar aquele argumento diretamente! Contudo, construiremos uma base para W, mostrando que ela existe!! Se W for o subespaço nulo { 0 }, então dim(W) = 0 ≤ n. Caso contrário, W possui um vetor w 1 ≠ 0 , o qual gera um subespaço W 1 (Teorema 11) que está contido em W (pois W é subespaço). Agora, se acontecer de W = W 1 , então como W 1 é de dimensão finita com base B 1 = { w 1 } (porque?) segue-se que dim(W) = 1 ≤ n. Caso contrário, W possui um vetor w 2 ≠ 0 que não está em W 1. Os vetores w 1 , w 2 geram juntos um subespaço W 2 que está contido em W. Agora, se acontecar de W = W 2 , então como W 2 é de dimensão finia com base B 2 = { w 1 , w 2 } segue-se que dim(W) = 2 ≤ n. Caso contrário, repetimos o argumento anterior. Agora, na pior das hipóteses teremos W = Wn com base Bn = { w 1 ,..., w n} e dim(W) = n ≤ n. Não podemos ir além, uma vez que Wn = (V, + , ∗)!! ◼ Assim, o Teorema 13 nos garante que todo subespaço W de um espaço (V, + , ∗) de dimensão finita também é de dimensão finita e, portanto, possui uma base!!! Com isso, partindo de uma base para W,

somos capazes de construir uma base para (V, + , ∗) de acordo com a Proposição 4!!! Esse fato será útil em certos momentos de nosso estudo!!

1.4.1. Decomposição em Subespaços

Quando começamos a falar sobre subespaços dissemos que será de interesse mais adiante sabermos decompor um espaço vetorial (V, + , ∗) em subespaços especiais. Mas o que significa decompor um espaço vetorial em subespaços??? ❖ Definição de Soma de Subespaços. Se W 1 ,W 2 são subespaços de um espaço vetorial (V, + , ∗), então a soma W = W 1 + W 2 desses subespaços é o conjunto de todas as combinações lineares w = w 1 + w 2 com w i ∈ Wi para cada i. Essa definição de soma de subesaços pode ser estendida para uma quantidade finita^5 de subespaços Wi, de modo que, se W 1 ,...,Wk são subespaços de (V, + , ∗), então denotamos a soma desses Wiʼs por W = ∑k^ Wi. Não é muito difícil ver que a soma W = ∑k^ Wi dos subespaços Wi é um subespaço de (V, + , ∗). Isso porque se w ∈ W e, portanto, w = ∑k^ w i para w i ∈ Wi, então a w = a (∑k^ w i) = ∑k^ a w i e a w i ∈ Wi, pois Wi é subespaço, de modo que a w ∈ W. Da mesma forma, se w , v ∈ W e, portanto, w = ∑k^ w i e v = ∑k^ v i para w i, v i ∈ Wi, então w + v = ∑k^ w i + ∑k^ v i = ∑k^ ( w i + v i) com w i + v i ∈ Wi, pois Wi é subespaço. Dessa forma, poderíamos legitmamente dizer que W = ∑k^ Wi é o subespaço gerado pelos subespaços Wi, num sentido que a essas alturas já deve estar claro!! Além disso, diremos que os Wiʼs formam uma decomposição de W. Assim, no caso especial em que W é todo o espaço vetorial (V, + , ∗), uma decomposição de (V, + , ∗) nada mais é do que uma coleção de subespaços Wi cuja soma é o próprio (V, + , ∗)!!! Agora, no caso específico em que (V, + , ∗) é um espaço de dimensão finita e W 1 ,...,Wk são subespaços de (V, + , ∗), então o Teorema 13 garante que tanto o subespaço soma W = ∑k^ Wi quanto cada Wi são de dimensão finita e, portanto, possem bases!!! A pergunta que não quer calar é: se para cada Wi tomarmos uma base ordenada Bi, então será que B = {Bi} é uma base ordenada para o subespaço soma W? Ora, se isso for verdade, então estamos numa situação privilegiada, pois mostraremos mais adiante que a Unicidade da Representação (Teorema 9) nos garantirá que todo w ∈ W se expressa de forma única como w = ∑k^ w i com w i ∈ Wi, algo que denominaremos Teorema da Projeção!! Ou seja, os subespaços Wiʼs se comportarão como uma espécie de “base” (multidimensional!!) para o subespaço soma W. Isso justifica a definição seguinte (lembre-se: uma base deve ser LI e o critério para ser LI é dado no Teorema 6). ❖ Definição de Subespaços Independentes. Se W 1 ,W 2 são subespaços de um espaço vetorial (V, + , ∗), então W 1 ,W 2 são ditos independentes se w 1 + w 2 = 0 implicar w 1 = w 2 = 0 para todo w i ∈ Wi (^5) Obseve que a definição de soma de subespaços é em termos de combinação linear!!!

vetores de B = {Bi}. Mas como esses vetores de B são os vetores dos Biʼs, então a combinação linear única que expressa w em termos dos vetores de B significa que w se expressa de forma única como combinação linear dos vetores de Bi para cada i. Ou seja, a combinação linear única que expressa w em termos dos vetores de B = {Bi} induz uma combinação linear única dos vetores de cada Bi. Mas como cada Bi é uma base ordenada para Wi, então essa combinação linear única dos vetores de Bi representa um único vetor w i de Wi (lembre-se da nossa discussão sobre coordenadas!!) e, portanto, w = w 1 + ... + w k para w i ∈ Wi únicos! Espero não ter ficado muito confuso por ter evitado escrever os vetores de cada Bi como na demonstração do Teorema 14!!! ◼ Observação. Porque Teorema da Projeção e não Teorema da Representação Única 2 (o Retorno)??? Isso se deve porque cada vetor w i (único) determinado por um vetor w ∈ W (= W 1 ⨁ ... ⨁ Wk) ganham o nome especial de projeção de w em Wi. Essas projeções serão cruciais para simplificarmos alguns problemas na Teoria de Transformações Lineares que está por vir!! Como uma última importante consequência do Teorema 14 temos que todo subespaço próprio W 1 de um espaço (V, + , ∗) de dimensão finita determina uma decomposição direta de (V, + , ∗), no sentido de que existe um subespaço W 2 tal que V = W 1 ⨁ W 2. Diremos que esse W 2 é o complemento de W 1 com relação a (V, + , ∗). A garantia de existência desse complemento será importante na próxima subseção que, por sua vez, simplificará muito algumas partes de nosso estudo. Comentaremos mais na próxima subseção. ❖ Teorema 16 (Existência do Complemento). Se (V, + , ∗) é um espaço vetorial de dimensão finita e W 1 é um subespaço próprio de (V, + , ∗), então existe um subespaço W 2 tal que V = W 1 ⨁ W 2. Demonstração. Como (V, + , ∗) é de dimensão finita, então o Teorema 13 garante que W 1 também é de dimensão finita e, portanto, possui uma base B 1 = { v 1 ,..., v k} pelo famoso Teorema 7. Agora, pela Proposição 4, esse conjunto B 1 LI pode ser estendido a uma base B = { v 1 ,..., v k, v k+1,... v n} de (V, + , ∗). Assim, seja W 2 o subespaço gerado pelo conjunto B 2 = { v k+1,..., v n}. Não é muito difícil de ver que B 2 é uma base para W 2 (porque?). Mas, como B = {B 1 ,B 2 } é uma base para (V, + , ∗), então o Teorema 14 garante que W 1 e W 2 são independentes e, portanto, que V = W 1 ⨁ W 2. Observação. No Teorema anterior, qual o porquê da exigência de W 1 ser um subespaço próprio (i.e., um subespaço que é diferente) de (V, + , ∗)???? Contudo, quando W 1 = (V, + , ∗) convencionaremos chamar (^0) X de complemento de W 1 com relação a (V, + , ∗). Agora, em nenhuma hipótese dissemos que o complemento de um subespaço próprio W 1 de (V, + , ∗) é único. Por exemplo, se considerarmos R^2 , então o complemento de uma reta W 1 pela origem é qualquer outra reta pela origem (porque?), de modo que existam muitas escolhas para complemento de W 1 !! Se observarmos novamente a demonstração do Teorema 16, então talvez não seja muito difícil de ver que o subespaço W 2 depende de quais vetores v k+1,..., v n escolheremos para completar a base B 1 de W 1 até uma base B de (V, + , ∗)!! Ora, mas de qualquer forma teremos de escolher sempre n - k vetores para completarmos B 1 !! No próximo capítulo, diremos que esses complementos são todos “equivalentes” entre si e obteremos um espaço vetorial denominado espaço quociente de (V, + , ∗) com relação a W 1 que se comporta como um complemento “privilegiado” de W 1 , no sentido de que não dependerá da escolha dos vetores que completam a base B 1 até B.

Exemplos de Decomposição Direta