Introdução à Álgebra Linear, Notas de estudo de Engenharia Elétrica

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INTRODUC¸ ˜AO `A ´ALGEBRA LINEAR

Reginaldo J. Santos

Departamento de Matem´atica-ICEx

Universidade Federal de Minas Gerais

http://www.mat.ufmg.br/~regi

Julho 2010

Introduc¸ ˜ao `a ´Algebra Linear Copyright c© 2010 by Reginaldo de Jesus Santos (100808)

E proibida a reproduc´ ¸ ˜ao desta publicac¸ ˜ao, ou parte dela, por qualquer meio, sem a pr´evia autorizac¸ ˜ao, por escrito, do autor. Editor, Coordenador de Revis˜ao, Supervisor de Produc¸ ˜ao, Capa e Ilustrac¸ ˜oes: Reginaldo J. Santos ISBN 85-7470-018- Ficha Catalogr´afica

Santos, Reginaldo J. S237i Introduc¸ ˜ao `a ´Algebra Linear / Reginaldo J. Santos

• Belo Horizonte: Imprensa Universit´aria da UFMG, 2010.
  1. ´Algebra Linear I. T´ıtulo

CDD: 512.

Pref´acio

Este texto cobre o material para um curso de um semestre de Introduc¸ ˜ao `a ´Algebra Linear ou de ´Algebra Linear Matricial. O texto pode, mas n˜ao ´e necess´ario, ser acompanhado um programa como o MATLABr^ ∗, SciLab ou o Maxima.

O conte ´udo ´e dividido em sete cap´ıtulos. O Cap´ıtulo 1 trata das matrizes e sistemas lineares. Aqui todas as propriedades da ´algebra matricial s˜ao demonstradas. A resoluc¸ ˜ao de sistemas lineares ´e feita usando somente o m´etodo de Gauss-Jordan (transformando a matriz at´e que ela esteja na forma escalonada reduzida). Este m´etodo requer mais trabalho do que o m´etodo de Gauss (transformando a matriz, apenas, at´e que ela esteja na forma escalonada). Ele foi o escolhido, por que tamb´em ´e usado no estudo da invers˜ao de matrizes no Cap´ıtulo

2. Neste Cap´ıtulo ´e tamb´em estudado o determinante, que ´e definido usando cofatores. As demonstrac¸ ˜oes dos resultados deste cap´ıtulo podem ser, a crit´erio do leitor, feitas somente para matrizes 3 × 3.

O Cap´ıtulo 3 trata de vetores no plano, no espac¸o e no R n. Os vetores s˜ao definidos inicialmente de forma geom´etrica, assim como a soma e a multiplicac¸ ˜ao por escalar. S˜ao provadas algumas propriedades geometri- camente. Depois s˜ao introduzidos sistemas de coordenadas de forma natural sem a necessidade da definic¸ ˜ao

∗ (^) MATLABr (^) ´e marca registrada de The Mathworks, Inc.

vii

viii Conte ´udo

de base. O produto escalar ´e definido tamb´em geometricamente. S˜ao estudados tamb´em retas e planos no espac¸o. Depois, o conceito de vetor ´e generalizado para o R n. O conceito de dependˆencia e independˆencia linear ´e introduzido de forma alg´ebrica, acompanhado da interpretac¸ ˜ao geom´etrica para os casos de R^2 e R^3.

No Cap´ıtulo 4 s˜ao tratados os conceitos de subespac¸os e de base de subespac¸os. S˜ao estudados os espac¸os linha e coluna de uma matriz e o seu posto. Ao final do cap´ıtulo os Espac¸os Vetoriais Abstratos s˜ao definidos. No Cap´ıtulo 5 s˜ao abordados o produto escalar e bases ortonormais. Al´em de subespac¸os ortogonais e quadrados m´ınimos.

Transformac¸ ˜oes Lineares de R n^ em R m^ s˜ao estudadas no Cap´ıtulo 6. O Cap´ıtulo 7 traz um estudo da diagonalizac¸ ˜ao de matrizes em geral e a diagonalizac¸ ˜ao de matrizes sim´etricas atrav´es de uma matriz orto- gonal. ´E feita uma aplicac¸ ˜ao ao estudo das sec¸ ˜oes c ˆonicas.

Os exerc´ıcios est˜ao agrupados em trˆes classes. Os “Exerc´ıcios Num´ericos”, que cont´em exerc´ıcios que s˜ao resolvidos fazendo c´alculos, que podem ser realizados sem a ajuda de um computador ou de uma m´aquina de calcular. Os “Exerc´ıcios Te ´oricos”, que cont´em exerc´ıcios que requerem demonstrac¸ ˜oes. Alguns s˜ao sim- ples, outros s˜ao mais complexos. Os mais dif´ıceis complementam a teoria e geralmente s˜ao acompanhados de sugest ˜oes. Os “Exerc´ıcios usando o MATLABr”, que cont´em exerc´ıcios para serem resolvidos usando o MATLABr^ ou outro software. Os comandos necess´arios a resoluc¸ ˜ao destes exerc´ıcios s˜ao tamb´em forneci- dos juntamente com uma explicac¸ ˜ao r´apida do uso. Os exerc´ıcios num´ericos s˜ao imprescind´ıveis, enquanto a resoluc¸ ˜ao dos outros, depende do n´ıvel e dos objetivos pretendidos para o curso.

O MATLABr^ ´e um software destinado a fazer c´alculos com matrizes (MATLABr^ = MATrix LABoratory). Os comandos do MATLABr^ s˜ao muito pr ´oximos da forma como escrevemos express ˜oes alg´ebricas, tornando mais simples o seu uso. Podem ser incorporados `as rotinas pr´e-definidas, pacotes para c´alculos espec´ıficos. Um pacote chamado gaal com func¸ ˜oes que s˜ao direcionadas para o estudo de Geometria Anal´ıtica e Algebra´ Linear pode ser obtido na web na p´agina do autor, assim como um texto com uma introduc¸ ˜ao ao MATLABr e instruc¸ ˜oes de como instalar o pacote gaal. O MATLABr^ n˜ao ´e um software gratuito, embora antes a vers˜ao estudante vinha gr´atis ao se comprar o guia do usu´ario. Atualmente o SciLab ´e uma alternativa gratuita, mas que n˜ao faz c´alculo simb ´olico. O Maxima ´e um programa de computac¸ ˜ao alg´ebrica gratuito. Ambos podem ser usados como ferramenta auxiliar na aprendizagem de ´Algebra Linear. Na p´agina do autor na web podem ser encontrados pacotes de func¸ ˜oes para estes programas al´em de links para as p´aginas do SciLab e do Maxima

Introduc¸ ˜ao `a ´Algebra Linear Julho 2010

x Pref´acio

Sugest˜ao de Cronograma para 90 Horas

Cap´ıtulo 1 Sec¸ ˜oes 1.1 e 1.2 10 aulas Cap´ıtulo 2 Sec¸ ˜oes 2.1 e 2.3 12 aulas Cap´ıtulo 3 Sec¸ ˜oes 3.1 a 3.3 12 aulas Cap´ıtulo 4 Sec¸ ˜oes 4.1 a 4.3 12 aulas Cap´ıtulo 5 Sec¸ ˜oes 5.1 a 5.3 12 aulas Cap´ıtulo 6 Sec¸ ˜oes 6.1 a 6.3 15 aulas Cap´ıtulo 7 Sec¸ ˜oes 7.1 a 7.3 12 aulas Total 85 aulas

Hist ´orico

Julho 2010 Algumas correc¸ ˜oes. O texto foi totalmente reformatado.

Julho 2009 Algumas correc¸ ˜oes. V´arias figuras foram refeitas.

Mar¸co 2008 Foi acrescentada a subsec¸ ˜ao opcional ’Forma Can ˆonica de Jordan’. Foram corrigidos alguns erros.

Julho 2007 Foi acrescentado o Exemplo 2.16 na sec¸ ˜ao de Determinantes. Foram acrescentados um exerc´ıcio na sec¸ ˜ao de Determinantes, um na de Produto Escalar em R n , quatro na de Diagonalizac¸ ˜ao e um na de Diagonalizac¸ ˜ao de Matrizes Sim´etricas. Foram corrigidos alguns erros.

Mar¸co 2007 A Sec¸ ˜ao 1.1 de Matrizes e a Sec¸ ˜ao 2.2 de Determinantes foram reescritas. Na sec¸ ˜ao 1.2 o Teorema 1.4 voltou a ser que toda matriz ´e equivalente por linhas a uma ´unica matriz na forma escalonada re- duzida. As sec¸ ˜oes 4.1, 5.1 e 5.3 foram reescritas e acrescentada uma aplicac¸ ˜ao a computac¸ ˜ao gr´afica. Foi acrescentada a sub-sec¸ ˜ao opcional ’Diagonalizac¸ ˜ao de Operadores’a sec¸ ˜ao 7.1. Foram acrescentados dois exerc´ıcios na sec¸ ˜ao de Matrizes, um na de Invers˜ao de Matrizes, um na de Base e Dimens˜ao, trˆes na de Mudanc¸a de Coordenadas. Foram corrigidos alguns erros.

Introduc¸ ˜ao `a ´Algebra Linear Julho 2010

Pref´acio xi

Maio 2004 Foram acrescentadas aplicac¸ ˜oes a criptografia (Exemplo na p´agina 93 ) e a cadeias de Markov (Exemplos 1.9 na p´agina 14 , 1.16 na p´agina 49 e 7.8 na p´agina 409 ). Foi acrescentado um exerc´ıcio na sec¸ ˜ao 1.1. Foi inclu´ıda a demonstrac¸ ˜ao de que toda matriz ´e equivalente por linhas a uma ´unica matriz escalonada reduzida. Este resultado era o Teorema 1.4 na p´agina 26 que passou para o Apˆendice III da sec¸ ˜ao 5.2. O Teorema 1.4 agora cont´em as propriedades da relac¸ ˜ao “ser equivalente por linhas” com a demonstrac¸ ˜ao. O que antes era Exemplo 1.14 passou para o lugar do Exemplo 1.10. O Exemplo 2.5 foi modificado. A sec¸ ˜ao ’Base e Dimens˜ao’ foi reescrita. Foi acrescentada a Proposic¸ ˜ao 4.9 na p´agina 248 que ´e ´util na obtenc¸ ˜ao de uma base para um subespac¸o. O Teorema 4.3 do Apˆendice III passou para o texto obrigat ´orio da sec¸ ˜ao 4.3 e ´e agora o Teorema 4.2 na p´agina 235. Foram acrescentados alguns exemplos e alguns exerc´ıciosa sec¸ ˜ao 4.3. Os exemplos 7.4 na p´agina 400 e 7.5 na p´agina 406 foram modificados. A sec¸ ˜ao ’Diagonalizac¸ ˜ao de Matrizes’ ganhou mais um exerc´ıcio te ´orico.

Julho 2003 V´arias correc¸ ˜oes incluindo respostas de exerc´ıcios. A sec¸ ˜ao ’Base e Dimens˜ao’ foi reescrita. Foi acrescentada uma sec¸ ˜ao de Espac¸os Vetoriais Abstratos no Cap´ıtulo 4. A sec¸ ˜ao ’Diagonalizac¸ ˜ao de Ma- trizes’ ganhou mais dois exerc´ıcios te ´oricos. A sec¸ ˜ao ’Diagonalizac¸ ˜ao de Matrizes Sim´etricas’ ganhou um apˆendice sobre ’Autovalores Complexos’.

Julho 2002 Criado a partir do texto ’Geometria Anal´ıtica e ´Algebra Linear’ para ser usado numa disciplina de Introduc¸ ˜ao `a ´Algebra Linear ou ´Algebra Matricial.

Julho 2010 Reginaldo J. Santos

Cap´ıtulo 1

Matrizes e Sistemas Lineares

1.1 Matrizes

Uma matriz A , m × n ( m por n ), ´e uma tabela de mn n ´umeros dispostos em m linhas e n colunas

A =

a 11 a 12... a 1 n a 21 a 22... a 2 n ..

....

am 1 am 2... amn

A i -´esima linha de A e´ (^) [ ai 1 ai 2... ain

]

2 Matrizes e Sistemas Lineares

para i = 1,... , m e a j -´esima coluna de A ´e     

a 1 j a 2 j .. . amj

para j = 1,... , n. Usamos tamb´em a notac¸ ˜ao A = ( aij ) m × n. Dizemos que aij ou [ A ] ij e o ´ elemento ou a entrada de posic¸ ˜ao i , j da matriz A. Se m = n , dizemos que A e uma´ matriz quadrada de ordem n e os elementos a 11 , a 22 ,... , ann formam a diagonal (principal) de A.

Exemplo 1.1. Considere as seguintes matrizes:

A =

[

]

, B =

[

]

, C =

[

]

D =

[

]

, E =

 (^) e F =

[

]

As matrizes A e B s˜ao 2 × 2. A matriz C e 2´ × 3, D e 1´ × 3, E e 3´ × 1 e F e 1´ × 1. De acordo com a notac¸ ˜ao que introduzimos, exemplos de elementos de algumas das matrizes dadas acima s˜ao a 12 = 2, c 23 = −2, e 21 = 4, [ A ] 22 = 4, [ D ] 12 = 3.

Uma matriz que s ´o possui uma linha ´e chamada matriz linha , e uma matriz que s ´o possui uma coluna ´e chamada matriz coluna , No Exemplo 1.1 a matriz D e uma´ matriz linha e a matriz E e uma matriz coluna. Matrizes linha e matrizes coluna s˜´ ao chamadas de vetores. O motivo ficar´a claro na Sec¸ ˜ao 3.3 na p´agina 207.

Introduc¸ ˜ao `a ´Algebra Linear Julho 2010

4 Matrizes e Sistemas Lineares

Exemplo 1.2. Considere as matrizes:

A =

[

]

, B =

[

]

Se chamamos de C a soma das duas matrizes A e B , ent˜ao

C = A + B =

[

]

[

]

Defini¸c˜ao 1.2. A multiplica¸c˜ao de uma matriz A = ( aij ) m × n por um escalar (n ´umero) α e definida pela matriz´ m × n B = αA

obtida multiplicando-se cada elemento da matriz A pelo escalar α , ou seja,

bij = α aij ,

para i = 1,... , m e j = 1,... , n. Escrevemos tamb´em [ αA ] ij = α aij. Dizemos que a matriz B e um´ m ´ultiplo escalar da matriz A.

Introduc¸ ˜ao `a ´Algebra Linear Julho 2010

1.1 Matrizes 5

Exemplo 1.3. O produto da matriz A =

 (^) pelo escalar −3 ´e dado por

− 3 A =

Defini¸c˜ao 1.3. O produto de duas matrizes, tais que o n ´umero de colunas da primeira matriz ´e igual ao n ´umero de linhas da segunda , A = ( aij ) m × p e B = ( bij ) p × n e definido pela matriz´ m × n

C = AB

obtida da seguinte forma:

cij = ai 1 b 1 j + ai 2 b 2 j +... + aipbpj , (1.1)

para i = 1,... , m e j = 1,... , n. Escrevemos tamb´em [ AB ] ij = ai 1 b 1 j + ai 2 b 2 j +... + aipbpj.

A equac¸ ˜ao (1.1) est´a dizendo que o elemento i , j do produto ´e igual `a soma dos pro- dutos dos elementos da i -´esima linha de A pelos elementos correspondentes da j - esima coluna de´ B.

Julho 2010 Reginaldo J. Santos

1.1 Matrizes 7

Observa¸c˜ao. No exemplo anterior o produto BA n˜ao est´a definido (por que?). Entretanto, mesmo quando ele est´a definido, BA pode n˜ao ser igual a AB , ou seja, o produto de matrizes n˜ao ´e comutativo , como mostra o exemplo seguinte.

Exemplo 1.5. Sejam A =

[

]

e B =

[

]

. Ent˜ao,

AB =

[

]

e BA =

[

]

Vamos ver no pr ´oximo exemplo como as matrizes podem ser usadas para descrever quantitativamente um processo de produc¸ ˜ao.

Exemplo 1.6. Uma ind ´ustria produz trˆes produtos, X, Y e Z, utilizando dois tipos de insumo, A e B. Para a manufatura de cada kg de X s˜ao utilizados 1 grama do insumo A e 2 gramas do insumo B; para cada kg de Y, 1 grama de insumo A e 1 grama de insumo B e, para cada kg de Z, 1 grama de A e 4 gramas de B. Usando matrizes podemos determinar quantos gramas dos insumos A e B s˜ao necess´arios na produc¸ ˜ao de x kg do produto X, y kg do produto Y e z kg do produto Z.

X Y Z

gramas de A/kg gramas de B/kg

[

]

= A X =

x y z

kg de X produzidos kg de Y produzidos kg de Z produzidos

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8 Matrizes e Sistemas Lineares

AX =

[

x + y + z 2 x + y + 4 z

]

gramas de A usados gramas de B usados

Defini¸c˜ao 1.4. A transposta de uma matriz A = ( aij ) m × n e definida pela matriz´ n × m

B = At

obtida trocando-se as linhas com as colunas, ou seja,

bij = aji ,

para i = 1,... , n e j = 1,... , m. Escrevemos tamb´em [ At ] ij = aji.

Exemplo 1.7. As transpostas das matrizes

A =

[

]

, B =

[

]

e C =

[

]

s˜ao

At^ =

[

]

, Bt^ =

[

]

e Ct^ =

A seguir, mostraremos as propriedades que s˜ao v´alidas para a ´algebra matricial. V´arias propriedades s˜ao semelhantes `aquelas que s˜ao v´alidas para os n ´umeros reais, mas deve-se tomar cuidado com as diferenc¸as. Uma propriedade importante que e v´´ alida para os n ´umeros reais, mas n˜ao ´e v´alida para as matrizes ´e a comutativi- dade do produto, como foi mostrado no Exemplo 1.5. Por ser compacta, usaremos a notac¸ ˜ao de somat ´orio na demonstrac¸ ˜ao de v´arias propriedades. Algumas proprie- dades desta notac¸ ˜ao est˜ao explicadas no Apˆendice I na p´agina 28.

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