algébra linear , Notas de estudo de Matemática

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Algebra Linear

Andr´e Arbex Hallack

Frederico Sercio Feitosa

Janeiro/

• 1 Sistemas Lineares Indice
  • 1.1 Corpos
  • 1.2 Sistemas de Equa¸c˜oes Lineares
  • 1.3 Sistemas equivalentes
    • equivalentes 1.4 Opera¸c˜oes elementares sobre as equa¸c˜oes de um sistema - como produzir sistemas
  • 1.5 Matrizes
  • 1.6 Opera¸c˜oes elementares sobre linhas de uma matriz
  • 1.7 Matrizes linha-reduzidas `a forma em escada
  • 1.8 Multiplica¸c˜ao de matrizes
  • 1.9 Matrizes invert´ıveis
  • 1.10 Determinantes
• 2 Espa¸cos Vetoriais
  • 2.1 Defini¸c˜ao e exemplos
  • 2.2 Subespa¸cos Vetoriais
  • 2.3 Combina¸c˜oes lineares: gera¸c˜ao de subespa¸cos
  • 2.4 Dependˆencia e independˆencia linear
  • 2.5 Base e dimens˜ao de um espa¸co vetorial
• 3 Transforma¸c˜oes Lineares
  • 3.1 Defini¸c˜ao e exemplos
  • 3.2 Resultados imediatos
  • 3.3 N´ucleo e Imagem de uma transforma¸c˜ao linear
  • 3.4 Transforma¸c˜oes injetoras, sobrejetoras, bijetoras
  • 3.5 Isomorfismos
  • 3.6 Representa¸c˜ao de transforma¸c˜oes por matrizes
  • 3.7 Composi¸c˜ao de transforma¸c˜oes lineares
  • 3.8 Posto e Nulidade de uma transforma¸c˜ao linear
• 4 Formas Canˆonicas
  • 4.1 Autovalores e autovetores
  • 4.2 Obtendo autovalores e autovetores
  • 4.3 Forma diagonal: a primeira forma canˆonica
  • 4.4 Polinˆomio minimal (ou m´ınimo)
  • 4.5 Matriz companheira
  • 4.6 A forma canˆonica de Jordan
• 5 Espa¸cos com Produto Interno
  • 5.1 Produto interno
  • 5.2 Ortogonalidade
  • 5.3 Norma
  • • Angulo entre dois vetores ˆ
  • 5.5 Ortogonaliza¸c˜ao; Proje¸c˜ao ortogonal: a melhor aproxima¸c˜ao; Complemento ortogonal
  • 5.6 Tipos especiais de operadores lineares
• Referˆencias

Cap´ıtulo 1

Sistemas Lineares

1.1 Corpos

Seja IK um conjunto de elementos x, y, z, ..., com duas opera¸c˜oes:

Adi¸c˜ao: associa a cada par de elementos x, y ∈ IK um elemento x + y ∈ IK.

Multiplica¸c˜ao: associa a cada par de elementos x, y ∈ IK um elemento x.y ∈ IK.

Suponhamos que estas duas opera¸c˜oes possuam as seguintes propriedades:

1. x + y = y + x para todos (∀) x, y ∈ IK ;

(comutatividade da adi¸c˜ao)

2. x + (y + z) = (x + y) + z ∀x, y, z ∈ IK ;

(associatividade da adi¸c˜ao)

3. Existe um ´unico elemento nulo 0 (zero) em IK tal que 0 + x = x ∀x ∈ IK ;

(elemento neutro da adi¸c˜ao)

4. A cada x ∈ IK corresponde um ´unico elemento (−x) ∈ IK tal que x + (−x) = 0 ;

(sim´etrico na adi¸c˜ao)

5. x.y = y.x ∀x, y ∈ IK ;

(comutatividade da multiplica¸c˜ao)

6. x.(y.z) = (x.y).z ∀x, y, z ∈ IK ;

(associatividade da multiplica¸c˜ao)

7. Existe um ´unico elemento n˜ao-nulo 1 (um) em IK tal que x.1 = x ∀x ∈ IK ;

(elemento neutro da multiplica¸c˜ao)

Sistemas Lineares 3

1.2 Sistemas de Equa¸c˜oes Lineares

Seja IK um corpo (IR ou C). Consideremos o problema da determina¸c˜ao de n escalares (elementos

de IK) x 1 , x 2 , ..., xn que satisfa¸cam `as condi¸c˜oes:

a 11

x 1

• a 12

x 2

• ... + a 1 n

x n

= y 1

a 21 x 1 + a 22 x 2 + ... + a 2 nxn = y 2

am 1 x 1 + am 2 x 2 + ... + amnxn = ym

onde y 1 , y 2 , ..., ym e aij , com 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n, s˜ao elementos dados de IK.

Defini¸c˜ao 1.1. (*) ´e dito um SISTEMA DE m EQUAC¸

OES LINEARES A n INC

OGNITAS. Uma

SOLUC¸

AO do sistema (*) ´e uma n-upla (x 1 , x 2 , ..., xn) de escalares em IK que satisfaz simultane-

amente `as m equa¸c˜oes.

Observa¸c˜ao: Se, em particular, y 1

= y 2

= ... = y m

= 0, ent˜ao o sistema ´e chamado um SIS-

TEMA HOMOG

ENEO e, neste caso, a n-upla (0, 0 , ..., 0) ser´a uma solu¸c˜ao, denominada SOLUC¸

AO

TRIVIAL.

Exemplos:

A) x = 5, y = 3, z = −1, ou seja (5, 3 , −1), ´e (a ´unica) solu¸c˜ao do sistema linear:

2 x − y + 2z = 5

−x + 3y − z = 5

x + 2y + 3z = 8

B) O sistema linear

2 x − y = 7

−x + 3y = 4

x + 2y = 10

n˜ao admite nenhuma solu¸c˜ao.

C) Consideremos em um corpo IK o seguinte sistema:

2 x + y − 3 z = 0

x − y + z = 0

x + 2y − z = 0

D) Consideremos em um corpo IK, o seguinte sistema homogˆeneo:

2 x + y − 3 z = 0

x − y + z = 0

x + 2y − 4 z = 0

4 CAP

ITULO 1

E) Consideremos, em C, o seguinte sistema linear:

ix + 2y = 3 − 6 i

3 x + y = 2

F) Consideremos em um corpo IK, o seguinte sistema

2 x + y − z = 1

−x − y + z = 2

1.3 Sistemas equivalentes

Seja (x 1

, x 2

, ..., x n

) uma solu¸c˜ao do sistema (*).

Dados m escalares c 1

, c 2

, ..., c m

em IK, temos

c 1 (a 11 x 1 + ... + a 1 nxn) = c 1 y 1

cm(am 1 x 1 + ... + amnxn) = cmym

Somando as m equa¸c˜oes, temos uma nova equa¸c˜ao

(c 1

a 11

• ... + c m

a m 1

)x 1

• ... + (c 1

a 1 n

• ... + c m

a mn

)x n

= (c 1

y 1

• ... + c m

y m

Esta equa¸c˜ao ´e dita uma COMBINAC¸

AO LINEAR das equa¸c˜oes do sistema (*) e ´e imediato que

a solu¸c˜ao (x 1 , x 2 , ..., xn) atende a esta equa¸c˜ao.

(Exemplo)

Consequˆencia:

Se tivermos um outro sistema de equa¸c˜oes lineares:

b 11

x 1

• b 12

x 2

• ... + b 1 n

x n

= z 1

b 21

x 1

• b 22

x 2

• ... + b 2 n

x n

= z 2

b k 1

x 1 + b k 2

x 2 + ... + b kn

xn = z k

no qual cada uma das k equa¸c˜oes ´e combina¸c˜ao linear das equa¸c˜oes de (), ent˜ao toda solu¸c˜ao de ()

´e tamb´em uma solu¸c˜ao de (**).

Observa¸c˜ao: Pode acontecer de (*) ter solu¸c˜oes que n˜ao s˜ao solu¸c˜oes de (). Isto n˜ao ocorrer´a

se tamb´em cada equa¸c˜ao de () for uma combina¸c˜ao linear das equa¸c˜oes de (*).

6 CAP

ITULO 1

1.5 Matrizes

Defini¸c˜ao 1.4. Uma MATRIZ m × n sobre um corpo IK ´e uma fun¸c˜ao A do conjunto dos pares

de inteiros (i, j), 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n em IK. Os elementos da matriz A s˜ao os escalares

A(i, j) = a ij

∈ IK.

E conveninete descrever uma matriz exibindo seus elementos em uma tabela retangular com m

linhas e n colunas:

A =

a 11

a 12

... a 1 n

a 21

a 22

... a 2 n

a m 1

a m 2

... a mn

As m-uplas verticais

a 11

a 21

a m 1

a 1 n

a 2 n

a mn

s˜ao as chamadas colunas da matriz A.

As n-uplas horizontais

a 11

a 12

... a 1 n

a m 1

a m 2

... a mn

s˜ao as chamadas linhas

da matriz A.

Um elemento aij est´a disposto na linha i e na coluna j.

Tamb´em denotaremos uma matriz A com m linhas e n colunas por Am×n.

Exemplos:

A) A =

 ´e uma matriz 3^ ×^ 2 sobre IR.

B) B =

[

2 i 7

2 + 5i 3

2 4 0 i

]

´e uma matriz 2 × 4 sobre C.

Igualdade de Matrizes: Duas matrizes A m×n

e B r×s

s˜ao iguais quando m = r, n = s e

aij = bij , 1 ≤ i ≤ m , 1 ≤ j ≤ n, ou seja, quando possuem os mesmos n´umeros de linhas e colunas, e

os elementos “correspondentes” s˜ao todos iguais.

Sistemas Lineares 7

Alguns tipos de matrizes

A) Matriz Quadrada: Uma m × n matriz ´e dita quadrada quando tem o mesmo n´umero de linhas

e colunas (m = n). Exemplo:

A 2 × 2 =

[

i 1

]

A diagonal principal de uma matriz quadrada A = (a ij

n×n

consiste nos elementos a 11

, a 22

, ..., a nn

B) Matriz Diagonal: Uma matriz A = (a ij

) ´e diagonal quando ´e quadrada e seus elementos que

n˜ao est˜ao na diagonal principal s˜ao todos nulos, ou seja, a ij

= 0 se i 6 = j.

Exemplo:

B =

3 i 0 0

3

5

Um exemplo especial de matriz diagonal ´e a chamada matriz identidade: ela ´e uma matriz

diagonal onde os elementos da diagonal principal s˜ao todos iguais a 1.

Denotaremos uma n × n matriz identidade por I n×n

ou simplesmente I quando for claro

(pelo contexto) qual a ordem da matriz.

C) Matriz Nula: Uma matriz A = (a ij

n×m

´e dita nula se a ij

= 0 para todo i, j, 1 ≤ i ≤ n e

1 ≤ j ≤ m. A matriz nula ser´a representada por O.

D) Matriz Triangular Superior: Uma matriz A = (aij ) ´e triangular superior quando ´e quadrada

e seus elementos abaixo da diagonal principal s˜ao todos nulos, isto ´e, aij = 0 se i > j.

Exemplo:

D =

1

6

− 2 i

E) Matriz Triangular Inferior: Uma matriz A = (aij ) ´e triangular inferior quando ´e quadrada e

seus elementos acima da diagonal principal s˜ao todos nulos, isto ´e, a ij

= 0 se i < j.

Exemplo:

E =

5

6

Sistemas Lineares 9

1.6 Opera¸c˜oes elementares sobre linhas de uma matriz

Ao buscar as solu¸c˜oes de um sistema linear

a 11 x 1 + a 12 x 2 + ... + a 1 nxn = y 1

a 21

x 1

• a 22

x 2

• ... + a 2 n

x n

= y 2

a m 1

x 1

• a m 2

x 2

• ... + a mn

x n

= y m

realizamos opera¸c˜oes elementares sobre as equa¸c˜oes do sistema at´e produzir um sistema equivalente

mais simples de resolver.

Neste processo, n´os essencialmente trabalhamos com os coeficientes a ij

e com os escalares y 1

, ..., y m

`

As opera¸c˜oes elementares sobre as equa¸c˜oes do sistema (*) correspondem, portanto, opera¸c˜oes

“semelhantes” sobre as linhas da matriz

a 11

a 12

... a 1 n

a 21 a 22 ... a 2 n

a m 1

a m 2

... a mn

y 1

y 2

y m

chamada a MATRIZ COMPLETA (ou AMPLIADA) do sistema (*). (Exemplo)

Defini¸c˜ao 1.5. Se A e B s˜ao m × n matrizes sobre um corpo IK, dizemos que B ´e LINHA-

EQUIVALENTE a A se B pode ser obtida aplicando-se sobre A uma sequˆencia finita de opera¸c˜oes

elementares sobre linhas.

Resumindo:

Sistema Linear

opera¸c˜oes elementares

sobre as equa¸c˜oes

Sistema equivalente

mais simples

l l

Matriz completa

do sistema

opera¸c˜oes elementares

sobre as linhas

Matriz linha-equivalente

mais simples

Pergunta natural: A que tipo de matriz linha-equivalente estamos tentando chegar?

10 CAP

ITULO 1

1.7 Matrizes linha-reduzidas `a forma em escada

Defini¸c˜ao 1.6. Uma matriz m × n ´e LINHA-REDUZIDA

`

A FORMA EM ESCADA se as seguintes

condi¸c˜oes s˜ao satisfeitas:

1. o primeiro elemento n˜ao nulo de cada linha n˜ao nula ´e igual a 1 ;
2. cada coluna que cont´em o primeiro elemento n˜ao nulo de uma linha tem todos os seus outros

elementos iguais a 0 ;

3. toda linha nula ocorre abaixo de todas as linhas n˜ao nulas;
4. o primeiro elemento n˜ao-nulo da primeira linha ocorre “antes”(em termos de coluna) do primeiro

elemento n˜ao-nulo da segunda linha, que por sua vez ocorre “antes”do primeiro elemento n˜ao-

nulo da terceira linha, e assim por diante ...

Exemplos:

A =

 B^ =

C =

 D^ =

Teorema 1.7. Toda matriz A m×n

´e linha-equivalente a uma ´unica matriz linha-reduzida `a forma em

escada.

Exemplos:

A)

2 x − y = 7

−x + 3 y = 4

x + 2 y = 10

B)

ix + 2 y = 3 − 6 i

3 x + y = 2

C)

2 x + y − z = 1

−x − y + z = 2

12 CAP

ITULO 1

i.

x 1 + 3 x 2 + 2 x 3 + 3 x 4 − 7 x 5 = 14

2 x 1

• 6 x 2

• x 3

− 2 x 4

• 5 x 5

x 1

• 3 x 2

− x 3

• 2 x 5

j.

x − 3 y + z = 2

− 2 x + 3 y − 3 z = − 1

2 x − 9 y + z = 5

k.

x + 3 y − 2 z = 4 − 4 i

−ix + 2 y + z = 8

x + y − z = 1

l. x 1

• 2 x 2

− x 3

• 3 x 4

m.

2 x − i

2 y = 0

ix + y = 0

n.

x + y + z = 4

2 x + 5 y − 2 z = 3

o.

x + y + z = 4

2 x + 5 y − 2 z = 3

x + 7 y − 7 z = 5

p.

2 y + 2 z = 0

x + y + 3 z = 0

3 x − 4 y + 2 z = 0

2 x − 3 y + z = 0

q.

x + y + z + w = 0

x + y + z − w = 4

x + y − z + w = − 4

x − y + z + w = 2

r.

− 2 x + y + 5 z = 0

x − 2 y − 4 z = − 3 i

x − y − 3 z = −i

Sistemas Lineares 13

3. Determine k para que o sistema abaixo admita solu¸c˜ao (e exiba a solu¸c˜ao):

− 4 x + 3 y = 2

5 x − 4 y = 0

2 x − y = k

4. Determine k para que o sistema homogˆeneo abaixo admita solu¸c˜ao n˜ao trivial (e exiba-a):

2 x − 5 y + 2 z = 0

x + y + z = 0

2 x + kz = 0

5. Dado o sistema linear

3 x + 5 y + 12 z − w = − 3

x + y + 4 z − w = − 6

2 y + 2 z + w = 5

(a) Discuta a solu¸c˜ao do sistema.

(b) Acrescente a equa¸c˜ao 2 z + kw = 9 a este sistema e encontre um valor de k que torne o sistema

imposs´ıvel.

6. Determine os valores de k de modo que o sistema abaixo (e obtenha as solu¸c˜oes) tenha

x + y + kz = 2

3 x + 4 y + 2 z = k

2 x + 3 y − z = 1

(a) Solu¸c˜ao ´unica.

(b) Infinitas solu¸c˜oes.

(c) Nenhuma solu¸c˜ao.

7. Considere o seguinte sistema de equa¸c˜oes lineares:

x − 2 y + z = y 1

2 x + 4 y + z = y 2

5 y − z = y 3 − 1

(a) Quais as condi¸c˜oes (se houver) sobre y 1

, y 2

e y 3

para que o sistema acima tenha solu¸c˜ao?

(b) Cite uma terna (y 1

, y 2

, y 3

) tal que o sistema acima tenha solu¸c˜ao.

(c) Apresente a solu¸c˜ao correspondente `a terna citada acima em (b).

Sistemas Lineares 15

Observa¸c˜ao: Em geral AB 6 = BA (o produto de matrizes n˜ao ´e comutativo).

Por exemplo:

A =

 e^ B^ =

Temos que,

AB = O

3 × 3

e BA =

Consequˆencias importantes da defini¸c˜ao de multiplica¸c˜ao de matrizes:

a ) Cada linha da matriz C = AB ´e uma combina¸c˜ao linear das linhas de B. A combina¸c˜ao linear

que “fornece” a i-´esima linha de C ´e dada pela i-´esima linha de A.

(Exemplo)

a ) Cada coluna da matriz C = AB ´e uma combina¸c˜ao linear das colunas de A. A combina¸c˜ao linear

que “fornece” a j-´esima coluna de C ´e dada pela j-´esima coluna de B.

(Exemplo)

a ) Todo sistema linear (*)

a 11

x 1

• a 12

x 2

• ... + a 1 n

x n

= y 1

a 21 x 1 + a 22 x 2 + ... + a 2 nxn = y 2

am 1 x 1 + am 2 x 2 + ... + amnxn = ym

pode ser descrito por uma ´unica equa¸c˜ao matricial AX = Y , onde:

A =

a 11

a 12

... a 1 n

a 12

a 22

... a 2 n

a m 1

a m 2

... a mn

´e a matriz dos coeficientes do sistema, X =

x 1

x 2

x n

e Y =

y 1

y 2

y m

Observa¸c˜ao: Uma solu¸c˜ao (x 1

, x 2

, ..., x n

) do sistema corresponde a uma matriz

X =

x 1

x 2

xn

que satisfaz `a equa¸c˜ao AX = Y.

(Exemplo)

16 CAP

ITULO 1

Exerc´ıcio:

Considere o sistema

x + 6 y − 8 z = 1

2 x + 6 y − 4 z = 0

, que na forma matricial fica

[

]

x

y

z

[

]

(a) Verifique que a matriz X 1 =

 ´e uma solu¸c˜ao particular para o sistema.

(b) Resolva o sistema e verifique que toda solu¸c˜ao ´e da forma X = λ.

(c) Mostre que λ.

 ´e a solu¸c˜ao de

[

]

x

y

z

[

]

(d) Generalize os resultados obtidos acima e mostre que toda solu¸c˜ao de um sistema linear

AX = Y ´e a soma de uma solu¸c˜ao do sistema homogˆeneo AX = 0 com uma solu¸c˜ao particu-

lar de AX = Y.

a ) Consideremos um sistema linear AX = Y como (*).

Se existir uma n × m matriz

A tal que

A.A = In×n

A.

A = I

m×m

, ent˜ao o sistema possui uma ´unica

solu¸c˜ao dada por X =

A.Y.

(Exemplo)

1.9 Matrizes invert´ıveis

Defini¸c˜ao 1.9. Uma n × n matriz quadrada A sobre um corpo IK ´e dita INVERT

IVEL se existir

uma n × n matriz B tal que B.A = A.B = In×n. Neste caso B ´e dita a INVERSA da matriz A e

escrevemos B = A

− 1 .

(Exemplo)