Universidade Federal do Oeste da Bahia
Centro das Ciˆencias Exatas e das Tecnologias
Matem´atica
1aExame de ´
Algebra linear I
Nome:
Data:
1. Assinale V(erdadeiro) ou F(also) e justifique:
(a) A uni˜ao de dois subespa¸cos ´e ainda um subespa¸co vetorial..
(b) Considere os subespa¸cos F1, F2⊂R3assim definidos: F1´e o conjunto
de todos os vetores v= (x, x, x) que tem as trˆes coordenadas iguais
eF2´e o conjunto de todos os vetores w= (x, y, 0) que tem a ´ultima
coordenada igual a zero. Ent˜ao R3=F1LF2.
(c) O polinˆomio 3 + 3x+ 5x2pode ser escrito como combina¸c˜ao dos
polinˆomios 2 + x+ 4x2e 3 + 2x+ 5x2
2. Sejam E, F espa¸cos vetoriais. Uma fun¸c˜ao f:E→Fchama-se par
(respectivamente impar) quando f(−v) = f(v) (respect. f(−v) = −f(v))
para todo v∈E. Prove que o conjunto Adas fun¸c˜oes pares e o conjunto
Bdas fun¸c˜oes impares s˜ao subespa¸cos vetoriais do conjunto das fun¸c˜oes
de Epara F,L(E, F ).
3. Mostre que se {u, v, w}´e um conjunto linearmente independente de vetores
em um espa¸co Ve se x n˜ao pertence ao subespa¸co gerado por {u, v , w},
ent˜ao {u, v, w, x}´e linearmente independente.
4. Dados os elementos v1, v2, ..., vnde um espa¸co vetorial E, mostre que esses
s˜ao L.I. se e somente se, a aplica¸c˜ao
f(a1, ..., an) = a1v1+... +anvn
´e injetiva, onde a1, ..., ans˜ao todos n´umeros reais.
5. Prove que {1, ex, e2x, e3x, e4x}´e um conjunto L.I. no espa¸co C∞(R).
6. Seja f:R2→R2um operador linear. Sabendo que f(1,3) = (−1,2) e
f(−1,3) = (2,3), determine, se poss´ıvel, f(1,0) e f(0,1).
7. Seja E=F1LF2=G1LG2.Se F1⊂G1eF2⊂G2,prove que F1=G1
eF2=G2.
1