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Física I – apontamentos
- Movimento a uma dimensão – retilíneo
1.1 - Movimento
No movimento unidimensional, o movimento dá-se ao longo de uma linha reta (a
trajetória pode ser vertical, horizontal ou inclinada, mas deve ser retilínea) e são as
forças que alteram o movimento.
1.2 - Posição e deslocamento
A posição é onde o objeto se encontra e o deslocamento é a mudança de uma posição x
para uma posição x2:
∆ x=x 2 −x 1
Um resultado positivo indica que o movimento é no sentido positivo e um resultado
negativo indica que o movimento é no sentido negativo.
No deslocamento o número de metros percorridos é irrelevante. Só é necessário a
posição final e a posição inicial.
É uma grandeza vetorial (possui um módulo e uma orientação). O módulo é a distância
entre as posições final e inicial e a orientação que pode ser representada por um sinal
positivo ou negativo se o movimento for retilíneo.
Nota:
Grandezas escalares: possuem apenas um valor numérico. São especificadas por um
número com uma unidade.
Grandezas vetoriais: possuem um valor numérico (módulo) e uma orientação (ex: cima,
baixo...)
1.3- Velocidades
Uma forma de descrever a posição de um objeto é desenhar um gráfico da posição x em
função do tempo t, ou seja, um gráfico x(t) (posição no eixo do y e tempo no eixo do x).
Um objeto no estado estacionário mantém sempre a posição para todos os tempos.
Velocidade média é a razão entre o deslocamento e o intervalo de tempo durante o qual
esse deslocamento ocorre:
V
média
∆ x
∆ t
x 2 −x 1
t 2 −t 1
m/s
A velocidade média também é uma grandeza vetorial caracterizada por um módulo, uma
direção e um sentido.
O declive do gráfico posição em função do tempo é a velocidade média que é o módulo
da grandeza. Se o valor da velocidade média for:
☆. Positivo – a reta está inclinada para cima da esquerda para a direita.
☆. Negativo – a reta está inclinada para baixo da direita para a esquerda.
Velocidade escalar média (grandeza escalar) S ecalar
distânciatotal
∆ t
Na velocidade escalar média o que conta é o número de metros percorridos,
independentemente da direção.
Velocidade instantânea
A velocidade instantânea mede a rapidez com o qual o objeto de move num determinado
instante. Daí chamar-se velocidade instantânea ou simplesmente velocidade.
v= lim
∆ t → 0
∆ x
∆ t
dx
dt
A velocidade é a derivada de x em ordem a t.
É uma grandeza vetorial e por isso possui um sentido e uma direção.
1.4 - Aceleração
Quando a velocidade de uma partícula varia diz-se que a partícula sofreu uma
aceleração ou que foi acelerada.
Para movimentos ao longo de um eixo determina-se a aceleração média
a média
∆ v
∆ t
v 2 −v 1
t 2 −t 1
Aceleração instantânea ou aceleração
a=
dv
dt
m/s
2
Aceleração constante
Quando a aceleração é constante a aceleração e a aceleração média são iguais:
a=a média
v−v 0
t− 0
Onde v 0
é a velocidade no instante zero. Assim:
v=v 0
E
v média
x−x 0
t − 0
x=x 0
t
Fazendo a média aritmética da velocidade média e fazendo substituições, obtém-se:
x−x 0
=v 0
t +
a t
2
x−x 0
=vt−
a t
2
Estas equações são utilizadas para resolver qualquer problema onde a aceleração seja
constante.
Aceleração em queda livre: a aceleração em queda livre é igual ao valor da constante
gravitacional.
1.5 – Integração de gráficos em análise de movimento
Quando temos o gráfico da aceleração de um objeto em função do tempo, podemos
integrar o gráfico para obter a velocidade do objeto em qualquer instante dado. Como a
aceleração é definida em termos da velocidade como a=^
dv
dt
então:
v 1
−v 0
t 0
t 1
a dt
Este integral pode ser calculado a partir do gráfico a(t) e é a área entre a curva de
aceleração e o eixo dos tempos t0 e t1. Quando a curva da aceleração está acima do eixo
do x, a área é positiva, mas quando está abaixo do eixo do x, é negativa.
Da mesma forma podemos obter a posição, mas num gráfico v(t), pois
v=
dx
dt
x 1
−x 0
t 0
t 1
v dt
- Vetores
Um vetor é utilizado para descrever o movimento de uma partícula em qualquer
trajetória.
2.1. Soma de vetores
Para somar dois vetores a ⃗^ e
(^) b fazemos coincidir a origem de
(^) bcom a extremidade de a ⃗.
O deslocamento total é o vetor soma ⃗s.
a⃗ +
b= ⃗s
d= ⃗a−
b
Quando colocamos um sinal de menos antes do vetor, o vetor muda de sentido.
2.2. Componentes de Vetores
Como alternativa à soma comum de vetores temos uma técnica que requer que os
vetores sejam representados num sistema de coordenadas retangulares.
Uma componente de um vetor é a projeção do vetor em um eixo. Na figura abaixo,
a xé a
componente do vetor a ⃗^ em relação ao eixo x^ e a componente
a y é a componente em
relação ao eixo do y.
Uma componente de um vetor de um vetor tem o mesmo sentido que o vetor. Na figura
a x
e a^ y
são componentes positivas porque a ⃗ aponta no sentido positivo dos eixos. Na
figura seguinte vemos que o vetor
(^) b tem uma componente positiva b x
e uma
componente negativa a^ y
2.4. Multiplicação de vetores
Multiplicação de um vetor por um escalar
Quando multiplicamos um vetor ⃗a por um escalar s, obtemos um outro vetor cujo
módulo é o produto do módulo de a ⃗ pelo valor absoluto de s, cuja direção é a mesma de
a⃗ e o sentido é o mesmo de ⃗a se s for positivo e o sentido oposto se s for negativo.
Para dividir a ⃗ por s, multiplicamos pelo inverso de s.
Multiplicação de um vetor por um vetor
Existem duas formas de multiplicar um vetor por um vetor: produto escalar cujo
produto é um escalar e o produto vetorial cujo resultado é um vetor.
Produto escalar
a ⃗.
b=abcosϕ
Onde a e b são os módulos dos vetores e ϕ^ é o ângulo entre os vetores. Existem dois
ângulos possíveis entre os vetores, ϕ^ e 2 π^ −ϕ.
O produto escalar pode ser considerado como o produto de duas grandezas: o
módulo de um dos vetores e a componente escalar do outro vetor em relação ao
primeiro.
Por exemplo na figura seguinte, a ⃗^ tem uma componente escalar em relação a
b e
essa componente pode ser determinada traçando uma perpendicular a
(^) b que passe
pela extremidade de a ⃗. Assim
(^) b possui uma componente escalar bcosϕ em relação a
a⃗. Podemos então aplicar a fórmula
⃗ a.
b=(^ a)^ (^ bcosϕ)=‖a‖‖b‖. cos ( a⃗.
b)
Produto vetorial
⃗ a ×
b= ⃗c=absenϕ
Onde ϕ^ é o menos dos ângulos entre (^) ⃗a
b.
Se a ⃗^ e
b forem paralelos ou antiparalelos, então a ⃗ ×
b= 0. O módulo
de ⃗a ×
b é máximo quando a ⃗^ e
b são perpendiculares.
A direção de c ⃗^ é perpendicular ao plano definido por (^) a ⃗ e
b.
Podemos escrever o produto vetorial sob a forma de matriz e calcular o determinante:
^
i
^
j
^
k
a x
a y
a z
b x
b y
b z
- Movimento em duas e três dimensões
A localização de uma partícula pode ser especificada através do vetor posição
r⃗ =x
^
i+ y
^
j+ z
^
k. Onde x, y e z são as componentes escalares e^ x^
^
i, y
^
j e (^) z
^
k são as
componentes vetoriais.
Quando uma partícula se move, o vetor posição varia:
Δ r=(x 2 −x 1 )
^
i+( y 2 − y 1 )
^
j+(z 2 −z 1 )
^
k
Velocidade média V média
∆ r
→
∆ t
Δ xi+∆ yj+ ∆ zk
∆ t
Velocidade instantânea
⃗^ v=^
d r⃗
dt
Para calcular a velocidade instantânea num certo instante fazemos o tempo tender para
zero:
⃗^ v=lim
t → 0
d ⃗r
dt
Análise do movimento projétil
a. Movimento uniforme (a=0)
Como não existe aceleração na direção horizontal, a componente horizontal
v x
permanece inalterada e igual ao valor inicial durante toda a trajetória, então
v x
=v 0 x
x=x 0
+v 0 x
t
x=x 0
+( v ¿¿ 0 cosθ)t ¿
b. Movimento uniformemente variado (a=k)
y= y 0
t−
g t
2
y=(v 0
senθ)t−
g t
2
A componente vertical da velocidade está dirigida para cima inicialmente e o
módulo diminui progressivamente até se anular, exatamente no ponto mais alto
da trajetória. Logo após este momento, a componente vertical da velocidade
muda de sentido e o módulo passa a aumentar com o tempo.
c. Equação da trajetória
y=xtanθ −
g x
2
2 (v 0
cosθ)
2
d. Alcance
O alcance de um projétil é a distância horizontal percorrida pelo projétil até
voltar à altura inicial (altura de lançamento).
A=v 0
g
sen 2 θ
Esta equação não fornece a distância horizontal percorrida pelo projétil quando
a altura final é diferente da altura de lançamento.
e. Altura máxima
x m á x
v 0
2
senθcosθ
g
y m á x
v 0
2
senθ
2
g
3.2. Movimento circular uniforme
Descreve uma circunferência ou um arco de circunferência com velocidade escalar
constante (uniforme). A partícula está acelerada porque há variação a direção da
velocidade muda.
A velocidade está sempre na direção tangente à circunferência e tem o mesmo sentido
que o movimento. A aceleração está sempre na direção radial e aponta para o centro da
circunferência. Por esta razão, a aceleração associada ao movimento circular uniforme é
designada aceleração centrípeta:
a=
v
2
r
Onde r é o raio da circunferência e v a velocidade da partícula.
Segundo a primeira lei de newton, mesmo que um corpo seja submetido a várias forças,
se a resultante dessas forças for zero, então o corpo não tem aceleração.
4.1.2 Massa
Uma dada força produz acelerações diferentes consoante a massa de um corpo. Um
corpo de menos massa, adquire maior aceleração.
A massa é definida como sendo uma propriedade que relaciona uma força que age sobre
o corpo à aceleração resultante.
4.2. Segunda Lei de Newton
A força resultante que age sobre um corpo é igual ao produto da massa pela aceleração.
F
res
=m a⃗
A componente da aceleração em relação a um dado eixo é causada apenas pela soma das
componentes das forças em relação a esse eixo.
Se a força resultante que age sobre um corpo é nula, então a aceleração também é nula,
se o corpo está em repouso, permanece em repouso e se está em movimento continua a
mover-se com velocidade constante.
Um sistema é formado por um ou mais corpos e qualquer força exercida sobre os corpos
do sistema por corpos que não pertençam ao sistema designa-se por força externa. Se os
corpos estão ligados um ao outro podemos tratar o sistema como um único corpo e a
força resultante a que está submetido esse corpo é a soma vetorial das forças externas
(não incluímos as forças internas, ou seja, as forças entre dois corpos pertencentes ao
sistema).
Também podemos relacionar a força resultante externa que age sobre um sistema à
aceleração do sistema através da segunda lei de Newton.
4.3. Outras forças
Força gravitacional: força que atrai um corpo verticalmente para baixo, em direção ao
centro da Terra.
F
g
=mg
Peso: é o módulo da força necessária para impedir que o corpo caia livremente, medida
em relação ao solo, ou seja, para equilibrar a força gravitacional que a Terra exerce.
Assim duas forças pelo menos atuam no corpo: uma força gravítica dirigida para baixo e
uma força de módulo P, que aponta para cima e que equilibra a força gravitacional:
P−F
g
=m
O peso de um corpo é igual ao módulo da força gravítica que age sobre o corpo.
P=mg
Força normal: Quando um corpo exerce força sobre uma superfície, a superfície
empurra o corpo com uma força normal, que é perpendicular à superfície.
Tração: Quando uma corda é presa a um objeto e é esticada, aplica-se uma força de
tração orientada ao longo da corda. A tensão da corda é o módulo T da força exercida
sobre o corpo.
A massa da corda é considerada desprezível.
Quando alguém puxa a corda, a força de tração exercida entre a mão e a corda é a
mesma que é exercida entre a corda e o objeto:
No caso c, a força resultante da corda em torno da bobine é 2T.
4.4. Terceira Lei de Newton
Quando dois corpos interagem, as forças que cada corpo exerce sobre o outro são iguais
em módulo e têm sentidos opostos.
A terceira lei aplica-se para corpos em repouso ou em movimento.
- Energia
6.1. Energia cinética
A energia cinética é a energia associada ao estado de movimento de um objeto. Quanto
mais depressa o objeto se move, maior é a energia cinética. Quando um objeto está em
repouso, a energia cinética é nula.
K=
mv
2
( joules)
6.2. Trabalho (aplicado a uma força constante)
É a transferência de energia para um objeto ou de um objeto através de uma força que é
aplicada no objeto. Quando a energia é transferida para o objeto, o trabalho é positivo,
quando a energia é transferida pelo objeto, o trabalho é negativo.
W =F
x
d
Só realiza trabalho a componente da força paralela ao eixo do x.
F
x
=Fcosϕ
Assim:
W =Fdcosϕ
O trabalho realizado por uma força é positivo se a força possui uma componente
vetorial no sentido do deslocamento e negativo se a força possui uma componente
vetorial no sentido oposto ao do deslocamento. Se a força não possui uma componente
vetorial na direção do deslocamento, o trabalho é nulo.
6.3. Teorema do trabalho e da energia cinética
E. cinética final = E. cinética inicial + trabalho executado
Se o trabalho total realizado sobre a partícula é positivo, a energia cinética da partícula
aumenta de um valor igual ao trabalho realizado.
Se o trabalho é negativo, a energia cinética da partícula diminui de um valor igual ao
trabalho realizado.
6.4. Trabalho realizado pela força gravítica
w g
=mgdcosϕ
Durante a subida
F
g tem o sentido contrário ao do deslocamento, assim^
ϕ = 180 º, assim,
o sinal negativo indica que durante a subida o objeto perde velocidade, uma vez que a
força gravítica remove energia da energia cinética:
w g
=−mgd
Quando o objeto atinge uma altura máxima e começa a descer, o àngulo é zero:
w g
=mgd
6.4. Força elástica
A força elástica é uma força variável, exercida por uma mola.
F
elástica
=−k ∆ x
É negativa porque o sentido da força elástica é sempre oposto ao sentido do
deslocamento.
K é a constante elástica e quanto maior o valor de k, maior é a força exercida pela mola
para um dado deslocamento.
Se x é positivo, a mola está alongada para a direita e se x for negativo, a mola está
alongada para a esquerda.
Trabalho realizado pela força elástica
W =
k x i
2
−
k x f
2
