Baixe Introdução aos Modelos Probabilísticos e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia Informática, somente na Docsity!
Prof. Sebastião de Amorim
UNICAMP - 2012
Capítulo 1 – Fundamentos
As leis da probabilidade interferem em todos os fenômenos naturais, sociais, econômicos e pessoais. Em diversas situações eles são determinantes, podendo-se dizer que literalmente governam os resultados – tal é o caso no ato corriqueiro do arremesso de uma moeda ou de um dado; em outras, a contribuição é parcial, mas fortemente influente nos resultados, como nos “experimentos” de tiro ao alvo. Neste caso, o nível de perícia do atirador delimita o grau de influência da componente probabilística no resultado final. Em muitas outras situações, a componente probabilística dos resultados é tão pequena comparada às componentes determinísticas que o fenômeno é visto em geral como puramente determinístico. Nos jogos de azar, como as loterias de números – a sena é um caso bem conhecido – as leis da probabilidade governam os resultados de forma completa. Em outros jogos, como a loteria esportiva, o nível de conhecimento do jogador pode exercer algum nível de controle sobre seu resultado, mas ele é ainda fundamentalmente comandado por leis probabilísticas.
É interessante observar que sob certos aspectos, quanto maior a extensão e complexidade – sob uma ótica determinística – de uma situação prática, tanto maior a sua simplicidade do ponto de vista de uma abordagem probabilística. Isto ressalta o valor do tratamento probabilístico de problemas reais, complementando a abordagem determinística usual. Nas situações em que a abordagem determinística é impotente, a probabilística brilha. Por exemplo, ao arremessar uma moeda 10 vezes, podemos afirmar – conforme veremos adiante – que, com probabilidade 0,89, a freqüência relativa de caras ficará entre 30 e 70%. Temos, portanto, sobre o resultado do experimento, uma previsibilidade não nula, mas limitada. Com um número muito maior de arremessos o problema ganha, do ponto de vista probabilístico, surpreendente nitidez. Com 10 mil arremessos, numa situação aparentemente muito mais complexa, podemos afirmar que, com probabilidade 0,99, a fração de caras ficará entre 48,7 e 51,3%. Aumente o número de arremessos para um milhão e teremos quase uma situação de nitidez absoluta: com probabilidade 0,99 a fração de caras estará entre 49,9 e 50,1%.
Numa outra direção: é muito mais fácil e preciso prever quanta chuva cairá em Campinas durante o ano de 2012 do que durante o dia 18 de janeiro de 2012.
Prof. Sebastião de Amorim
UNICAMP - 2012
Neste curso alcançaremos um domínio conceitual e operacional de um conjunto surpreendentemente poderoso, abrangente e eficaz de ideias e ferramentas básicas da Teoria da Probabilidade e da Estatística. Estes ganhos ampliarão a nossa compreensão do funcionamento dos fenômenos reais a nossa volta.
1.1 – Desenvolvimento formal do conceito básico de Probabilidade
O conceito de probabilidade pode ser definido matematicamente, de uma forma abstrata e completamente desvinculada de qualquer contexto material. Este desenvolvimento é útil por fornecer uma infra-estrutura simples e rigorosa, sobre a qual as propriedades matemáticas inerentes do conceito podem ser deduzidas. A estrutura matemática produzida, com a teoria matemática associada – a Teoria da Probabilidade – poderá então ser aplicada na modelação de problemas reais de natureza probabilística.
Construiremos aqui, de uma forma muito simplificada, a estrutura formal básica que será utilizada em seguida na dedução de diversas propriedades fundamentais úteis, e na modelação de diversas situações concretas interessantes.
Espaço de Probabilidades Construiremos aqui a estrutura básica sobre a qual construiremos os fundamentos da Teoria da Amostragem. Os conceitos definidos a seguir são simples.
Experimento aleatório – também denominado experimento probabilístico ou, ainda, experimento estocástico, é qualquer ação cujo resultado não pode ser previsto, senão em termos probabilísticos. O lançamento de uma moeda ou de um dado são exemplos corriqueiros. Um experimento aleatório é dito binário se seu o conjunto de todos os seus resultados possíveis tem apenas dois elementos. Tal é o caso do lançamento de uma moeda: os resultados possíveis são Cara (C) e Coroa (c); o conjunto dos resultados possíveis é então {C, c}. Na sua forma genérica, os resultados de um experimento aleatório binário são Sucesso (S) e Fracasso (F). Experimentos aleatórios binários são também denominados de Bernouli, ou bernoulianos.
Como o termo “experimento” sugere intencionalidade, empregaremos também a expressão Fenômenos Aleatórios para os casos em que a ação humana – intencional ou acidental – não intenvem.
Prof. Sebastião de Amorim
UNICAMP - 2012
O conjunto R dos reais O conjunto dos reais no intervalo (0, 1) O conjunto de todos os irracionais no intervalo (-0,0001, 0,0001)
Evento – é qualquer subconjunto de .
No caso do arremesso de um dado, {1}, {2, 4, 6} e {5, 6} são exemplo de eventos. Quantos eventos diferentes existem associados a um espaço amostral de cardinalidade 6?
Partição – é qualquer classe P de subconjuntos não vazios e disjuntos de cuja união é . A figura ao lado representa graficamente a ideia básica de partição, que pode ser, naturalmente, aplicada a qualquer conjunto. Denominamos classe (geralmente representadas por maiúsculas manuscritas, como P) a qualquer conjunto cujos elementos são conjuntos.
A classe { {1, 2}, {3, 4}, {5, 6} } é uma partição de ={1, 2, 3, 4, 5, 6}, assim como { {1, 2, 3, 4}, {5, 6} }. Uma partição com dois elementos apenas, como a anterior, é dita binária.
Quantas partições diferentes existem do conjunto definido acima, isto é, de quantas maneiras diferentes ele pode ser particionado? E um conjunto de cardinalidade n?
Álgebra – é qualquer classe não vazia F de subconjuntos de , com as seguintes propriedades de fechamento:
a. Se A pertence à classe F, então seu complemento Ac^ também pertence: AF AcF
b. Se A e B pertencem a F então sua união também pertence: AF e BF ABF
Seja, por exemplo, ={1, 2, 3, 4, 5, 6}. Definindo os eventos A={1, 2}, B={3, 4, 5, 6}, C={1, 2, 3}, D={4, 5} e E={6} vemos que P 1 ={A, B} é uma partição binária de ; P 2 ={C, D, E} é outra partição de , desta vez em três partes; por outro lado, a classe N={A, D, E} não é uma partição de , uma vez que a união de seus elementos não forma .
Prof. Sebastião de Amorim
UNICAMP - 2012
A classe F 1 ={, A, B, } é uma álgebra de subconjuntos de (verifique); F 2 ={, C, D, E, CD, CE, DE , } também é uma álgebra de subconjuntos de . Toda álgebra tem um conjunto de blocos básicos, formadores. Estes blocos básicos compõesm uma partição de . São consequências imediatas da definição de álgebra. Como exercício, prove esses resultados: O eventos e sempre pertencem à álgebra. Se A 1 , A 2 , …, An pertencem à álgebra, então a união também pertence Se A 1 , A 2 , …, An pertencem à álgebra, então a intersecção também pertence
Note aqui que as propriedades definidoras de uma álgebra implicam que se AF e BF, então ABF. Prova: Pelas leis de DeMoivre, (AB)c=AcBc, isto é, o complemento da intersecção é a união dos
complementos, logo AB=( AcBc)C, que, já sabemos, pertence a F, pelas suas propriedades definidoras de
fechamento em relação a união e complementação. Uma álgebra é, portanto, também fechada em relação a operações de complementação.
Geratriz da Álgebra – É uma partição P de , tal que:
AP AF
B é um subconjunto próprio de algum elemento de P, então BF.
Toda álgebra tem uma partição geratriz, e ela é única; toda partição de induz uma álgebra de subconjuntos de : toda partição tem uma álgebra associada, e vice-versa. Nota : Dado um conjunto não vazio qualquer, A, uma maneira construir uma álgebra de subconjuntos de A consiste em, primeiro, particionar A em n subconjuntos e, no segundo passo, compor a classe formada pelo vazio e todas as uniões, 1 a 1, 2 a 2, 3 a 3, até n a n (isto é, o próprio A), dos elementos da partição. Assim, de um conjunto A, pode-se formar tantas álgebras de subconjuntos de A quantas forem as partições diferentes possíveis de A.
Prof. Sebastião de Amorim
UNICAMP - 2012
função de probabilidades no espaço (, F ). Nota : é possível que você esteja associando esse espaço amostral ao experimento de arremessar um dado. Neste caso, você acha que P(A)=0,5, P(B)=1/3 e P(C)=1/6 seria a definição correta para P, e que a definição proposta não faz sentido. Quanto a isto, alguns comentários são apropriados: (1)Como não estamos modelando nenhum experimento aleatório em particular, mas apenas construindo um modelo abstrato de probabilidades, a definição dada é correta, uma vez que cumpre todas as condições de uma função de probabilidade ; (2)a segunda definição também é correta, desde que os valores de P para os demais eventos em A sejam calculados segundo as leis básicas ; e, (3)para modelar apropriadamente o experimento concreto do lançamento de um dado normal, a segunda é, certamente, a proposta adequada.
Espaço de Probabilidades – É a tríade composta por um espaço amostral, uma álgebra de subconjuntos deste espaço amostral, e uma função de probabilidades definida sobre esta álgebra: (,F , P)
Evento Mensurável – Um evento A (isto é, A ) é dito mensurável se ele pertence à álgebra, ou seja, se P(A) for bem definida.
No Exemplo 1.1.1, o evento {1, 2, 3, 6} é mensurável mas {1, 2, 4}, não. Dizer que um evento é mensurável equivale a dizer que ele tem um valor bem definido de probabilidade no espaço métrico construído.
1.2 – Probabilidade Condicional, Independência e o Teorema de Bayes, com aplicações
O conceito de probabilidade condicional tem um papel central na teoria do conhecimento. Mais recentemente ele tem ganhado grande visibilidade pelo seu papel central em estratégias de busca automática na internet.
1.2.1 - Fundamentos
Prof. Sebastião de Amorim
UNICAMP - 2012
Probabilidade Condicional – Seja (, F, P) um espaço de probabilidade e B um evento mensurável (isto é, BF) de probabilidade não nula. A função PB: F R representada P[ {A}{B} ] (lê, se: probabilidade do evento A, dada a ocorrência do evento B, ou, mais simplesmente, probabilidade de A dado B), é definida como
Tambem representada como PB[A], a probabilidade condicional é uma função probabilidade no espaço métrico (, F, P).
Exemplos:
- Seja o experimento D 52 , conforme definido, cujo espaço amostral, ={11 12 … 54 55} tem cardinalidade 25. Definindo F como a álgebra completa, e P a função natural de probabilidades para o experimento, considerando-se dados equilibrados, dá probabilidade 0,04 para cada um dos eventos unitários em F. Desta forma, definindo: A={o maior resultado é 3}={13 23 31 32} e B={a soma dos resultados é 4}={13 22 31} temos que P[A]=0,16, P[B]=0,12, e, pela definição de probabilidade condicional: P[A\B] = P[AB]/P[B] = P{13 31}/P[B] = 0,08/0,12 = 2/ E P[B\A] = P[AB]/P[A] = P{13 31}/P[A] = 0,08/0,16 = 1/ Interpretando os resultados acima, temos que a probabilidade do maior resultado ser 3 dado que a soma dos dois resultados foi 4 é igual a 2/3; já a probabilidade da soma dos resultados ser quatro, dado que o maior dos dois resultados foi três, é igual a 0,50.
- Uma urna contém 3 bolas, sendo uma vermelha e duas amarelas. Uma segunda urna contém também três bolas, sendo duas vermelhas e uma amarela. Um experimento é realizado em dois estágios. No primeiro, uma das urnas é selecionada ao acaso, ao arremesso de um dado : {1, 2}u 1 , {3, 4, 5}u 2 ; no segundo, dela é sorteada uma bola e sua cor anotada... Qual a probabilidade de que a segunda bola seja amarela dado que a primeira foi vermelha? O espaço amostral melhor adequado a este experimento é ={u 1 a, u 1 v, u 2 a, u 2 v}
Prof. Sebastião de Amorim
UNICAMP - 2012
A = {os dois resultados são iguais} = {(1 1) ,(2 2) ,(3 3) , (4 4) , (5 5) , (6 6)}
é um exemplo de evento mensurável. Neste caso, #(A)=6 então P(A)=6/36=1/6. Seja agora outro evento mensurável que denominamos B: B = { a soma dos dois resultados é maior que 8 } = { (3 6) , (4 5) , (4 6) , (5 4) , (5 5) , (5 6) , (6 3) , (6 4) , (6 5) , (6 6) }
Sua probabilidade é 10/36. Como P(B)>0, podemos definir a função de probabilidade PB: F R como PB(A)=P(A B)/P(B), a probabilidade condicional de A, dado B. Assim, se A é como definido acima, temos que A B = {(4 4) , (5 5) , (6 6)} e P(A B)=1/12, isto é, a probabilidade de se ter dois resultados iguais e a soma dos mesmos maior que 7.
Podemos dizer, então, que, em dois arremessos sucessivos de um dado, a probabilidade de se ter dois resultados iguais, dado que a soma dos dois resultados é superior a 8, é 0,3. Podemos também calcular a probabilidade de se ter um total superior a 8 dado que os dois resultados foram iguais. Dá 0,333 ; confira.
Da mesma forma como a probabilidade condicional de A, dado B, foi calculada, também se pode calcular a probabilidade condicional em B, de qualquer elemento de F_. Por exemplo, se C = {o primeiro resultado é 6}, então C= {6 1 , 6 2 , 6 3 , 6 4 , 6 5 , 6 6}, e C_ B={6 3 , 6 4 , 6 5 , 6 6} e PB[C]=4/10 = 0,4.
Exemplo 1.3.2 – Considerando o mesmo espaço métrico do exemplo anterior, seja agora o evento B definido como B={O segundo resultado parcial é seis}={1 6, 2 6, 3 6, 4 6, 5 6, 6 6}, com P[B]=1/6. A função de probabilidade PB: F R definida por PB[A]=P[A B]/P[B] para qualquer A F é a probabilidade condicional de A, dado B. Esta função fica completamente definida quando definimos seu valor para cada um dos átomos de F: Como {ij} {16, 26, 36, 46, 56, 66} é igual a se j 6 e a {ij} se j=
^
[ ]
[ ]^06
[ ]
PPBij se^ j
PPB sej PB P ij P ij B B
Prof. Sebastião de Amorim
UNICAMP - 2012
Em outras palavras, os átomos {1 6}, {2 6}, {3 6}, {4 6}, {5 6} e {6 6}, que têm intersecção não vazia com B têm, cada um, PB igual a 1/6; os demais 30 átomos de F têm PB zero.
O valor de PB para qualquer dos demais elementos – não “atômicos” – de F fica perfeitamente determinado a partir das propriedades fundamentais das funções de probabilidade. Por exemplo, PB {1 2, 2 3, 3 4, 4 5, 5 6} = 1/6.
Exemplo 1.3.3 – Ainda no mesmo contexto do Exemplo 4, seja o evento: C={o primeiro resultado parcial é impar}
BC={1 6, 3 6, 5 6}, temos que P[BC]=3/36=1/12. Logo
[ ]
[ / ] [ ]
PB
P C PC B PB C
B
Como PB[C]=P[C], concluímos que, neste espaço de probabilidades, os eventos B={O segundo resultado parcial é 6} e C={O primeiro resultado parcial é ímpar} são independentes, um resultado que pode ser facilmente interpretado no contexto físico do exemplo. Exemplo 1.3.4 – Continuemos no espaço de probabilidades do Exemplo 4. Seja a função X:R, definida por X(ij)=i+j, a soma dos dois resultados parciais. Note que X assume valores no conjunto {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} e define uma partição própria de em 11 átomos, PX={A 2 , A 3 , A 4 , , A 12 } com Ai={(, tais que =i }, para i=2, 3, 4, ..., 12. Ilustrando A 2 ={11} , A 3 ={12 , 21}, A 4 ={13, 22, 31}, A 5 ={14, 23, 32, 41},
e assim por diante... Como X é constante dentro dos átomos de A, concluímos que X é uma variável aleatória. Na
verdade, como adotamos neste exemplo a partição máxima de , na qual cada átomo é constituído de um único elemento de , qualquer função real definida em será uma variável aleatória.
Seja F X a álgebra gerada por P X. Como cada átomo de P X. é formado pela união de átomos de P , dizemos que esta
partição é um refinamento daquela. Como a partição P X. é mais grossa que P, a álgebra F X define sobre uma estrutura métrica de menor resolução – mais grosseira – que aquela definida por F_. Por outro lado, como qualquer átomo de_ F X é a união de átomos de F , concluímos que F X F_. Na figura abaixo temos uma representação gráfica do espaço amostral_ e das suas duas partições consideradas neste exemplo.
Prof. Sebastião de Amorim
UNICAMP - 2012
e. Determine a função de distribuição de probabilidades de X e trace seu gráfico. f. Calcule E(X) e V(X) g. Determine explicitamente o evento S 6 ={X6} h. Determine a distribuição condicional de X dado S 6.
Determine E(X/S 6 ) e V(X/S 6 ) a esperança e variância condicionais de X, dado S 6.
Seja A 1 ={O primeiro resultado é 6} e A 2 ={O segundo resultado é 3}. Verifique que A 1 e A 2 são independentes.
Sejam X 1 e X 2 definidas como o valor do primeiro e o segundo resultado parcial, respectivamente. Determine F (^) X 1 e F (^) X 2.
Exemplo 1.3.5 – Uma urna contém 3 bolas, sendo uma vermelha e duas amarelas. Uma segunda urna contém também três bolas, sendo duas vermelhas e uma amarela. Um experimento é realizado em dois estágios. No primeiro, uma das urnas é selecionada ao acaso e com chances iguais, no segundo, dela é sorteada uma bola e sua cor anotada... Antes de repor a bola, uma segunda bola será sorteada da mesma urna. Qual a probabilidade de que a segunda bola seja amarela dado que a primeira foi vermelha? O espaço amostral melhor adequado a este experimento é ={u 1 aa, u 1 av, u 1 va, u 2 av, u 2 va, u 2 vv} Note que os resultados u 1 vv e u 2 aa não foram incluidos em , pois não podem ocorrer. Numa outra versao de esses dois resultados poderiam ser incluídos, desde que, na definição de P, se cuidasse de fazer P{u 1 vv}=P{u 2 aa}=0.
Seja F a classe de todos os subconjuntos de para a definição da função de probabilidade P associada
naturalmente ao experimento vamos inicialmente dar nome a alguns eventos interessantes:
U 1 ={ A urna 1 foi selecionada } = { u 1 aa, u 1 av, u 1 va} e U 2 =U 1 c A 1 ={A primeira bola selecionada é amarela} = { u 1 aa, u 1 va, u 2 va } e V 1 =A 1 c A 2 ={A segunda bola selecionada é amarela}={ u 1 aa, u 1 va, u 2 va } e V 2 =A 2 c Pelas hipótesers do experimento, sabemos que P[U 1 ] = 0, P[A 1 \ U 1 ] = 2/3 , P[V 1 \ U 1 ] = 1/3, P[A 1 \ U 2 ] = 1/3 e P[V 1 \ U 2 ] = 2/
P[A 2 \ (U 1 A 1 )]= P[V 2 \ (U 1 A 1 )] = 1/2, P[A 2 \ (U 2 A 1 )] = 0 e P[V 2 \ (U 1 A 1 )] =1/
P[A 2 \ (U 1 V 1 )] = 1
P[V 2 \ (U 1 V 1 )] = 0
P[A 1 \ U 2 ] = 1/3 e P[V 1 \ U 2 ] = 2/
Prof. Sebastião de Amorim
UNICAMP - 2012
Estamos agora equipados para responder à pergunta: Qual a probabilidade de que a segunda bola seja amarela dado que a primeira foi vermelha?
Exercícios 1.3. :
- Modifiquemos um pouco o experimento original no exemplo acima: o segundo sorteio é feito na outra urna. Calcule P[A 2 \ V 1 ].
- Ainda no experimento modificado, calcule a probabilidade de que a urna sorteada tenha sido a primeira, dado que a primeira bola foi amarela: P[U 1 \ A 1 ]?
- Em cada uma das duas variações do experimento das duas urnas, calcule P[V 1 \ A 2 ]
- No caso do arremesso de dois dados, tratado anteriormente, calcule a probabilidade de que o primeiro resultado tenha sido par dado que a soma dos dois resultados foi maior que 8.
1.3.2 – Regra do Valor Total e Teorema de Bayes
Seja um espaço de probabilidades qualquer, (, F, P), uma partição enumerável e mensurável de A={A 1 , A 2 , A 3 , } e um
evento mensurável qualquer B. Neste caso, AB={A 1 B, A 2 B,
A 3 B, } forma uma partição disjunta e mensurável do evento B, e portanto
Mas P[AiB]=P[B/Ai]P[Ai], logo
Vejamos um exemplo simples de aplicação deste resultado.
Exemplo 1.3.6 – Três urnas contêm 100 bolinhas cada, todas idênticas, exceto na cor. Na primeira, 90 bolinhas são vermelhas, na segunda 50 e na terceira, uma. As restantes são amarelas. Uma urna é escolhida segundo
Prof. Sebastião de Amorim
UNICAMP - 2012
Ou ainda, por um outro ângulo, agrupando os termos de outra forma, a maneira como a probabilidade a priori da urna é transformada na probabilidade condicional da urna, dada a cor da bola sorteada:
A probabilidade condicional é, por si própria, uma medida de probabilidade: PV(U 1 )=P(U 1 \V). Logo, já que {U 1 , U 2 , U 3 } é uma partição disjunta de , a soma PV(U 1 ) + PV(U 2 ) + PV(U 3 ) é igual a 1. De fato, como podemos ver:
e
Da mesma forma, conhecendo P(A)=1-P(V)=0,654, determinamos P(Ui\A)
A tabela abaixo e a figura ao lado comparam as 3 distribuição de probabilidades entre as 3 urnas: a distribuição a priori, distribuições condicionais, dado que a bola selecionada é vermelha e dado que é amarela. Note como, dado que a bola selecionada foi vermelha, a urna 3
- onde esta cor é rara – se torna relativamente implausível, com a probabilidade a priori de 40% caindo para apenas 1,16%. Efeito semelhante se verifica na urna 1, quando a bola selecionada é amarela.
É interessante notar
i P(Ui) P(Ui \ V) P(Ui \ A) 1 0,1 0,2616 0, 2 0,5 0,7267 0, 3 0,4 0,0116 0,
0,
0,
0,
0,
0,
u1 u2 u
Prof. Sebastião de Amorim
UNICAMP - 2012
como, neste exemplo, pudemos determinar P(U 1 / V) a partir de P(V / Ui ) e de P(Ui), para todo i. Este é um recurso muito útil na análise de diversas classes de problemas probabilísticos interessantes, conforme veremos mais adiante. O resultado implícito no desenvolvimento acima pode ser consolidado no Teorema de Bayes.
Sejam ( , F , P) um espaço de probabilidades, P = {A 1 , A 2 , A 3 , ... , An} uma partição enumerável, mensurável e disjunta de e B um evento mensurável qualquer com P[B]>0, então,
Ora, o resultado acima, o Teorema de Bayes, já havia sido sugerida e utilizada na seção anterior. Ela é uma decorrência imediata da definição de probabilidade condicional e da regra do valor total:
Na estrutura do experimento – voltamos aqui ao exemplo das três urnas, para ilustração – a determinação de P[B/Ai] é imediata, sendo decorrência direta da sua própria construção: a probabilidade de uma bola vermelha, dado que a urna selecionada foi a primeira, é 0,10; da mesma forma, P[V \ U 2 )= 0,50 e P[V
U 3 )=0,01. A fórmula de Bayes permite uma reversão da ordem natural do experimento. Com ela podemos, por exemplo, calcular a probabilidade de U 1 dado V.
A fórmula de Bayes causa certo desconforto ao formalista mais rigoroso da Teoria da Probabilidade. Se, por um lado, é natural perguntar: “A urna u1 foi selecionada; qual a probabilidade, agora, de se sortear uma bola vermelha?”, a pergunta reversa parece violar a ordem natural do experimento: “uma bola vermelha foi sorteada; qual a probabilidade de que a urna 1 tenha sido selecionada?”.
A rigor, tendo uma bola vermelha sido selecionada, queda implícito que o estágio do experimento no qual a urna é selecionada já foi realizado. Neste caso, não haveria mais “probabilidade” envolvida, e a pergunta: “qual a probabilidade de que a urna u1...”, seria uma impropriedade formal.
Analogamente, ao se preparar para arremessar uma moeda, você sabe que a probabilidade de Cara é ½. Estando já o arremesso no passado, mesmo que você ainda não tenha conhecimento do resultado, não seria
Prof. Sebastião de Amorim
UNICAMP - 2012
internacional, ele sabe, por exemplo, que 80% dos seus clientes brasileiros tomam cerveja e os demais tomam vinho. Entre os portugueses é diferente: apenas 10% tomam cerveja; 90% preferem vinho. Pois bem, um grupo de turistas chega, falando português. Ele sabe, então, a priori que, com probabilidade 0,80, eles são brasileiros e com 0,20, portugueses. a – Qual é a probabilidade de que o grupo peça vinho? Uma definição conveniente do espaço amostral para este “experimento” é ={bc, bv, pc, pv}; a álgebra é a completa (com todos os 16 subconjuntos e a função própria de probabilidades neste caso é definida a partir das probabilidades dos átomos da álgebra máxima (que são, portanto, os subconjuntos unitários de . P{bc}= P[B] P[C\B]=0,8 0,8=0, P{bv}= P[B] P[V\B]=0,8 0,2=0, P{pc}= P[P] P[C\P]=0,2 0,1=0, P{pv}= P[P] P[V\P]=0,2 0,9=0, Podemos agora calcular P[V]=P{bv, pv}=P{bv}+P{pv)=0,16+0,18=0,
b – Qual a probabilidade de que eles sejam portugueses, dado que pediram vinho? A probabilidade a priori de que os clientes sejam portugueses é apenas 0,20. Dado que eles pediram vinho, uma ação fortemente associada aos portugueses, a probabilidade de serem portuguesas deve aumentar. Vejamos: PV P P P \ V P PP V^ ^ V ^ (^) P V \ B P B P V \ P P P ^ P V \ P P P^ ^ (^) 0,20 0,800,90 0,200,90^ 0,20 (^) 0,160,18 0,18^ 1834 0,
Como PV é uma função de probabilidades em ( , F ), logo PV(B) =PV(Pc)=1-PV(P)=0,471. Este resultado pode, naturalmente, ser confirmado pelo cálculo direto da expressão de PV[P].
c – Qual a probabilidade de que eles sejam brasileiros, dado que pediram cerveja? Neste caso, a bebida corrobora a avaliação a priori de que eles seriam brasileiros. O nível de convicção na brasilidade dos turistas deve, então, aumentar, a partir do “resultado experimental”: eles pediram cerveja.
Prof. Sebastião de Amorim
UNICAMP - 2012
E, portanto, PC [P]=0,030. A priori, a probabilidade de o grupo ser brasileiro já é elevada; ao pedir cerveja o grupo reforça a evidência ao nível de quase certeza: eles são mesmo brasileiros.
d – Vamos agora admitir que uma distribuição a priori objetiva não exista para a nacionalidade – brasileira ou portuguesa – dos clientes que entram no bistrô falando português. Mas o recepcionista, pessoa observadora e inteligente, tem uma percepção subjetiva aguda. Por motivos que ele não consegue definir de forma nem clara nem objetiva, ele sente os recém chegados são brasileiros. Treinado a pensar estatisticamente, ele consegue, inclusive, quantificar – subjetivamente – o grau de convicção neste seu “feeling”: j’ai 90% de convicción que ils sont brasilienes.
Pois bem, admitindo então a distribuição a priori de probabilidades, podemos calcular, à moda bayesiana, a distribuição a posteriori de probabilidades (brasileiros ou portugueses) relativa aos turistas. Novamente, se eles pedirem cerveja, a convicção do maïtre será reforçada:
As outras três probabilidades condicionais de interesse poderiam aqui ser calculadas de forma análoga. Deixo a tarefa ao leitor.
No exemplo anterior vimos como a Fórmula de Bayes permite conjugar informação a priori, muitas vezes de natureza subjetiva, com resultados experimentais objetivos, compondo uma distribuição a posteriori de convicções. A grande utilidade da abordagem decorre do fato que muitas vezes conhecimento não baseado em experimentos cuidadosamente planejados e executados, são valiosos por agegarem percepções e aprendizado adquirido de forma expontânea, como através do acúmulo gradual de experiência sobre fenômenos específicos.
Teremos adiante mais exposição ao método e pensamento bayesianos.
Exercícios 1.3. :
- Determinada doença tem, numa dada população, prevalência igual a, em média, cinco casos para cada 100 mil indivíduos. Um exame clínico para diagnosticar esta doença tem especificidade 98% e sensibilidade 99%. Isto quer dizer que a probabilidade deste exame dar um falso positivo, ou seja P– {+}, é igual a =0,02, enquanto que a probabilidade de um falso negativo, isto é P+{–}, é 0,01. Um indivíduo é selecionado ao acaso desta população e examinado. Calcule : a. P{Resultado dá positivo} b. P+{+}, a probabilidade que o paciente seja realmente doente, dado que o resultado deu positivo.
