Introdução aos Modelos Probabilísticos: Distribuição Normal, Notas de aula de Probabilidade

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ME323D

Introdução aos Modelos

Probabilísticos

Aula 10

Profa. Tatiana Benaglia

Principais Modelos Contínuos

• Uniforme
• Exponencial
• Gama
• Beta
• Normal
• Qui-Quadrado
• t
• F

Distribuição Normal X ~ N(μ , σ

• Função Densidade: Forma de sino, centrada em μ e escala controlada por σ^2

0.0 − 4 − 2 0 2 4

Probability Density Function

x

f(x)

μ = 0 σ = 1 μ = 0 σ = 0. μ = 2 σ = 1 μ = − 2 σ = 1 μ = 0 σ = 2

Distribuição Normal Padrão Z ~ N(0, 1)

• Se μ = 0 e σ^2 = 1, a distribuição é chamada de normal padrão, ou Z ~ N(0, 1), e a função densidade se reduz a:

(z) =

p 2 ⇡

ez

(^2) / 2 , 1 < z < 1

− 3 − 2 − 1 0 1 2 3

Densidade N(0, 1)

f(x)

− 3 − 2 − 1 0 1 2 3

Função de Distribuição Acumulada N(0,1)

F(x)

Distribuição Normal X ~ N(μ , σ

• Regra Empírica

Distribuição Normal X ~ N(μ , σ

2 )

• A f.d.a. de uma v.a. Z ~ N(0, 1) é dada pela integral:
• Mas essa função não tem fórmula fechada
• Não se preocupem… os valores dessa função estão tabelados!
• Então, para X ~ N(μ , σ^2 ) podemos escrever:

(t) = P (Z  t) =

Z (^) t

p 2 ⇡

e

⇣ x^2 2

⌘

dx

FX (a) = P (X  a) = P

B

B

X μ

| {z^ } Z

a μ

C

C

A

a μ

Distribuição Normal X ~ N(μ , σ

0.0 − 6 − 4 − 2 0 2 4 6

Cumulative Distribution Function

x

Φ

(x

)

μ = 0 σ = 1 μ = 0 σ = 0. μ = 2 σ = 1 μ = − 2 σ = 1 μ = 0 σ = 2

Distribuição Normal X ~ N(μ , σ

)

• A distribuição normal é simétrica, portanto:
• A probabilidade de um intervalo:

P (Z < z) = P (Z > z)

P (a < Z < b) = P (Z < b) P (Z < a) = (b) (a)

Distribuição Normal

Percentil da distribuição normal padrão

• A quantidade z α é chamada de 100(1 – α) percentil da distribuição N(0, 1) tal que

P(Z > z α) = α

• Exemplo: O percentil 0.975 é o valor de z 0,025 tal que :

P(Z > z 0,025) = 0.

Portanto, z 0,025 = 1.

Distribuição Normal

Exemplo

• Suponha que o QI da população mundial segue uma distribuição normal com média 100 e desvio padrão de 15
• Encontre um intervalo que englobe os QI’s de 68.3% da população?
• E se quisermos 95 %?
• E 99.7%?

Aproximação Normal para uma Binomial

• Seja X ~ Bin( n , p )
• O que acontece quando n aumenta?

0 2 4 6 8 10

Bin(10,0.7)

0 4 8 12 17 22 27

Bin(30,0.7)

0 13 28 43 58 73 88

Bin(100,0.7)

Aproximação Normal para uma Binomial

• Seja X ~ Bin( n , p )
• Se n é suficientemente grande, a distribuição de X pode ser aproximada pela distribuição normal, isto é,
• Exemplo

Se X ~ Bin(100, 0.7),

podemos usar a

aproximação

X ~ N(70, 21)

X ⇠ N (np, np(1 p))

55 59 63 67 71 75 79 83

Bin(100, 0.7) e N(70, 21)