Baixe ITA Matemática 2003 e outras Notas de estudo em PDF para Matemática, somente na Docsity!
NOTAÇÕES
C : conjunto dos números complexos. ]a; b[ = fx 2 R ; a < x < bg: R : conjunto dos números reais.? : conjunto vazio. Z : conjunto dos números inteiros. A n B = fx 2 A ; x = 2 Bg: N = f 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; : : :g: XC^ = U n X , para X ½ U; U 6 = ?: N¤^ = f 1 ; 2 ; 3 ; : : :g: I : matriz identidade n £ n: z : conjugado do número z 2 C: A¡^1 : inversa da matriz inversível A: i : unidade imaginária; i 2 = ¡ 1 : A T : transposta da matriz A: arg z : um argumento de z 2 C n f 0 g: AB : segmento de reta unindo os pontos A e B: [a; b] = fx 2 R ; a · x · bg: m(AB) : medida (comprimento) de AB:
Questão 01. Seja z 2 C. Das seguintes a…rmações independentes :
I. Se! =
2 i z 2 +5z¡i 1+3 z 2 +2 i z+3jzj^2 +2jzj
, então! =
¡ 2 i z 2 +5z+i 1+3z^2 ¡ 2 i z+3jzj^2 +2jzj
II. Se z 6 = 0 e! =
2 i z+3 i+ (1+2 i)z
, então j!j ·
2 jzj+
p 2 p 5 jzj
III. Se! =
(1+i)z^2
4
p 3+4 i
, então 2 arg z +
é um argumento de !.
é (são) verdadeira(s):
A ( ) todas.
B ( ) apenas I e II.
C ( ) apenas II e III.
D ( ) apenas I e III.
E ( ) apenas II.
Questão 02. O valor de y^2 ¡ xz para o qual os números sen
¼ 12 ; x ; y; z e sen 75 ±^ , nesta
ordem, formam uma progressão aritmética, é :
A ( ) 3 ¡^4 B ( ) 2 ¡^6 C ( ) 6 ¡^2 D ( ) 2 ¡^5 E ( )
p 3 4
Questão 03. Considere a função
f : Z n f 0 g ¡! R ; f (x) =
p 3 x^ ¡^2
2 x + 1
´ 1 =(2x) ¡
2 x + 5
´ 1 =x
A soma de todos os valores de x para os quais a equação y^2 + 2y + f (x) = 0 tem raiz dupla é :
A ( ) 0 B ( ) 1 C ( ) 2 D ( ) 4 E ( ) 6
Questão 04. Considere uma função f : R ¡! R não-constante e tal que
f(x + y) = f (x)f (y) ; 8 x; y 2 R:
Das a…rmações :
I. f (x) > 0 ; 8 x 2 R.
II. f (nx) = [f (x)]
n , 8 x 2 R ; 8 n 2 N ¤ :
III. f é par.
é (são) verdadeira(s) :
A ( ) apenas I e II.
B ( ) apenas II e III.
C ( ) apenas I e III.
D ( ) todas.
E ( ) nenhuma.
Questão 05. Considere o polinômio P (x) = 2x+a 2 x^2 +¢ ¢ ¢+anxn, cujos coe…cientes 2 ; a 2 ; : : : ; an
formam, nesta ordem, uma progressão geométrica de razão q > 0. Sabendo que ¡^1 2 é uma raiz
de P e que P (2) = 5 460; tem-se que o valor de
n^2 ¡q^3 q^4 é igual a :
A ( )
B ( )
C ( )
D ( )
E ( )
Questão 06. Dividindo-se o polinômio P (x) = x 5
- ax 4
- bx 2
- cx + 1 por (x ¡ 1), obtém-se
resto igual a 2. Dividindo-se P (x) por (x + 1), obtém-se resto igual a 3. Sabendo que P (x) é
divisível por (x ¡ 2), tem-se que o valor de
a b c é igual a :
A ( ) ¡ 6 B ( ) ¡ 4 C ( ) 4 D ( ) 7 E ( ) 9
Questão 07. Das a…rmações abaixo sobre a equação z^4 + z^3 + z^2 + z + 1 = 0 e suas soluções
no plano complexo :
I. A equação possui pelo menos um par de raízes reais.
II. A equação possui duas raízes de módulo 1 , uma raiz de módulo menor que 1 e uma raiz
de módulo maior que 1.
III. Se n 2 N¤^ e r é uma raiz qualquer desta equação, então
X^ n
k=
r
3
k <
é (são) verdadeira(s) :
A ( ) nenhuma.
B ( ) apenas I.
C ( ) apenas II.
D ( ) apenas III.
E ( ) apenas I e III.
Questão 13. Para todo x 2 R, a expressão [cos(2x)]
2 [sen (2x)]
2 sen x é igual a :
A ( ) 2 ¡^4 [sen (2x) + sen (5x) + sen (7x)] :
B ( ) 2 ¡^4 [2 sen x + sen (7x) ¡ sen (9x)] :
C ( ) 2 ¡ 4 [¡sen (2x) ¡ sen (3x) + sen (7x)] :
D ( ) 2 ¡^4 [¡sen x + 2 sen (5x) ¡ sen (9x)] :
E ( ) 2 ¡ 4 [sen x + 2 sen (3x) + sen (5x)] :
Questão 14.£ Considere os contradomínios das funções arco-seno e arco-cosseno como sendo
¼
2 ;^
¼ 2
e [0; ¼], respectivamente. Com respeito à função
f : [¡ 1 ; 1] ¡!
; f (x) = arcsen x + arccos x ;
temos que :
A ( ) f é não-crescente e ímpar.
B ( ) f não é par nem ímpar.
C ( ) f é sobrejetora.
D ( ) f é injetora.
E ( ) f é constante.
Questão 15. Considere a família de circunferências com centros no segundo quadrante e
tangentes ao eixo Oy. Cada uma destas circunferências corta o eixo Ox em dois pontos,
distantes entre si de 4 cm. Então, o lugar geométrico dos centros destas circunferências é parte :
A ( ) de uma elipse.
B ( ) de uma parábola.
C ( ) de uma hipérbole.
D ( ) de duas retas concorrentes.
E ( ) da reta y = ¡x:
Questão 16. A área do polígono, situado no primeiro quadrante, que é delimitado pelos eixos
coordenados e pelo conjunto
f (x; y) 2 R 2 : 3x 2
- 2y 2
- 5xy ¡ 9 x ¡ 8 y + 6 = 0 g ;
é igual a :
A ( )
p 6 B ( )
C ( ) 2
p 2 D ( ) 3 E ( )
Questão 17. Sejam r e s duas retas paralelas distando entre si 5 cm. Seja P um ponto na
região interior a estas retas, distando 4 cm de r. A área do triângulo equilátero P QR, cujos
vértices Q e R estão, respectivamente, sobre as retas r e s, é igual, em cm^2 , a :
A ( ) 3
p 15 B ( ) 7
p 3 C ( ) 5
p 6 D ( )
p 3 E ( )
p 15
Questão 18. Considere três polígonos regulares tais que os números que expressam a quanti-
dade de lados de cada um constituam uma progressão aritmética. Sabe-se que o produto destes
três números é igual a 585 e que a soma de todos os ângulos internos dos três polígonos é igual
a 3 780 ±
. O número total das diagonais nestes três polígonos é igual a :
A ( ) 63 B ( ) 69 C ( ) 90 D ( ) 97 E ( ) 106
Questão 19. Considere o triângulo isósceles OAB; com lados OA e OB de comprimento
p 2 R
e lado AB de comprimento 2 R. O volume do sólido, obtido pela rotação deste triângulo em
torno da reta que passa por O e é paralela ao lado AB, é igual a :
A ( )
R
3 B ( ) ¼R 3 C ( )
R
3 D ( )
p 2 ¼R 3 E ( )
p 3 ¼R 3
Questão 20. Considere uma pirâmide regular de altura igual a 5 cm e cuja base é formada
por um quadrado de área igual a 8 cm 2
. A distância de cada face desta pirâmide ao centro de
sua base, em cm, é igual a :
A ( )
p 15 3
B ( )
p 6 9
C ( )
p 3 5
D ( )
E ( )
p 3
AS QUESTÕES DE 21 A 30 DEVERÃO SER RESOLVIDAS
NO CADERNO DE RESPOSTAS ANEXO.
Questão 21. Sejam U um conjunto não-vazio e A ½ U , B ½ U. Usando apenas as de…nições
de igualdade, reunião, intersecção e complementar, prove que :
I. Se A \ B = ?, então B ½ AC^.
II. B n AC^ = B \ A.
Questão 22. Determine o conjunto dos números complexos z para os quais o número
z + z + 2 p jz ¡ 1 j + jz + 1j ¡ 3
pertence ao conjunto dos números reais. Interprete (ou identi…que) este conjunto geometrica-
mente e faça um esboço do mesmo.
