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Sumário
1 Grandezas Proporcionais 1 1.1 Números Proporcionais............................... 2 1.2 Série de Razões Iguais............................... 3 1.2.1 Propriedade Fundamental......................... 3 1.3 Divisão em Partes Proporcionais.......................... 4 1.3.1 Fórmulas.................................. 4 1.4 Divisão em Partes Proporcionais Composta.................... 5
2 Regra de Sociedade 6 2.1 Regra de Sociedade Simples............................ 6 2.2 Regra de Sociedade Composta........................... 7
3 Regra de Três 8 3.1 Regra de Três Simples............................... 8 3.2 Regra de Três Composta.............................. 9
4 Percentagem 10 4.1 Exercícios resolvidos................................ 11
5 Juros Simples 12 5.1 Fórmulas....................................... 12 5.2 Exercícios resolvidos................................ 13 5.3 Montante...................................... 13
6 Juros compostos 14 6.1 Cálculo do Montante................................ 14 6.2 Exercícios Resolvidos................................ 15
1 Grandezas Proporcionais
Duas grandezas são diretamente proporcionais, ou simplesmente proporcionais, quando, aumentando o valor de uma delas um certo número de vezes, o valor da outra também aumenta ou diminui esse mesmo número de vezes. Suponha que:
5 m de um tecido custe R$ 40, 00 15 m custarão R$ 120, 00 45 m custarão R$ 360, 00
Neste exemplo o custo é proporcional ao número de metros. Poderiamos formar a proporção^1 :
15 45 =
360 ⇐⇒^15 ×^ 360 = 45^ ×^120
(^1) A igualdade entre razões denomina-se proporção.
1 Grandezas Proporcionais 1.1 Números Proporcionais
Duas quantidades são inversamente proporcionais quando, aumentando ou dimi- nuindo o valor de uma delas um certo número de vezes, o valor da outra diminui ou aumenta esse mesmo número de vezes. Observe,
6 operários fazem um serviço em 18 dias 3 operários o farão em 36 dias 12 operários farão em 9 dias
Neste exemplo o número de dias é inversamente proporcional ao número de operários. Poderiamos formar a proporção:
3 6
=^18
⇐⇒ 3 × 36 = 6 × 18
1.1 Números Proporcionais
Dois números a e b ∈ R são proporcionais quando a = b.k ou b = a.k. Observe uma série de números e, em seguida, outra série, cujos termos sejam propor- cionais aos da primeira:
1 o^ série 3 5 7 8 2 o^ série 9 15 21 24
Vemos que 9 é o triplo de 3 ; 15 é o triplo de 5 ; 21 é o triplo de 7 ; 24 é o triplo de 8.
Esses números são proporcionais pois 39 = 15 5 = 21 7 = 24 8 =^13
O coeficiente de proporcionalidade entre eles é 1 3
Exercícios de Fixação
a) Na série de números proporcionais 15 7 14 12 90 42 84 72
determinar o coeficiente de proporcionalidade.
b) Na série de números proporcionais 36 45 54 4 5 6
calcular o coeficiente de proporcio- nalidade.
c) Calcular três números proporcionais a 27 , 12 e 17 , sendo 6 o coeficiente de proporcio- nalidade. Dados os números proporcionais
42 x 49 calcular x.
1 Grandezas Proporcionais 1.3 Divisão em Partes Proporcionais
1.3 Divisão em Partes Proporcionais
Dividir um número em partes proporcionais a outros números dados, é procurar par- celas desse número que sejam proporcionais aos números dados, e que, somadas, reproduzam o número.
Vamos dividir 720 em partes proporcionais aos números 2 , 3 e 4. Vamos supor que as partes de 720 sejam a, b e c.
Teremos: a + b + c 2 + 3 + 4 =^
a 2 =^
b 3 =^
c 4 a + b + c 2 + 3 + 4 =^
a 2 ⇐⇒^
9 =^
a 2 ∴^ a^ =
720 × 2
a + b + c 2 + 3 + 4 =^
b 3 ⇐⇒^
9 =^
b 3 ∴^ b^ =
720 × 3
a + b + c 2 + 3 + 4 =^
c 4 ⇐⇒^
9 =^
c 4 ∴^ c^ =
720 × 4
Resposta:
As partes são 160 , 240 e 320.
1.3.1 Fórmulas
Temos:
Dividir N em partes proporcionais aos números a, b e c.
Como foi observado anteriormente o coeficiente de proporcionalidade pode ser obtido através da fórmula:
k = (^) a +N b + c
Chamando x, y, z, as três partes, vemos que cada uma delas se obtém multiplicando o número correspondente pelo coeficiente de proporcionalidade.
Logo:
x = (^) a +N b + c × a; y = (^) a +N b + c × b; z = (^) a +N b + c × c
1 Grandezas Proporcionais 1.4 Divisão em Partes Proporcionais Composta
Exercícios de Fixação
a) Dividir 540 em partes proporcionais aos números 1 , 2 , 3.
b) Dividir 840 em partes proporcionais aos números 23 , 12 , 56.
c) Dividir R$ 12, 00 em partes proporcionais aos números 35 , 32 e 0 , 9.
d) Um senhor lega uma fortuna de R$ 3. 000 , 00 , a ser repartida entre 3 filhos, propor- cionalmente às suas idades, que são: 3 anos, 4 anos e 5 anos. Quanto receberá cada um?
e) Na liquidação de uma falência apura-se um ativo de R$ 240, 00 e um passivo consti- tuído pelas seguintes dívidas: a A, R$ 160, 00 , B, R$ 240, 00 e C, R$ 200, 00. quanto receberá cada um dos credores?
1.4 Divisão em Partes Proporcionais Composta
Para se dividir um número em partes proporcionais, ao mesmo tempo a duas séries de números, multiplica-se os números da primeira série com os números correspondentes da segunda série.
Exemplo:
Dividir 6. 600 em partes proporcionais aos números 34 , 12 e inversamente proporcionais
aos números 56 , 23.
Solução:
i) 34 ×
=^1820
ii) 12 ×
=^34 ⇐⇒ 34 =^1520
Aplicando as fórmulas:
x = (^) a N+ b × a = 186.^600 /20 + 15^ ×^18 //^2020 =^11833.^800 = 3. 600
y = (^) a N+ b × b = 186.^600 /20 + 15^ ×^15 //^2020 =^9933.^000 = 3. 000
Resposta: 3.600 e 3.000.
2 Regra de Sociedade 2.2 Regra de Sociedade Composta
Exemplo:
A, B, C, associaram-se, entrando cada qual com o capital de R$ 15. 000 , 00 e tiveram um prejuízo de R$ 750, 00. A ficou na sociedade 8 meses; B, 7 meses e C, 10 meses. Qual foi o prejuízo de cada um?
Solução:
x = N a + b + c × a = 750 ×^8 8 + 7 + 10
=^6.^000
y = (^) a +N b + c × b = (^) 8 + 7 + 10^750 ×^7 =^525025 = 210
z = (^) a +N b + c× = (^) 8 + 7 + 10^750 ×^10 =^7. 25500 = 300
Resposta: R$ 240, 00 , R$ 210, 00 e R$ 300, 00.
2.2 Regra de Sociedade Composta
Quando os capitais e os tempos forem diferentes, os lucros ou os prejuizos serão proporcionais aos capitais multiplicados pelos tempos respectivos.
Exemplo:
Três sócios lucram juntamente R$ 21. 500 , 00. O primeiro entrou com R$ 7. 000 , 00 durante 1 ano; o segundo com R$ 8. 500 durante 8 meses e o terceiro com R$ 9. 000 , 00 durante 7 meses. Qual foi o lucro de cada um?
Vamos dividir R$ 21. 500 , 00 em partes proporcionais aos produtos dos capitais pelos tempos respectivos:
000 × 12 = 84. 000
500 × 8 = 68. 000
000 × 7 = 63. 000
Dividimos todos os valores por 1. 000 para efeito de simplificação.
- 500 84 + 68 + 63
=^21.^500
3 Regra de Três
Logo: x = 100 × 84 = 8. 400
y = 100 × 68 = 6. 800
z = 100 × 63 = 6. 300
Resposta: R$ 8. 400 , 00 , R$ 6. 800 , 00 e R$ 6. 300 , 00.
Exercícios de Fixação
a) Dois sócios lucraram R$ 276, 00. O primeiro entrou para a sociedade com R$ 180, 00 e o segundo com R$ 210, 00. Qual será o lucro de cada sócio?
b) Três moços formaram uma sociedade com o capital de R$ 200, 00 e lucraram R$ 80 , 00. Calcular a entrada de cada sócio, sabendo que ao primeiro coube R$ 24, 00 ; ao segundo R$ 36, 00 , e o terceiro, R$ 20, 00.
c) Três sócios lucraram R$ 3. 500 , 00. Calcular o lucro de cada sócio sabendo que o lucro do primeiro está para o do segundo assim como 23 ; e que o lucro do segundo está para o do receiro assim como 45.
3 Regra de Três
Constituem regra de três os problemas que envolvem pares de grandezas diretamente (regra de três direta) ou inversamente (regra de três inversa) proporcionais.
3.1 Regra de Três Simples
Quando envolve somente dois pares de grandezas direta ou inversamente proporcio- nais.
Exemplo 1:
Comprei 36 Kg de café por R$ 10,72. Quantos Kg compraria com R$ 13,50?
36 kg custam 10, x custarão 13,
36 x =
13 , 50 ⇐⇒^ x^ =
36 × 13 , 50
4 Percentagem
Exercícios de Fixação
a) 5 moços ganharam R$ 680,00. Quanto ganhariam 28 moços? b) 20 operários fazem um trabalho em 18 dias. Quantos operários seriam necessários para fazer o mesmo trabalho em 12 dias? c) Um trem percorre certa distância em 8 horas, com a velocidade de 60 Km por hora. Quanto tempo levaria para fazer o mesmo percurso com a velocidade de 50 Km por hora? d) Trabalhando 6 h por dia um operário pode fazer um trabalho em 24 dias. Em quantos dias, nas mesmas condições, poderia fazê-lo, trabalhando 8 h por dia? e) Uma família composta de 6 pessoas consome, em 2 dias, 3 Kg de pão. Quantos quilogramas de pão serão consumidos em 5 dias, estando 2 pessoas ausentes? f) 15 homens, trabalhando 8 h por dia, cavaram um poço de 400 m^3 em 10 dias. Quantos homens devem ser acrescentados para que em 15 dias, trabalhando 6 h por dia, cavem os 600 m^3 restantes? g) Um operário levou 10 dias de 8 horas para fazer 1.000 m de um tecido. Quantos dias de 6 horas levaria para fazer 2.000 m de outro tecido que apresenta uma dificuldade igual a 3 / 4 da primeira. h) Se 4 / 5 de uma obra foram avaliados em R$ 268.400,00. Qual é o valor de 5 / 11 da mesma obra?
4 Percentagem
Chama-se percentagem à porção de um valor, que se determina sabendo o quanto corresponde a cada 100. Quando dizemos quinze por cento de um valor, queremos dizer que em cada 100 partes desse valor tomamos 15 partes.
A expressão quinze por cento, que se representa por 15 %, chama-se taxa de percentagem. Uma fração, pois, expressa com o denominador 100 seria uma percentagem; e o seu numerador é a taxa de percentagem.
Assim, na razão 1008 a taxa de percentagem é 8. Escreve-se 8 %, e lê-se oito por cento.
Exemplo:
Calcular 8 % de R$ 1.200,00. Formamos, de acordo com a definição, a seguinte regra de três simples:
4 Percentagem 4.1 Exercícios resolvidos
1.200 x
x ⇐⇒^ x^ =
1200 × 8
Resposta: R$ 96,00.
A percentagem tem aplicação no cálculo de percentagem, comissões, prêmios de se- guros, etc.
4.1 Exercícios resolvidos
Exercício 1. Um negociante efetua a compra de R$ 4.800,00 de mercadorias. Paga por intermédio de um banco que lhe cobra 1,75 % de comissão. Quanto terá que desembolsar se tem ainda 0,25 % de corretagem?
Temos:
i)
100 1, 4.800 x
x ⇐⇒^ x^ =
4800 × 1 , 75
ii)
100 0 , 25 4.800 x
x ⇐⇒^ x^ =
4800 × 0 , 25
Chegamos a seguinte conclusão:
Quantia a pagar 4. Comissão 84 corretagem 12 Total R$ 4.896,
Exercício 2. Um vendedor ganhou R$ 270,00. Sendo a sua comissão 9 %, pergunta-se por quanto importou a mercadoria vendida?
Sobre 100 ganha 9 Sobre x ganha 270 ⇐⇒ (^100) x = 2709 ⇐⇒ x =^100 × 9 270 = 3000
Resposta: R$ 3.000,
5 Juros Simples 5.2 Exercícios resolvidos
Ou j = C × i × t
Obs.: É importante observar que essa fórmula só pode ser aplicada se o prazo de aplicação t é expresso na mesma unidade de tempo a que se refere a taxa i consi- derada.
5.2 Exercícios resolvidos
Exercício 4. Tomou-se emprestada a importância de R$ 1.200,00, pelo prazo de 2 anos, à taxa de 30% ao ano. Qual será o valor do juro a ser pago?
C = 1. 200
t = 2 anos i = 30% a.a = 0,3 a.a
Como:
j = C × i × t
Temos:
j = 1200 × 0 , 3 × 2 = 720
Logo, o juro a ser pago é de R$ 720,00.
Exercício 5. Aplicou-se a importância de R$ 3.000,00, pelo prazo de 3 meses, à taxa de 1,2% ao mês. Qual o valor do juro a receber?
C = 3. 000
t = 3 meses i = 1,2% a.m = 0,012 a.m
Como:
j = 3000 × 0 , 012 × 3 = 108
O juro a receber é de R$ 108,00.
5.3 Montante
O montante ou valor nominal é igual à soma do capital inicial (ou valor atual) com juro relativo ao período de aplicação, isto é:
6 Juros compostos
montante = capital inicial + juro
ou
valor nominal = valor atual + juro
Assim, designando o montante por M , temos:
M = C + j
Lembrando que:
j = C × i × t
A fórmula pode ser escrita assim:
M = C + C × i × t
Ou, colocando C em evidência:
M = C.(1 + i.t)
Exercícios de Fixação
a) Calcule o juro a ser pago por um empréstimo de R$ 9.200, à taxa de 5% ao trimestre, durante 3 trimestres.
b) Um capital de R$ 56.800,00 foi empregado, à taxa de 0,75% ao mês, durante 2, meses. Calcule o juro produzido.
6 Juros compostos
Juro composto é aquele que em cada período, a partir do segundo, é calculado sobre o montante relativo ao período anterior.
Assim, no regime de juro composto, o juro produzido no fim de cada período é somado ao capital que o produziu, passando os dois, capital e juro, a render juro no período seguinte.
6.1 Cálculo do Montante
Exemplo: Um capital de R$ 100,00, aplicado a 2% ao mês, tem a seguinte evolução no regime de juros simples:
6 Juros compostos 6.2 Exercícios Resolvidos
Exercício 7. Calcule o montante do capital de R$ 75.000,00 colocando a juros compostos à taxa de 234 % ao mês, no fim de 6 meses.
C = R$ 75. 000 , 00
t = 6 meses i = 234 % a.m = (2 +^3 4 )% a.m = 2, 75% a.m = 0,0275 a.m (1 + i)t^ = (1, 0275)^6 ≈ 1 , 176
Mt = 75000 · (1 + 0, 0275)^6 = 75000 · 1 , 176 = 88. 200
Portanto, Mt = R$ 88. 200 , 00.
Exercício 8. Uma loja financia um bem de consumo durável, no valor de R$ 3.200,00, sem entrada, para pagamento em uma única prestação de R$ 4.049 no final de 6 meses. Qual a taxa mensal cobrada pela loja?
Mt = R$ 4. 049 , 00 C = R$ 3. 200 , 00 t = 6 meses
4049 = 3200 · (i + 1)^6 ⇒ (i + 1)^6 =^40493200 = 1, 2653125
(i + 1) = 6
1 , 2653125 ≈ 1 , 04 ⇒ i = 1, 04 − 1 = 0, 04
Portanto, i = 0, 04 a.m = 4% a.m.
Exercícios de Fixação
a) Qual o montante produzido por R$ 12.000,00, em regime de juros compostos, à taxa de 2% ao mês durante 40 meses?
b) Determine em que prazo um empréstimo de R$ 11.000,00 pode ser quitado em um único pagamento de R$ 22.125,00, sabendo que a taxa contratada é de 15% ao semestre em regime de juros compostos.
Editado por Pedro M.Araújo
