Tópicos de Matemática Financeira, Notas de estudo de Matemática

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Tópicos de Matemática Financeira

28 de junho de 2010

Conteúdo

A

Grandezas Proporcionais

Duas grandezas são diretamente proporcionais, ou simplesmente proporcionais, quando, aumentando o valor de uma delas um certo número de vezes, o valor da outra também aumenta ou diminui esse mesmo número de vezes.

Suponha que:

5 m de um tecido custe R$ 40, 00 15 m custarão R$ 120, 00 45 m custarão R$ 360, 00

Neste exemplo o custo é proporcional ao número de metros. Poderiamos formar a proporção:

15 45 =

360 ⇐⇒^15 ×^ 360 = 45^ ×^120

Duas quantidades são inversamente proporcionais quando, aumentando ou diminuindo o valor de uma delas um certo número de vezes, o valor da outra diminui ou aumenta esse mesmo número de vezes.

Suponha que:

6 operários fazem um serviço em 18 dias 3 operários o farão em 36 dias 12 operários farão em 9 dias

Neste exemplo o número de dias é inversamente proporcional ao número de operários. Poderiamos formar a proporção:

3 6 =

36 ⇐⇒^3 ×^ 36 = 6^ ×^18

A.1 Números proporcionais

Dois números a e b ∈ R são proporcionais quando a = b.k ou b = a.k

Observe uma série de números e, em seguida, outra série, cujos termos sejam proporcionais aos da primeira:

1 o^ série 3 5 7 8 2 o^ série 9 15 21 24

Vemos que 9 é o triplo de 3 ; 15 é o triplo de 5 ; 21 é o triplo de 7 ; 24 é o triplo de 8.

Esses números são proporcionais pois 39 = 15 5 = 21 7 = 24 8 =^13

O coeficiente de proporcionalidade entre eles é

A.1.1 Exercícios complementares:

Exercício A.1. Na série de números proporcionais 15 7 14 12 90 42 84 72

determinar o co-

eficiente de proporcionalidade.

Exercício A.2. Na série de números proporcionais 36 45 54 4 5 6 calcular o coeficiente

de proporcionalidade.

Exercício A.3. Calcular três números proporcionais a 27 , 12 e 17 , sendo 6 o coeficiente

de proporcionalidade. Dados os números proporcionais 6 9 7 42 x 49

calcular x.

A.2 Série de razões iguais

Considerando as razões: 6 3 ,^

5 ,^

6 ,^

Vemos que todas as razões são iguais a 2. Logo, podemos escrever: 6 3 =

Essa expressão é denominada série de razões iguais ou proporção múltipla.

Em simbolos:

4

Teremos: a + b + c 2 + 3 + 4 = a 2 = b 3 = c 4 a + b + c 2 + 3 + 4 = a 2

= a 2 ∴ a =^720 ×^2 9

a + b + c 2 + 3 + 4 =^

b 3 ⇐⇒^

9 =^

b 3 ∴^ b^ =

720 × 3

a + b + c 2 + 3 + 4 =^

c 4 ⇐⇒^

9 =^

c 4 ∴^ c^ =

720 × 4

Resposta:

As partes são 160 , 240 e 320.

A.3.1 Fórmulas

Temos:

Dividir N em partes proporcionais aos números a, b e c.

Como foi observado anteriormente o coeficiente de proporcionalidade pode ser obtido através da fórmula:

k = (^) a +N b + c

Chamando x, y, z, as três partes, vemos que cada uma delas se obtém multipli- cando o número correspondente pelo coeficiente de proporcionalidade.

Logo:

x = (^) a +N b + c × a; y = (^) a +N b + c × b; z = (^) a +N b + c × c

A.3.2 Exercícios complementares

Exercício A.4. Dividir 540 em partes proporcionais aos números 1 , 2 , 3.

Exercício A.5. Dividir 840 em partes proporcionais aos números

3 ,^

2 ,^

Exercício A.6. Dividir R$ 12, 00 em partes proporcionais aos números

5 ,^

2 e^0 ,^9. Exercício A.7. Um senhor lega uma fortuna de R$ 3. 000 , 00 , a ser repartida entre 3 filhos, proporcionalmente às suas idades, que são: 3 anos, 4 anos e 5 anos. Quanto receberá cada um?

6

Exercício A.8. Na liquidação de uma falência apura-se um ativo de R$ 240, 00 e um passivo constituído pelas seguintes dívidas: a A, R$ 160, 00 , B, R$ 240, 00 e C, R$ 200, 00. quanto receberá cada um dos credores?

A.4 Divisão em partes proporcionais composta

Para se dividir um número em partes proporcionais, ao mesmo tempo a duas séries de números, multiplica-se os números da primeira série com os números correspondentes da segunda série.

Exemplo:

Dividir 6. 600 em partes proporcionais aos números 34 , 12 e inversamente propor-

cionais aos números 56 , 23.

Solução:

i) 34 ×

=^1820

ii) 12 ×

=^34 ⇐⇒ 34 =^1520

Aplicando as fórmulas:

x =

N

a + b ×^ a^ =

6. 600 × 18 / 20

33 = 3.^600

y = (^) a N+ b × b = 186.^600 /20 + 15^ ×^15 //^2020 =^9933.^000 = 3. 000

Resposta: 3.600 e 3.000.

A.4.1 Exercícios complementares

Exercício A.9. Dividir 9.680 em partes proporcionais aos números 9 10

e aos números 3 4

Exercício A.10. Dividir 81.098 em partes proporcionais aos números 56 , 23 , 12 e inversa-

mente proporcionais aos números 15 , 27 , 34.

Exercício A.11. Dividir 1.540.704 em partes inversamente proporcionais aos números 1 2 ,^

3 ,^

4 e inversamente proporcionais aos números^

5 ,^

8 ,^

Exemplo:

A, B, C, associaram-se, entrando cada qual com o capital de R$ 15. 000 , 00 e tiveram um prejuízo de R$ 750, 00. A ficou na sociedade 8 meses; B, 7 meses e C, 10 meses. Qual foi o prejuízo de cada um?

Solução:

x = N a + b + c × a = 750 ×^8 8 + 7 + 10

=^6.^000

y = (^) a +N b + c × b = (^) 8 + 7 + 10^750 ×^7 =^525025 = 210

z = (^) a +N b + c× = (^) 8 + 7 + 10^750 ×^10 =^7. 25500 = 300

Resposta: R$ 240, 00 , R$ 210, 00 e R$ 300, 00.

B.2 Regra de sociedade composta

Quando os capitais e os tempos forem diferentes, os lucros ou os prejuizos serão proporcionais aos capitais multiplicados pelos tempos respectivos.

Exemplo:

Três sócios lucram juntamente R$ 21. 500 , 00. O primeiro entrou com R$ 7. 000 , 00 durante 1 ano; o segundo com R$ 8. 500 durante 8 meses e o terceiro com R$ 9. 000 , 00 durante 7 meses. Qual foi o lucro de cada um?

Vamos dividir R$ 21. 500 , 00 em partes proporcionais aos produtos dos capitais pelos tempos respectivos:

7. 000 × 12 = 84. 000

8. 500 × 8 = 68. 000

9. 000 × 7 = 63. 000

Dividimos todos os valores por 1. 000 para efeito de simplificação.

21. 500 84 + 68 + 63 =

Logo:

9

x = 100 × 84 = 8. 400

y = 100 × 68 = 6. 800

z = 100 × 63 = 6. 300

Resposta: R$ 8. 400 , 00 , R$ 6. 800 , 00 e R$ 6. 300 , 00.

B.3 Exercícios complementares

Exercício B.1. Dois sócios lucraram R$ 276, 00. O primeiro entrou para a sociedade com R$ 180, 00 e o segundo com R$ 210, 00. Qual será o lucro de cada sócio?

Exercício B.2. Três moços formaram uma sociedade com o capital de R$ 200, 00 e lucraram R$ 80, 00. Calcular a entrada de cada sócio, sabendo que ao primeiro coube R$ 24 , 00 ; ao segundo R$ 36, 00 , e o terceiro, R$ 20, 00.

Exercício B.3. Três sócios lucraram R$ 3. 500 , 00. Calcular o lucro de cada sócio sabendo que o lucro do primeiro está para o do segundo assim como 23 ; e que o lucro do segundo

está para o do receiro assim como 45.

x ⇐⇒^

75 × 8

Observe que é inversa, pois menos velocidade exige mais tempo.

Resposta: 10 horas.

C.2 Regra de três composta

Quando existem mais de dois pares de grandezas direta ou inversamente propor- cionais.

Exemplo:

20 operários, em 10 dias de 8 horas, tecem 16.000 m de certo tecido. Quantos dias de 10 horas seriam necessários para 16 operários, cuja atividade é o dobro da dos primeiros, tecerem 32.000 m de outro tecido, cuja dificuldade são os 4 / 5 da primeira?

Temos:

20 operários 10 d 8 h 16.000 m 1 at. 1 dif. 16 operários x d 10 h 32.000 m 2 at. 4 / 5 dif.

Relacionando cada par de grandezas com 10 /x, teremos cinco problemas de regra de três simples que se encadeiam assim:

10 x =^

16 × 10 × 16. 000 × 2 × 1

20 × 8 × 32. 000 × 1 × 4 / 5 ⇐⇒^

x =

4 ⇐⇒^ x^ = 8 Resposta: 8 dias.

C.3 Exercícios complementares

Exercício C.1. 5 moços ganharam R$ 680,00. Quanto ganhariam 28 moços?

Exercício C.2. 20 operários fazem um trabalho em 18 dias. Quantos operários seriam necessários para fazer o mesmo trabalho em 12 dias?

Exercício C.3. Um trem percorre certa distância em 8 horas, com a velocidade de 60 Km por hora. Quanto tempo levaria para fazer o mesmo percurso com a velocidade de 50 Km por hora?

Exercício C.4. Trabalhando 6 h por dia um operário pode fazer um trabalho em 24 dias. Em quantos dias, nas mesmas condições, poderia fazê-lo, trabalhando 8 h por dia?

Exercício C.5. Uma família composta de 6 pessoas consome, em 2 dias, 3 Kg de pão. Quantos quilogramas de pão serão consumidos em 5 dias, estando 2 pessoas ausentes?

Exercício C.6. 15 homens, trabalhando 8 h por dia, cavaram um poço de 400 m^3 em 10 dias. Quantos homens devem ser acrescentados para que em 15 dias, trabalhando 6 h por dia, cavem os 600 m^3 restantes?

Exercício C.7. Um operário levou 10 dias de 8 horas para fazer 1.000 m de um tecido. Quantos dias de 6 horas levaria para fazer 2.000 m de outro tecido que apresenta uma dificuldade igual a 3 / 4 da primeira.

Exercício C.8. Se 4 / 5 de uma obra foram avaliados em R$ 268.400,00. Qual é o valor de 5 / 11 da mesma obra?

Temos:

i)

100 1, 4.800 x ⇐⇒ 4800 100 =^1 , x^75 ⇐⇒ x =^4800100 ×^1 ,^75 = 84

ii)

100 0 , 25 4.800 x ⇐⇒ 4800 100 =^0 , x^25 ⇐⇒ x =^4800100 ×^0 ,^25 = 12

Chegamos a seguinte conclusão:

Quantia a pagar 4. Comissão 84 corretagem 12 Total R$ 4.896,

Exercício D.2. Um vendedor ganhou R$ 270,00. Sendo a sua comissão 9 %, pergunta-se por quanto importou a mercadoria vendida?

Sobre 100 ganha 9 Sobre x ganha 270 ⇐⇒ (^100) x = 2709 ⇐⇒ x =^100 × 9 270 = 3000

Resposta: R$ 3.000,

Exercício D.3. Comprei um cavalo por R$ 54,00 e o vendi por R$ 63,00. Que percen- tagem do preço de custo representa o lucro?

Lucro:R$ 63,00 - R$ 54,00 = R$ 9,00.

Sobre 54 lucrou 9 Sobre 100 lucraria x ⇐⇒ 100 54 =^9 x ⇐⇒ x =^10054 × 9 = 16^23 %

Resposta: 1623 %

E

Juro Simples

Juro é o valor que se paga por um capital emprestado.

Assim, se uma pessoa empresta a outra a importância de R$ 10,00 e no fim de um ano recebe, além da quantia emprestada, R$ 1,20, como juro desse empréstimo, dizemos que esse R$ 1,20 representa o juro do capital emprestado.

Observamos que R$ 1,20 corresponde a 12 % de seu valor em um ano.

Deste modo, o juro produzido na unidade de tempo representa uma certa percenatgem do capital, cuja taxa se chama taxa de juro.

No problema proposto, temos o capital R$ 10,00, que foi a quantia emprestada; R$ 1,20 o rendimento do capital emprestado, são os juros; a taxa, representada pelos 12%; o tempo durante o qual o capital rendeu juros é 1 ano.

E.1 Fórmulas

Temos:

C = capital inicial ou principal;

j = juro simples;

t = tempo de aplicação;

i = taxa de juros unitária^1.

Podemos escrever: (^1) a.a é a abreviatura de ao ano, assim como a.m é a de ao mês etc.

E.3 Montante

O montante ou valor nominal é igual à soma do capital inicial (ou valor atual) com juro relativo ao período de aplicação, isto é:

montante = capital inicial + juro

ou

valor nominal = valor atual + juro

Assim, designando o montante por M , temos:

M = C + j

Lembrando que:

j = C × i × t

A fórmula pode ser escrita assim:

M = C + C × i × t

ou, colocando C em evidência:

M = C.(1 + i.t)

E.4 Exercícios complementares

Exercício E.3. Calcule o juro a ser pago por um empréstimo de R$ 9.200, à taxa de 5% ao trimestre, durante 3 trimestres.

Exercício E.4. Um capital de R$ 56.800,00 foi empregado, à taxa de 0,75% ao mês, durante 2,5 meses. Calcule o juro produzido.

F

Juro composto

Juro composto é aquele que em cada período, a partir do segundo, é calculado sobre o montante relativo ao período anterior.

Assim, no regime de juro composto, o juro produzido no fim de cada período é somado ao capital que o produziu, passando os dois, capital e juro, a render juro no período seguinte.

F.1 Cálculo do montante

Exemplo:

Um capital de R$ 100,00, aplicado a 2% ao mês, tem a seguinte evolução no regime de juros simples:

Ano Juros Montante 0 — 100, 1 100 , 00 × 0 , 02 × 1 = 2, 00 102, 2 100 , 00 × 0 , 02 × 1 = 2, 00 104, 3 100 , 00 × 0 , 02 × 1 = 2, 00 106,

Tomando o exemplo anterior, de acordo com a definição de juros compostos, temos:

Ano Juros Montante 0 — 100, 1 100 , 00 × 0 , 02 × 1 = 2, 00 102, 2 102 , 00 × 0 , 02 × 1 = 2, 04 104, 3 104 , 04 × 0 , 02 × 1 = 2, 08 106,