Juros Simples, Exercícios de Matemática

Baixe Juros Simples e outras Exercícios em PDF para Matemática, somente na Docsity!

Matemática Financeira

Juros Simples

Diego Oliveira

www.number.890m.com

ND

Esse é o terceiro mini book sobre matemática financeira. Cada mini

book possui um tema que é tratado de forma simples, rápida e completa.

Aqui você encontrará exemplos resolvidos e um conteúdo bastante sucinto

perfeito para interessados em aprender sobre Matemática Financeira, mas

que não deseja passar por aprofundamentos (tais como demonstrações)

desnecessárias.

INTRODUÇÃO

⇒ i =

= 0. 04 ou 4% a.m.

Exemplo 3: Um vendedor ambulante oferece no port˜ao, para uma dona de casa, um produto pelo pre¸co de 180,00 a vista. Esclarece que, se a compradora quiser pagar 5% a mais sobre o pre¸co do produto poder´a pagar em duas vezes (1+1). Determine a taxa que o vendedor est´a cobrando.

Solu¸c˜ao

A vista a Dona de casa pagar´a R$ 180,00 a prazo 189,00 (180,00 + 5%), logo os juros ser˜ao de 9 reais.

Como o plano de pagamento ´e de (1+1) ou seja ela d´a a entrada ent˜ao os juros ir˜ao correr apenas sobre a 1◦^ parcela.

J = Cin

9 =

· i· (1 mˆes)

⇒ i ≈ 10 , 53% a.m.

Cuidado!!! Lembre-se que no c´alculo de juros a taxa e o tempo devem se referir a mesma unidade de tempo (% ao mˆes e meses, % ao dia e dias, % ao ano e anos, e assim por diante). Caso a taxa e o tempo n˜ao se refiram a mesma unidade ´e necess´ario converter um ou outro. O pr´oximo exemplo apresenta esse problema.

Exemplo 4: Qual o rendimento que produz um capital de R$ 610,00 na taxa de 5,5% a.a. no per´ıodo de 191 dias?

Solu¸c˜ao

Dados:

C = 610, 00;

i = 5, 5% ao ano; n = 191 J =?

Como a taxa de juros foi dada ao ano e o prazo est´a contado em dias n˜ao podemos simplesmente substituir os valores fornecidos como no exemplo anterior. Nesse caso devemos passar o prazo dado (191 dias) para o ano. Isso ´e feito por meio de regra de trˆes.

Dia Ano 360 1 191 x

191 x ⇒ x =

Agora podemos aplicar a fun¸c˜ao do juro.

J = Cin

⇒ J = 610, 00 · 5 .5% · 0 , 5305

⇒ J = 610, 00 ·

⇒ J ≈ 17 , 80.

Ou seja, o juros ´e de aproximadamente R$ 17,80.

Neste exemplo foi considerado o ano com 360 dias que ´e chamado de ano comercial. No ano comercial os meses s˜ao considerados como tendo apenas 30 dias (mˆes comercial). No c´alculo dos juros exatos considera o ano ´util com 365 dias ou 366 (se for bissexto), e os meses com o n´umero real de dias. Sempre que um problema n˜ao fizer referˆencia a qual ano deve ser considerado (real ou comercial), o mˆes comercial deve ser usado.

CONVERS˜AO DE TAXAS (TAXAS EQUIVALENTES)

Quando se trata de juros simples e apenas de juros simples, a convers˜ao da taxa pode ser realizada por meio de regra de trˆes simples, ent˜ao qual seria a taxa ao ano correspondente a 3,6% ao mˆes?

i 0 , 036

360 dias 30 dias

⇒ i = 0, 432 ou 43 , 2%a.a.

Por meio de Regra de Trˆes ficamos sabendo que a resposta ´e 43,2%. O que nos possibilita dizer que 3,6% a.m. e 43,2% a.a. s˜ao taxas equivalentes.

Taxas equivalentes quando aplicadas sobre um mesmo capital durante o mesmo tempo s˜ao capazes de gerar o mesmo juro. Sendo assim se aplicarmos a juros simples o capital de 100,00 reais ´a 3,6% a.m. e 43,2% a.a. (que s˜ao taxas equivalentes) por um ano por exemplo, teremos no fim desse per´ıodo o mesmo valor, veja:

J 1 = J 2

100 , 00 × 0 , 036 × 12 = 100, 00 × 0 , 0432 × 1

⇒ M = 800, 00 · 1 , 36

⇒ M = 1088, 00.

Como 12 meses ´e igual a 1 ano ent˜ao a taxa de 3% a.a. teremos:

M = C(1 + i)

⇒ M = 800, 00(1 + 0, 03 · 1)

⇒ M = 800, 00 · 1 , 03

⇒ M = 824, 00

TAXA BRUTA E L´IQUIDA

Quando se toma algum dinheiro emprestado a juros em um banco (ou outra institui¸c˜ao financeira) o mesmo sempre lhe informar´a duas taxas a Taxa Bruta (aquela que aparece na f´ormula do juro) e a Taxa L´ıquida. A Taxa L´ıquida inclui taxas de servi¸cos, impostos ou comiss˜oes que ser˜ao cobradas junto aos juros e na pr´atica ´e ela que lhe dir´a quanto vocˆe ir´a realmente pagar.

 Taxa Bruta ou Taxa Nominal: ´e a taxa de juros contratada numa opera¸c˜ao, ou seja, ´e a taxa anunciada pela institui¸c˜ao.

 Taxa L´ıquida ou Taxa Efetiva: ´e a taxa de juros bruto ajustada devido as despesas que surgem da opera¸c˜ao.

Exemplo 7: Marcelo deseja tomar emprestado do banco o valor de 100,00 reais `a taxa bruta de 10% a.m. para ser pago em 1 mˆes. Entretanto, Marcelo ter´a que pagar (al´em do empr´estimo e dos juros) uma taxa de servi¸co que ´e igual a 2% do valor total a ser devolvido. Pergunta-se, qual o valor da taxa l´ıquida do empr´estimo?

Solu¸c˜ao:

A taxa informada ´e a taxa bruta e gera durante um mˆes o juro de 10,00 reais.

J = Cin

⇒ J = 100, 00 ·

⇒ J = 10, 00

A taxa de servi¸co que Marcelo dever´a pagar ao banco ´e de 2% em cima do total que ser´a pago (100,00 + juros), ou seja, o mesmo ter´a que pagar o valor de R$ 2,20 (que ´e 2% de 110,00).

Se incluirmos agora o valor da taxa de servi¸co no juro a ser pago (10,00 + 2,20)

conseguimos determinar a taxa de juro l´ıquido requerida.

J = Cin

⇒ ∞∈, ∈′ = ∞′′, ′′i · 1

= i

⇒ i = 0, 122 ou 12,2% a.m.

A taxa l´ıquida sempre ´e maior que a taxa bruta. Por esse motivo algumas institui¸c˜oes financeiras ou lojas costumam divulgar apenas a taxa bruta em seus an´uncios deixando para informar a taxa l´ıquida apenas no ato da compra.

Exemplo 8: Foi aplicado 500,00 por 20 dias a taxa de 4.5% a.m. Sabendo que se paga um imposto de servi¸co de 20% do rendimento, calcule o valor de resgate e a taxa l´ıquida.

Solu¸c˜ao

O valor de resgate (VR), ´e o capital mais os juros menos o imposto.

VR = MR − Imposto

Levando-se em conta que 20 dias equivale a (2/3) de um mˆes ent˜ao o montante ser´a o seguinte:

M = 500

J´a o imposto ´e de 20% sobre o rendimento, ou seja, os juros que ´e o Montante subtra´ıdo do Capital investido. Sendo assim:

Imposto =

portanto,

VR = 515, 00 − 3 , 00 = 512, 00

Agora que sabemos qual o valor de resgate podemos usar a f´ormula de juros para determinar a taxa l´ıquida.

J = Cin

(512, 00 − 500 , 00) = 500, 00 · i · 20

12 , 00 = 10. 000 , 00 i

⇒ i = 0, 0012 a.d. ou 3 , 6% a.m.

Aulas particulares de

 C´alculo i e ii;  Matem´atica do Ensino m´edio e fundamental;  Matem´atica Financeira.

Somente para a cidade de Vit´oria da Conquista - BA

Contatos em: www.number890m.com Email: [email protected] WhatsApp : (77)

Diego Oliveira

www.number.890m.com