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FACULDADE UNIFACULDADE UNI--ANHANGUERAANHANGUERA
PROFESSOR: FERNANDO ARBEX
DISCIPLINA: CONTROLE AVANÇADO
DE SISTEMAS
TURMA : ENGENHARIA MECÂNICA, 7°PERÍODO
AULAS 03 a 08
TRANSFORMADA DE LAPLACE
INTRODUÇÃOINTRODUÇÃO
A transformada de Laplace é um método
operacional que pode ser usado de
maneira proveitosa para solucionar
equações diferenciais lineares.
Assim, podemos converter equações
diferenciais em equações algébricas em
termos de uma variável complexa s.
Portanto este método facilita na
resoluções de alguns sistemas mais
complexos tornando-os mais simples.
DEFINIÇÃODEFINIÇÃO
Vamos definir:
ƒ(t) = Uma função de tempo em que
ƒ(t)=0 para t<
s = uma variável complexa
L = um símbolo operacional que indica
que a grandeza que ele antecede vai
ser transformada por meio da
integral de Laplace
F(s)= Transformada de Laplace de ƒ(t)
e dt
st ∫
∞ − 0
DEFINIÇÃODEFINIÇÃO
Então, a transformada de Laplace de ƒ(t) é
dada por:
O processo inverso de determinação da
função tempo ƒ(t) a partir da
transformada de Laplace F(s) é chamado
de transformada inversa de Laplace e a
notação utilizada para designá-la é
∫
∞ −
0
L [ f ( t )] F ( s ) f ( t ) e dt
st
− 1
L
FUNÇÃO DEGRAUFUNÇÃO DEGRAU
Considere a função degrau:
Onde A é uma constante. Note que esse
é um caso especial da função exponencial,
onde α = 0. Sua transformada é:
s
A
L A Ae dt
st ∫
∞ −
0
[ ]
f(t)
t
A ( t )
() , 0
() 0 , 0
= >
= <
f t A t
f t t
t Ae
− α
FUNÇÃO RAMPAFUNÇÃO RAMPA
Considere a função rampa:
Onde A é uma constante. A transformada
de Laplace dessa função rampa é obtida
como:
f t At t
f(t) f t t
t
∫ ∫ ∫
∞ − ∞ − ∞ − ∞ − = = −
− −
= = 0 0 2 0
0
[ ] s
A e dt s
A dt s
Ae
s
e L At Ate dt At
st
st st st
FUNÇÃO SENOIDALFUNÇÃO SENOIDAL
Considere a função senoidal:
Onde A e são constantes, é obtida
como se segue:
( ) 2
1 ( )
j t jt e e j
sen t
ω ω ω
− = −
() , 0
() 0 , 0
= ≥
= <
f t Asen t t
f t t
ω
ω
e e e dt j
A L sen t
j t jt − st ∞ − ∫ = − 0
( ) 2
[ ( )]
ω ω ω
2 2
1
2
1
2 ω
ω
ω ω +
=
− −
= s
A
js j
A
js j
A
COMENTÁRIOSCOMENTÁRIOS
A transformada de Laplace de qualquer
função transformável f(t) , pode ser obtida
pela multiplicação de f(t) por e integrando
o produto de t = 0 a t = ∞.
Entretanto, uma vez conhecido o método
para obtenção da transformada de Laplace,
não é necessário que se deduza a
transformada de Laplace f(t) todas as vezes.
Assim faz-se o uso conveniente das tabelas
de transformadas de Laplace.
st
e
−
PARES DE TRANSF. DE LAPLACEPARES DE TRANSF. DE LAPLACE
f(t) F (s)
19
20
21
Impulso unitário 1
22
23
2 2 2 ( s + ω )
s ( ) 2
1 tsen ω t ω
( ( ) cos( )) 2
1 sen ω t ω t ω t ω
2
( s + ω )
s
δ( t )
( t )^ s dt
d δ
, ( =1,2, 3,...)
− t e n
n at 1 ( )
!
n s a
n
FUNÇÃO TRANSLADADAFUNÇÃO TRANSLADADA
[ ( )] ( )
( ) [ ( )]
L e f t F s a
F s L f t
at = −
[ ()] [ ()] () ( )
( )
0 0
L e f t e f t e dt f te dt F s a
at at st sat = = = −
− −
∞ −
∞
∫ ∫
Exemplo 4
[ ( 2 )]
2
s
s LCos t
[ ( 2 )]
2 2
−
s s
s
s
s L e Cos t
t
Translação em s:
FUNÇÃO TRANSLADADAFUNÇÃO TRANSLADADA
gt f t a para t a
gt para t a
Exemplo
Translação em t:
L gt f t a e dt f ue du e f ue du
st sua as − su
∞ − + −
∞ −
∞
∫ ∫ ∫ = − = =
0
( )
0 0
[ ()] [ ( )] ( ) ( )
t
f(t) g(t)
4 4
3 3!^6
[ ]
s s
L t = =
() ( 2 ) , 2
() 0 , 2
3 = − >
= <
g t t t
g t t
4
2 6 [ ()] s
e L g t
− s
a
MUDANÇA DE ESCALA DE TEMPOMUDANÇA DE ESCALA DE TEMPO
Exemplo
Se g(t)=f(at):
[ ( )] [ ( .)]
a
s
F
a
L g t = L f a t =
[ ( .)] [ ( .)] ( )
0 0 a
s F a a
du L f at f at e dt f ue a
su st = = =
−
∞ −
∞
[sen( )]
2
s
L t
[sen( 3 )] (^2 )
s s
L t
PROPRIEDADES DAPROPRIEDADES DA
TRANSFORMADA DE LAPLACETRANSFORMADA DE LAPLACE
1
2
3
4
5
L [ Af ( t )]= AF ( s )
L [ f 1 ( t )± f 2 ( t )]= F 1 ( s )± F 2 ( s )
± f t sF s f
dt
d
L
2 2
2
= − ± − ±
± f t s F s sf f dt
d L
[ ] [ ]
=±
± ∫ =^ + ∫
0
t
f t dt
s s
F s
L f t dt
PROPRIEDADES DAPROPRIEDADES DA
TRANSFORMADA DE LAPLACETRANSFORMADA DE LAPLACE
6
7
8
9
10
s
F s
L f t dt
t ( )
0
∞
→∞
∞
0 0
f ( t ) dt lim F ( s ) se f ( t ) dt existir s
L [ e f ( t )] F ( s a )
t
− α
[ ( )] F ( s )
ds
d L tf t =− ±
[ ( − ) 1 ( − )]= ( ) ≥ 0
− L f t t e F s a
α s
PROPRIEDADES DAPROPRIEDADES DA
TRANSFORMADA DE LAPLACETRANSFORMADA DE LAPLACE
11
12
13
14
15
f t existir
t
f t F sds se
t
L
s (^) t
() ( ) lim
∞
→∞
+∞
−∞
± =^ −
c j
c j
F pGs pdp j
L f t g t ( ) ( ) 2
[ () ()]
π
aF as a
L f =
[ ( )] ( ) 2
2 2 F s ds
d L t f t =−
[ (^) ( )] (^) ( 1 ) F ( s ) ds
d L t f t n
n n n =−
MÉTODO DA EXPANSÃO EM FRAÇÕES PARCIASMÉTODO DA EXPANSÃO EM FRAÇÕES PARCIAS
PARA DETERMINAÇÃO DA TRANSFORMADAPARA DETERMINAÇÃO DA TRANSFORMADA
INVERSA DE LAPLACEINVERSA DE LAPLACE
Em problemas de análise de sistemas de
controle, F(S), a transformada de Laplace
de f(t) , apresenta-se freqüentemente do
seguinte modo:
Onde A(s) e B(s) são polinômios em s.
É importante que a maior potência de s
em A(s) seja maior do que a maior
potência de s em B(s).
A s
B s
F s =
MÉTODO DA EXPANSÃO EM FRAÇÕES PARCIASMÉTODO DA EXPANSÃO EM FRAÇÕES PARCIAS
PARA DETERMINAÇÃO DA TRANSFORMADAPARA DETERMINAÇÃO DA TRANSFORMADA
INVERSA DE LAPLACEINVERSA DE LAPLACE
Vemos que todos os termos expandidos
são eliminados, com exceção de an. Assim,
o resíduo an é determinado por:
s pn
n n
As
Bs
a s p
= −
EXEMPLOSEXEMPLOS
EXERCÍCIO 2.3 :
Determine a transformada inversa de
Laplace de:
s s
s F s
EXEMPLOSEXEMPLOS
EXERCÍCIO 2.3 :
A expansão em frações parciais de F(s) é:
Onde a 1 e a 2 são determinadas por meio
da equação:
1 2
s
a
s
a
s s
s F s
1 1
s = − s s =^ −
s
s s
s a s
EXEMPLOSEXEMPLOS
EXERCÍCIO 2.3 :
Assim,
2 2
s = − s s =^ −
s
s s
s a s
() [ ( )]
2
1 1
1
− −
− −
−
e e para t
s
L
s
L
f t L F s
t t
EXEMPLOSEXEMPLOS
EXERCÍCIO 2.4 :
Assim obtemos:
s s
s G s s
2
2
3 2
3 2 2
s
s s
s s
s s s s
s s s s s
D d
r Q
d
r Q d
D
EXEMPLOSEXEMPLOS
EXERCÍCIO 2.4 :
Note que a transformada de Laplace da
função impulso unitário é 1 e que a
transformada de Laplace de é s.
O terceiro termo é idêntico ao exercício
anterior. Assim a transformada inversa de
Laplace de G(s) é dada por:
t t
t t e e
dt
d
g t
2
− −
δ( t )
d δ( t )/ dt
SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAISSOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
LINEARES E INVARIANTES NO TEMPOLINEARES E INVARIANTES NO TEMPO
A utilização do método da transformada de
Laplace para solucionar equações diferenciais
lineares e invariantes no tempo possui algumas
vantagens como:
◦ Não requerer o cálculo das constantes de
integração se comparado com os métodos clássicos;
◦ Conduz a solução completa.
SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAISSOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
LINEARES E INVARIANTES NO TEMPOLINEARES E INVARIANTES NO TEMPO
Duas etapas estão envolvidas para a solução de
equações lineares e invariantes no tempo.
- Aplicar a transformada de Laplace a cada termo
da equação diferencial, converter a equação
diferencial em uma equação algébrica em s e
obter a expressão da transformada de Laplace
da variável dependente.
- A solução da equação diferencial em função do
tempo é obtida pela transformada inversa de
Laplace da variável dependente.
EXEMPLOSEXEMPLOS
EXERCÍCIO 2.8 :
E, assim, a equação diferencial dada torna-
se:
[ ] ( ) ( 0 ) ( 0 )
[ ] ( ) ( 0 )
2
Lx s X s sx x
Lx sX s x
[ ( ) ( 0 ) ( 0 )] 3 [ ( ) ( 0 )] 2 ( ) 0
2 s X s − sx − x ɺ + sX s − x + X s =
EXEMPLOSEXEMPLOS
EXERCÍCIO 2.8 :
Substituindo as condições iniciais nessa
última equação obtemos:
Resolvendo em relação a X(s), temos:
s s X s as b a
ou
s X s as b sX s a X s
[ ( ) ] 3 [ ( ) ] 2 ( ) 0
2
2
2
s
a b
s
a b
s s
as b a
s s
as b a
X s
EXEMPLOSEXEMPLOS
EXERCÍCIO 2.8 :
A transformada inversa de Laplace de
X(s) resulta em:
() [ ( )]
2
1 1 1
− −
− − −
a be a be para t
s
a b
L
s
a b
xt L X s L
t t
EXEMPLOSEXEMPLOS
EXERCÍCIO 2.9 :
Encontre a solução x(t) da equação
diferencial:
x ɺɺ + 2 x ɺ+ 5 x = 3 , x ( 0 )= 0 x ɺ( 0 )= 0
