J. Felipe De Almeida
Movimento Ondulatório, Eletricidade, Magnetismo, Indução
Eletromagnética e Eletrodinâmica de Maxwell
Lições de Fenômenos
Eletromagnéticos
Análise Computacional:
Tomografia Eletromagnética e o Método FDTD
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Lições de Fenômenos Eletromagnéticos, Notas de estudo de Física
Eletromagnetismo
Tipologia: Notas de estudo
2014
1 / 198
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Movimento Ondulatório, Eletricidade, Magnetismo, Indução
Eletromagnética e Eletrodinâmica de Maxwell
Lições de Fenômenos
Eletromagnéticos
Análise Computacional:
Tomografia Eletromagnética e o Método FDTD
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Movimento Ondulatório, Eletricidade, Magnetismo,
Indução Eletromagnética e Eletrodinâmica de Maxwell
Lições de Fenômenos
Eletromagnéticos
Análise Computacional:
Tomografia Eletromagnética e o Método FDTD
bastante complicados, principalmente para quem se propõe a iniciar sobre esse estudo. Nos Capítulos restantes, foi dada ênfase as técnicas computacionais de soluções e as aplicações das equações de Maxwell. Assim, no Capitulo 4 se reservou à obtenção das soluções dessas equações no domínio da freqüência e à formulação do conceito da função Sensitividade. Isto leva a uma aplicação, de forma bastante didática, na Tomografia Eletromagnética. O método das diferenças finitas no domínio do tempo – método FDTD – está apresentado no Capítulo 5. Este método é uma das formas mais precisas de resolver computacionalmente as equações de Maxwell, com uma vasta aplicação em problemas da Engenharia e da Física. Observa-se, ainda, que a grande vantagem da utilização do método FDTD é a de solucionar problemas eletromagnéticos que estão fora do alcance das soluções analíticas. Por fim, no Capítulo 6 é mostrado um problema de eletromagnetismo avançado, o qual trata sobre anisotropia uniaxial. Neste capítulo, a técnica de camadas anisotrópicas perfeitamente casadas, conhecida como UPML ( Uniaxial Perfect Matched Layer ), é mostrada como uma aplicação das equações de Maxwell na representação de uma câmara anecóica virtual. A finalidade do uso dessa técnica é a trucagem de um domínio computacional. A formulação matemática utilizada, neste último capítulo, é feita de forma bastante simples, mas requer disponibilidade de tempo e muita atenção para entendê-la. Em quase todos estes capítulos – exceto o sexto –, foram colocados exercícios resolvidos, cuja finalidade é dar mais explanação sobre um determinado tópico conceitual. Por fim, é de forma muito sincera que eu gostaria de agradecer a todos que de uma forma ou de outra me incentivaram a este trabalho. Entre estes estão os Drs. Licurgo Brito, Carlos Leonidas Sobrinho e José Maria Filardo Bassalo que muito contribuíram, dedicando parte de seu tempo comigo. Mas, de maneira muito especial à Márcia Monteiro. Devo, ainda, muito de um pouco de cada coisa aqui escrita, aos meus filhos e aos meus alunos, a quem dedico este trabalho.
Belém, 1 de maio de 2006 José Felipe De Almeida
Sumário
Capítulo 1 – CARACTERÍSTICAS ELEMENTARES DO MOVIMENTO
ONDULATÓRIO .....................................................................
1.1 Caracterização do Movimento Ondulatório
1.1.1 Classificação do Movimento 1.1.2 Natureza do Movimento Vibratório 1.1.3 Tipos ( ou Formatos ) de Ondas 1.1.4 Elementos de uma Onda Periódica 1.1.5 Fenômenos Ondulatórios
1.2 Ondas Progressivas Unidimensionais (análise matemática)
1.3 Ondas Harmônicas
1.4 Superposição e Interferência de Ondas
1.5 Ondas Estacionárias (1ª parte)
1.6 Representações Matemática das Vibrações Sonoras
1.7 Ondas Estacionárias (2ª parte)
1.8 Modos Ímpares
1.9 Equação de Onda
Capítulo 2 – ELETRICIDADE, MAGNETISMO E INDUÇÃO
ELETROMAGNÉTICA ............................................................
2.1 Eletricidade
2.1.1 Grandezas da Eletricidade 2.1.2 Lei de Ohm 2.1.3 Lei de Kirchhoff 2.1.4 Fontes de Tensão e Corrente 2.1.5 Resistência e Associação de Resistores 2.1.6 Capacitância e Associação de Capacitores
Capítulo 5 – SOLUÇÃO DAS EQUAÇÕES DE MAXWELL NO DOMÍNIO DO
TEMPO: MÉTODO FDTD .................................................
5.1 O Algoritmo de Yee
5.1.1 Formulação Analítica 5.1.2 Diferenças Centradas 5.1.3 Leap-Frog
5.2 Solução Numérica
5.2.1 Estabilidade Numérica 5.2.2 Dispersão Numérica 5.2.3 Fonte de Excitação
5.2.4 Considerações Adicionais sobre o Método FDTD
Capítulo 6 – TÉCNICA COMPUTACIONAL PARA IMPLEMENTAÇÃO DE
CONDIÇÕES DE FRONTEIRA ABSORVENTE UPML: CÂMARA
ANECÓICA VIRTUAL .........................................................
6.1 Domínio Computacional
6.2 Meio Material com Anisotropia Uniaxial
6.3 PML Uniaxial (UPML)
6.3.1 Região Homogênea Isotrópica 6.3.2 Região Homogênea Anisotrópica Uniaxial
6.3.3 Cálculo do Coeficiente de Reflexão e Condição de Transmissão Total 6.3.4 Parâmetros Constitutivos de um Meio Dissipativo UPML 6.3.5 Solução Numérica para a UPML
Lições de Fenômenos Eletromagnéticos– J. Felipe De Almeida 8
Capítulo 1
CARACTERÍSTICAS ELEMENTARES DO MOVIMENTO ONDULATÓRIO
De uma forma geral, a dinâmica das interações observáveis na Natureza se manifesta na forma de ondas e de maneira tipicamente ondulatória. Em um estudo introdutório sobre esse assunto [1-6], a descrição desse movimento fica facilmente entendida quando feita para situações que envolvem ondas em meios materiais. De fato, torna-se menos complicado entender sobre as situações relacionadas com outras formas de manifestações também ondulatórias, porém, cheias de abstrações – como é o caso das interações eletromagnéticas. Portanto, este Capítulo trata dos conceitos básicos que se relacionam com o movimento ondulatório.
1.1 Caracterização do Movimento Ondulatório
1.1.1 Classificação do Movimento
- UNIDIMENSIONAL: vibração ao longo de uma única dimensão.
- BIDIMENSIONAL: vibração ao longo de uma superfície.
- TRIDIMENSIONAL: vibração no espaço livre, portanto nas três dimensões.
1.1.2 Natureza do Movimento Vibratório
- MECÂNICO: são vibrações produzidas pela deformação de um meio material (ex.: onda na superfície da água, ondas sonoras, etc.).
- ELETROMAGNÉTICO: são vibrações devidas a interações de cargas elétricas (ex.: ondas de rádio, microondas, ondas de calor, ondas luminosas, raio -X e raios cósmicos).
1.1.3 Tipos ( ou Formatos ) de Ondas
- ONDAS TRANSVERSAIS: são oscilações que acontecem quando a vibração é perpendicular à direção do movimento (propagação) da onda. Para que este movimento aconteça, a região perturbada
Lições de Fenômenos Eletromagnéticos– J. Felipe De Almeida 10
- INTERFERÊNCIA: é um fenômeno que ocorre quando duas ou mais ondas percorrem simultaneamente a mesma região. Nestas condições, deixa de ser percebida individualmente e passa a ser uma onda resultante. Após a interferência, cada onda segue o seu destino com suas características iniciais.
- POLARIZAÇÃO: diz-se que uma onda está polarizada quando oscila num só plano de vibração, chamado plano de polarização da onda. Verifica-se que a polarização é um fenômeno típico das ondas transversais.
Associado com a qualidade de uma vibração está a característica do meio portador ou região de propagação. Definem-se as características de um meio, pelas suas propriedades intrínsecas. Essas propriedades são, por exemplo, as propriedades elásticas, as propriedades térmicas, as propriedades elétricas e magnéticas, o índice de refração no caso particular do estudo da luz, e etc. A isso, muitas vezes deve-se levar em conta também à geometria espacial. Assim, a variação do meio pode ser física ou geométrica. Quando o meio não sofre variação física em sua geometria será dito homogêneo, caso contrário, será chamado heterogêneo. Quando apenas a variação geométrica estiver sendo considerada, diz-se que houve descontinuidade do meio. Analisando-se somente as suas características físicas, este pode apresentar isotropia ou anisotropia. Note-se que isso está relacionado com o espaço, dessa forma, a propriedade física de um determinado meio pode sofrer variação em direções preferenciais ou não. Com isso, a isotropia qualifica um meio cujas propriedades físicas são as mesmas em todas as direções. De modo diferente, a anisotropia pode ser em apenas uma direção (anisotropia uniaxial), ou em duas direções (anisotropia biaxial), ou ainda, nas três direções espaciais (eixos x , y e z ). No decorrer de todo esse trabalho, essas considerações serão usadas.
1.2 Ondas Progressivas Unidimensionais (análise matemática)
A descrição feita na Seção anterior tem um conteúdo verbal. Considere-se agora uma análise matemática. Seja, portanto, um pulso ondulatório que se propaga para direita, em uma corda tencionada, por exemplo.
Lições de Fenômenos Eletromagnéticos– J. Felipe De Almeida 11
Figura 1.1 – Pulso ondulatório propagando-se para a direita com velocidade v. Na figura (a), em t =0, a forma do pulso é dada por: y = f ( x ). Para um instante mais tarde t (Figura (b)), a forma do pulso permanece inalterada e o deslocamento vertical (eixo- y ) é dado por: y = f ( x - vt ).
As imagens mostradas na Figura 1.1 foram obtidas por uma simulação espaço-temporal de um pulso ondulatório. O meio de propagação escolhido foi uma corda, uniformemente distribuída com as mesmas características em todo seu comprimento, tencionada e presa nas duas pontas. O pulso se move sobre o eixo- x (o eixo da corda), e o deslocamento transversal da corda é medido na direção- y. Na Figura 1.1(a), para o posicionamento (célula 50, na direção x ) de máximo deslocamento de y , o tempo é acionado por um cronômetro a partir de t =0. Neste instante, a forma do pulso pode ser representada como y = f ( x ). Isto é, o valor de y é obtido em função de x. O máximo deslocamento, medido em y , é chamado de amplitude da onda. Uma vez que a velocidade da onda é v e o pulso se desloca para a direita, o afastamento da posição inicial (tomada como referência) é medido por vt no intervalo de tempo t. A Figura (b) mostra esta última situação. No caso de um pulso ondulatório que mantém a sua forma (não sofre alteração), pode-se representar o deslocamento y em todos os instantes posteriores, num sistema de coordenadas, com origem em 0, na seguinte forma:
y= f ( x – vt ). (1.1)
(a)
(b) (^) (b)
Lições de Fenômenos Eletromagnéticos– J. Felipe De Almeida 13
Para seguir o movimento da crista, é necessário substituir, em x – vt , x por um valor particular, por exemplo: x 0. O valor x 0 é chamado de argumento da função y, para este caso. Independentemente de como x e t se alteram individualmente, pode-se fazer x – vt = x 0 , tem-se assim a crista da onda sempre bem localizada. Essa equação representa, portanto, a equação do movimento da crista. Por exemplo, em t =0, a crista está em x = x 0 ; para um intervalo de tempo dt posterior, a crista desloca-se uma distância dx = ( x 0 + vdt ) – x 0 = vdt. Vale ressaltar que esta velocidade da onda será chamada de velocidade de fase , é dada por:
v = dx / dt. (1.3)
É importante observar que a velocidade de fase não pode ser confundida com a velocidade transversal.
Exemplo 1.1 : Um pulso ondulatório progressivo desloca-se para a direita sobre o eixo dos x, sendo representado pela função de onda: y ( x , t )=2/(( x -3 t )^2 +1). x e y são medidos em cm e t em segundo. Faça o gráfico da função de onda para valores de t =0, t =1s e t =2s.
Solução : Inicialmente observe-se que essa função tem a forma y= f ( x - vt ). Por inspeção, vê-se que v =3cm/s. Por outro lado, a amplitude desta onda é dada por y= 2cm. Para os instantes t=0, t=1s e t=2s a função de onda tem as seguintes expressões:
- y ( x , 0)=2/( x^2 +1) em t =0;
- y ( x , 1)=2/((x-3)^2 +1) em t =1s;
- y ( x , 2)=2/((x-6)^2 +1) em t =2s. Estas são as equações que devem ser utilizadas para se obter o gráfico da função de onda em cada um desses instantes. Por exemplo, para y ( x , 0) em x= 0,5cm: y (0,5, 0)=2/(0, 5^2 +1)=1,60 cm. Da mesma forma, y (1, 0)=1,0 cm, y (2, 0)=0,40 cm e assim por diante. A continuação desse procedimento, para outros valores de x , leva à forma de onda que aparece na próxima Figura. De maneira semelhante, se obtém os gráficos de y ( x , 1) e y ( x , 2), que aparecem, respectivamente, nas figuras subseqüentes. Esses instantâneos mostram que o pulso ondulatório se desloca para a direita sem alterar a sua forma de onda e tendo uma velocidade constante de valor igual a 3 cm/s.
Lições de Fenômenos Eletromagnéticos– J. Felipe De Almeida 14
Figura – Simulação de um pulso referente ao Exemplo 1.1.
1.3 Ondas Harmônicas
Além do pulso ondulatório, outra importante forma de onda é conhecida como onda harmônica. Estas ondas são representadas matematicamente por funções senoidais. Esse tipo de onda assume a maneira mais simples de conceituar e de visualizar o fenômeno vibratório. A principal característica de uma onda harmônica a sua periodicidade. Devido a isso, esse movimento apresenta um uma freqüência, um comprimento de onda e uma velocidade bem definida. Certa peculiaridade das ondas harmônicas é a sua relação interpretativa em termos de uma onda plana. Fica difícil falar sobre as diversas formas pelas quais o movimento vibratório pode ser gerado. Por exemplo: uma fonte pontual, também chamada de fonte isotrópica, gera uma vibração radial a sua posição, ou seja, uma onda esférica que se propaga em todas as direções; um plano de fonte criará uma onda que se propagará com uma forma geométrica cuja complexidade dependerá das dimensões dessa fonte. Entretanto, uma boa aproximação para qualquer forma de propagação é a onda plana, pois longe da fonte uma onda se apresenta como uma frente formada por um conjunto de pontos com a mesma qualidade de vibração. Essa frente de onda é perpendicular à direção de propagação. A representação matemática de uma propagação harmônica é feita por uma função senoidal. Assim, essas funções representam uma
1 (^01 2 3 4 5 6 7 8 9 1 )
- 3
- 5
- 7
- 9
1
y ( x , 0 )
(^3) t = c 0 m / s
2 (^01 2 3 4 5 6 7 8 9 1 )
- 6
8^1
- 4
- 8
2
y ( x , 1 )
(^3) t = c 1 ms / s
2 (^01 2 3 4 5 6 7 8 9 1 )
- 6
8^1
- 4
- 8
2
y ( x , 2 )
(^3) t = c 2 m s/ s
Lições de Fenômenos Eletromagnéticos– J. Felipe De Almeida 16
extrema importância neste estudo e não pode haver dúvidas quanto a seu entendimento. De fato, outra informação importante que pode se observada é a quantidade de vezes (ciclos) que esta repetição acontecerá em um tempo estabelecido. Isto é conhecido como freqüência do movimento. De uma forma mais completa, tem-se que: f = ciclos/tempo. No caso particular de um único ciclo, tem-se que f = 1/T. Quando a repetição acontece em períodos de um segundo, defini-se a unidade de freqüência, no SI, a qual é o Hertz (Hz). O exemplo da variação analisado na Figura 1.3 pode, dessa forma, muito bem ser descrito por uma função especial. Por exemplo, usando-se o eixo- y como escala a localização do movimento do ponto a qualquer instante, em função de um ângulo α ( α 0 =0), é feito por: y = sen α. O gráfico desta função tem a forma mostrada na Figura 1.4.
Figura 1.4 – Gráfico da função y = sen α.
Observe-se a analogia entre o movimento que se passa no círculo e a função seno. Por isso, um movimento harmônico é representado matematicamente por esta função. Em casos de fenômenos que acontecem na Natureza com estas mesmas características, ou seja, preservam uma freqüência e um período de acontecimentos bem definidos, a forma matemática de sua representação é uma função de onda senoidal. Considerando-se este tipo de movimento ondulatório, os fenômenos por ele descritos envolvem ondas progressivas, isto é, ondas
-1 0 5 0 1 0 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0 3 5 0 4 0 0
-0. 8
-0. 6
-0. 4
-0. 2
0
2
4
6
8
1
0 5 0 (^) π /21 0 0 1 5 0 (^) π 2 0 0 2 5 0 (^3) π /2 3 0 0 3 5 0 2 π 4 0 0
-0. 8
-0. 6
-0. 4
-0. 2
0
2
4
6
8
1
π /2 π 3 π /2 2 π
y
α
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que se propagam em regiões (ou meios). Por isto, a sua descrição leva em conta os posiciomentos espaciais, ao invés de ângulos. Para cada uma de suas oscilações, a onda terá percorrido um caminho, ou seja, uma distância. Esta distância é chamada de comprimento de onda (representado por λ) e a sua correspondência ao movimento angular é a seguinte: para cada 2π de variação angular o espaço percorrido é o próprio comprimento de onda, ou seja: se α ⇒ 2 π, logo x ⇒ λ, então, α = (2π/λ) x. Este resultado é muito importante e também precisa ser evidenciado. Daí tira-se, por exemplo, a relação k = 2 π/ λ. O valor de k é conhecido como número de onda e sua identificação é de alta relevância neste estudo. Com todas as definições já apresentadas tem-se a seguinte conclusão: se considerarmos um valor de raio R=A e, ainda, se o movimento partir de uma posição angular qualquer ( α 0 ), pode-se fazer:
y = A sen α 0. (1.4)
Na função (1.4), A é a amplitude da onda. Ainda, pela substituição que leva em conta uma variação da posição inicial ( α 0 ), escreve-se que
y = A sen ( α − ∆ α). (1.5)
Por outro lado, α = (2π/λ) x (ou kx ) e ∆ α = ω t. Por fim, a função de onda é dada por:
y = A sen ( kx – ω t ). (1.6)
Como conseqüência de uma análise da função de onda apresentada anteriormente, observa-se que a função é nula quando x = 0 e t = 0. Vale também ressaltar que: se o deslocamento transversal ( y ) não for nulo, para o caso inicial em que x = 0 e t = 0, então, a função de onda é agora escrita na seguinte forma:
y = A sen ( kx – ω t – φ). (1.7)
Este novo parâmetro, φ, é a constante de fase e seu valor fica estabelecido pelas condições iniciais do problema.
Lições de Fenômenos Eletromagnéticos– J. Felipe De Almeida 19
resultante é o dobro da amplitude de qualquer uma das duas ondas iniciais. Em um caso como este, diz-se que as ondas estão em fase em todos os pontos e que as duas se interferem construtivamente. Este exemplo está sendo ilustrado na Figura 1.5.
Figura 1.5 – Ilustração didática da interferência construtiva entre duas ondas de mesma fase.
(De uma forma geral, a interferência construtiva ocorre quando cos( φ / 2) = ± 1 ou quando φ = 0, 2π, 4π, ...)
- Parar φ = π (ou qualquer múltiplo impar de π) ⇒ cos(π / 2) = 0. Neste caso, a onda resultante terá amplitude nula em todos os pontos. As duas ondas se interferem destrutivamente. Pode-se afirmar que o máximo de uma onda coincide com o mínimo da segunda e os respectivos deslocamentos se cancelam em todos os pontos, como mostrado na Figura 1.6.
Figura 1.6 – Ilustração didática da interferência destrutiva entre duas ondas.
- Para um valor de φ arbitrário (entre 0 e π). A amplitude da onda fica compreendida entre 0 e 2 A 0 , como mostrado na Figura 1.7.
y
x
y y 1 e y 2
φ=0^0
y
x
y
φ=180^0
y 1 y 2
Lições de Fenômenos Eletromagnéticos– J. Felipe De Almeida 20
Figura 1.7 – Ilustração didática da interferência construtiva entre duas ondas de fase arbitrária.
1.5 Ondas Estacionárias (1ª parte)
Considerem-se duas funções de onda senoidais que se propagam num mesmo meio, com a mesma amplitude, a mesma freqüência e o mesmo comprimento de onda, porém em direções opostas. Ou seja,
y 1 (^) = A 0 (^) sen (^) ( kx − ω t (^) ) e y 2 (^) = A 0 sen (^) ( kx +ω t ). (1.12)
Sendo que y 1 se propaga para a direita e y 2 se propaga para a esquerda. A soma destas duas ondas resulta na função de onda:
y = y 1 (^) + y 2 (^) = A 0 (^) sen ( kx − ω t ) + A 0 sen ( kx + ω t ). (1.13)
A partir da utilização da identidade trigonométrica sen( a ± b ) = sen a cos b ± cos a sen b , tem-se, então,
y = (^) ( 2 A 0 sen kx (^) )cos ω t. (1.14)
Esta função de onda representa a função de uma onda estacionária. Isto pode ser demonstrado experimentalmente no caso de uma corda vibrante tencionada e presa nas duas pontas. Essa característica imposta ao movimento oscilatório é conhecida como onda estacionária e se deve as reflexões nas extremidades fixas da corda no sentido oposto a cada nova incidência. As ondas incidente e refletida se combinam conforme o princípio da superposição. A amplitude da onda combinada é dada por 2 A 0 sen kx. A diferença, portanto, entre uma onda progressiva e uma
onda estacionária se deve a este fator. Para a onda confinada à corda fixa, nas duas extremidades, seguem-se as considerações que:
y
x
y
φ=60^0
y 1 y 2