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Este documento aborda os conceitos de limites e continuidade em funções, incluindo limites laterais, teorema do confronto, teorema da potenciação, teorema da multiplicação por constante, teorema da soma, teorema da subtração, teorema do produto, teorema da regra do quociente, e exemplos de aplicação desses teoremas.
Tipologia: Notas de estudo
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Teorema do Confronto Se não pudermos obter o limite diretamente, talvez possamos obtê-lo indiretamente com o teorema do confronto. O teorema se refere a uma função f cujos valores estão limitados entre os valores de outras duas funções, g e h. Se g e h tiverem o mesmo limite quando , então f também terá esse limite.
Teorema – Teorema do Confronto Suponha que para qualquer x em um intervalo de aberto contendo c, exceto possivelmente em x = c. Suponha também que g ( x ) f ( x ) h ( x )
x c x c
Então f x L x c lim ( )
(b) Uma vez que 0 1 cos para qualquer , temos que lim( 1 cos ) 0 0 ou limcos 1 0 y 0
Limites Laterais Para ter um limite L quando x se aproxima de a , uma função f deve ser definida em ambos os lados de a e seus valores f(x) devem se aproximar de L quando x se aproxima de a de cada lado. Por isso, limites comuns são bilaterais. Se f não tem um limite bilateral em a , ainda pode ter um limite lateral, ou seja, um limite cuja aproximação ocorre apenas de um lado. Se a aproximação for feita pelo lado direito, o limite será um limite à direita. Se for pelo lado esquerdo, será um limite à esquerda.
Seja f(x) definida em um intervalo (c, a) , onde c < a. Se f(x) fica arbitrariamente próximo de M conforme x se aproxima de a nesse intervalo, dizemos que f tem limite lateral à esquerda M em a e escrevemos f x M
lim ( )
Exemplo: Para a função na figura, temos: e x x f ( x )
0
x lim^ ( ) lim lim(^1 )^1 0 0 0
x x x x x f x
Exemplo 8 – Limites da Função no Gráfico da Figura Em x = 0: lim ( ) 1 0 f x x lim ( ) 0 f x x e lim ( ) 0 f x x não existem. A função não é definida à esquerda de x = 0.
1
x ainda que f(1) = 1, lim ( ) 1 , 1 f x x lim ( ) 1 f x x não existe. Os limites à direita e à esquerda não são iguais. Em x = 2: lim ( ) 1 2
f x x lim ( ) 1 2
f x x
2
x ainda que f(2) = 2
Exemplo 9 – Uma Função que Oscila Demais Mostre que (^) x y 1 sen (^) não tem nenhum limite lateral quando x se aproxima de zero de ambos os lados (Figura abaixo). Solução : Conforme x se aproxima de zero, seu recíproco, 1/x, cresce x 1 sen (^) repetem-se ciclicamente de de –1 a 1. A função não tem limite à direita nem à esquerda em x = 0. sem limitação e os valores de
Teorema 6
0
( (^) em radianos)
Podemos expressar essas áreas em termos de da seguinte maneira: sen 2 1 ( 1 )(sen ) 2 1 2 1 Área ^ OAP base altura 2 ( 1 ) 2 1 2 1 2 2 Área do setor OAP ^ r^ ^ ^ OAT base altura tg tg 2 1 ( 1 )( ) 2 1 2 1 Área Logo, tg 2 1 2 1 sen 2 1
A última desigualdade não se altera se dividimos os três termos pelo número positivo (1/2) sen^ : cos 1 sen 1 Tomando os recíprocos a desigualdade é revertida: cos sen 1
0
do Teorema do Confronto resulta
lim 0
^ ^
Exemplo 10: Usando (^1) sen lim 0 ^ Mostre que 5
sen 2 lim 0
x x x x x x x x x (^2 /^5 )^5 ( 2 / 5 ) sen 2 5 sen 2 lim lim 0 0
lim 0
Agora a equação (1) se aplica a = 2x.
Limites Envolvendo o Infinito Definições Limites com x
