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10 – Limites
Vamos investigar o comportamento da função f(x) = x^2 – x + 2 para valores próximos de 2:
x f(x) x f(x) 1 2,000000 3,0 8, 1,5 2,750000 2,5 5, 1,8 3,440000 2,2 4, 1,9 3,710000 2,1 4, 1,95 3,852500 2,05 4, 1,99 3,970100 2,01 4, 1,995 3,985025 2,005 4,
Vemos que quanto mais próximo x estiver de 2 ( tanto à esquerda, quanto à direita), a função se aproxima do valor 4.
Dizemos, então que “o limite da função f(x) = x^2 – x + 2 quando x tende a dois é igual a quatro”.
Notação:
Observação:
Tomemos agora a função f(x) =
≥ x 1 ,sex 0
2 x ,sex 0
. Investigando o valor de f(x) nas proximidades
de x = 0:
X f(x) x f(x) -1 0 1 2 -0,9 0.1 0,9 1, -0,75 0.25 0,75 1, -0,5 0.5 0,5 1, -0,4 0.6 0,4 1, -0,3 0.7 0,3 1, -0,1 0.9 0,1 1, -0,09 0,91 0,09 1, -0,001 0,999 0,001 1, -0,000001 0,99999 0,000001 1,
Nesse caso,
Finalmente, consideremos a função f(x) =
x^2 x- 2 ,sex 0
. Investigando o valor de x nas
proximidades de x = 0:
x f(x) x f(x) -1 1 -0,9 0, -0,75 0, -0,5 0, -0,4 0, -0,3 0, -0,1 0, -0,01 0, -0,001 0, -0,0001 0,
À medida que nos aproximamos de zero obtemos valores diferentes quando a aproximação é feita à direita e à esquerda desse valor. Dizemos que: “o limite da função quando x tende a zero pela direita é igual a -2”, e que o “limite da função quando x tende a zero pela esquerda” é igual a 2”.
Notação:
Definição 01: Escrevemos f x L x a
= →
lim (^ )
e dizemos “ o limite de f(x), quando x tende a a , é igual a L” se pudermos tornar os valores de f(x) arbitrariamente próximos de L (tão próximos quanto quisermos), tornando x suficientemente próximo de a (por ambos os lados de a) mas não igual a a.
Definição 02: Escrevemos f x L x a
= →^ −
lim (^ )
e dizemos “ o limite de f(x), quando x tende a a , pela esquerda é igual a L” se pudermos tornar os valores de f(x) arbitrariamente próximos de L (tão próximos quanto quisermos), tornando x suficientemente próximo de a e menor que a.
Definição 03: Escrevemos f x L x a
= →^ +
lim (^ )
e dizemos “ o limite de f(x), quando x tende a a , pela direita é igual a L” se pudermos tornar os valores de f(x) arbitrariamente próximos de L (tão próximos quanto quisermos), tornando x suficientemente próximo de a e maior que a.
