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Chapter 1
Aplicações da Integral Simples
1.1 Área de regiões planares
Seja R a região limitada pelo gráfico da função y = f (x), as retas x = a, x = b e o eixo x, sendo f (x) ≥ 0 para todo [a, b]. A área da região R é dado pela fórmula:
A =
∫ (^) b a f (x)dx.
x
y
O
R
a b
y = f (x)
x
y
O a x^1 x^2 xi^ xi+1 b^ =^ xn
y = f (x)
DEMONSTRAÇÃO
Tomemos números x 0 , x 1 , x 2 , · · · , xn ∈ [a, b] tais que a = x 0 < x 1 < x 2 < · · · < xn = b e, x∗ 1 , x∗ 2 , · · · , x∗ n tais que x∗ i ∈ [xi− 1 , xi]. Então
A ∼= ( ︸x 1 ︷︷− x 0 )︸ ∆x 1
f (x∗ 1 ) + ( ︸x 2 −︷︷ x (^0) ︸) ∆x 2
f (x∗ 2 ) + · · · + ( ︸x n −︷︷ x n− 1 )︸ ∆xn
f (x∗ n) = ∑^ n i=
∆xif (x∗ i )
Cap.1: Aplicações da Integral Simples Sec.1: Área de regiões planares
∴ A = (^) max ∆limxi→ 0
∑^ n i=
∆xif (x∗ i ) =
∫ (^) b a f (x) dx
Resumindo:
- Seja R a região delimitada pela curva y = f (x), f contínua em [a, b], pelas retas verticais x = a e x = b, e eixo x, então a área A de R é dado por
A =
∫ (^) b a |f (x)|dx.
- Em particular se R é a região delimitada pela curva y = f (x), pelas retas verticais x = a e x = b, e eixo x, tais que f contínua em [a, b], f (x) ≤ 0 para a < x < c e f (x) ≥ 0 para c < x < b então a área A de R é dado por
A =
∫ (^) b a^ |f^ (x)|dx^ =^ −
∫ (^) c a^ f^ (x)dx^ +
∫ (^) b c^ f^ (x)dx.
- Seja R a região delimitada pela curva x = g(y), g contínua em [c, d], pelas retas horizontais y = c e y = d, e eixo y, então a área A de R é dado por
A =
∫ (^) d c |g(y)|dy.
- Seja R a região delimitada pelas curvas y = f 1 (x), y = f 2 (x) interceptando nos pontos com abscissas x = a e x = b, então a área A de R é dado por
A =
∫ (^) b a |f 1 (x) − f 2 (x)| dx.
Cap.1: Aplicações da Integral Simples Sec.1: Área de regiões planares Exemplo 1.3. Calcular a área da figura do plano limitada pelas curvas f (x) = 2x^2 + 10 e g(x) = 4x + 16 de modo que − 2 ≤ x ≤ 5.
Solução
Para determinar os limites de integração fazemos a interseção das curvas: y = 2x^2 + 10 e y = 4x + 16
⇓
2 x^2 + 10 = 4x + 16 ⇒ x = −1, 3. x
y
A =
− 2 [(2x^2 +10)−(4x−16)]dx+
− 1 [(4x+16)−(2x^2 +10)]dx+
3 [(2x^2 +10)−(4x+16)]dx
A =^1423.
1.1 Observação. Se f e g são funções contínuas em R, para calcular a área da região entre as curvas y = f (x) e y = g(x) necessitamos apenas conhecer os pontos de interseção entre as curvas e o sinal de f (x) − g(x). Não há necessidade de mais detalhes sobre o gráfico de f ou de g.
Exemplo 1.4. Calcular a área da figura do plano limitada pelas curvas y 1 = x^5 − x^3 + 2x^2 − x + 3 e y 2 = x^4 + x^3 + 2x^2 − x + 3.
Solução Interseções: y 1 = y 2 ⇒ x^5 − x^4 − 2 x^3 = 0 ⇒ x^3 (x^2 − x − 2) = 0 ⇒ ⇒ x^3 (x + 1)(x − 2) = 0 ⇒ x = 0 ou x = − 1 ou x = 2. Sinal de y 1 − y 2 = x^3 (x + 1)(x − 2) :
Cap.1: Aplicações da Integral Simples Sec.1: Área de regiões planares Logo, A =
− 1 (y 1 −y 2 )dx−
0 (y 1 −y 2 )dx =
− 1 (x^5 −x^4 − 2 x^3 )dx−
0 (x^5 −x^4 − 2 x^3 )dx =^11630. Exemplo 1.5. Calcular a área da figura do plano limitada pelas curvas y^2 +y− 1 −x = 0 e y − x = 0.
Solução Neste exemplo convém tomar y como variável independente e as funções x = f (y) = y^2 + y − 1 e x = g(y) = y As interseções da parábola e da reta x = y^2 + y − 1 e x = y são os pontos (−1, −1) e (1, 1). A =
− 1 |y^ −^ (y
(^2) + y − 1)|dy =
− 1 (−y
(^2) + 1)dy
A =^43.
x
y
Cap.1: Aplicações da Integral Simples Sec.3: Volume de sólidos
1.3 Volume de sólidos
Introdução
Volume de um cilindro reto
Admitiremos inicialmente a definição de volume para cilindros retos:
Tomemos um plano α e uma região R deste plano, com área A limitada por uma curva fechada C. Consideremos uma reta r perpendicular ao plano α e tomemos a superfície cilíndrica tal que C seja sua diretriz e r uma geratriz (isto é, obtida pela reunião de todas as retas paralelas a r passando por algum ponto de C). Consideremos um plano, β, paralelo a α. A região do espaço limitada pela superfície cilíndrica e pelos dois planos é um cilindro de base R e altura h, sendo h a distância entre os dois planos. O volume do cilindro é, V = A.h. Dado um sólido, tomemos um eixo orientado OX e, para todo número real x, o plano perpen- dicular a OX em x (isto é pas- sando pelo ponto de abscissa x do eixo). Suponhamos que:
- Para todo x ∈ R, o plano em x intercepta o sólido se, e somente, se x ∈ [a, b].
- Se x ∈ [a, b] a intersecção é uma região desse plano com área que indicaremos por A(x).
Cap.1: Aplicações da Integral Simples Sec.3: Volume de sólidos Se a função A(x), definida em [a, b], é contínua então o volume do sólido é:
V =
∫ (^) b a^ A(x)^ dx
Dedução da fórmula: Tomemos números x 0 , x 1 , x 2 , ..., xn ∈ [a, b] tais que a = x 0 < x 1 < x 2 < ... < xn = b e números a 1 , a 2 , ..., an tais que ai ∈ [xi− 1 , xi]. O cilindro cuja base é a intersecção do plano perpendicular ao eixo OX em ai com o sólido e cuja altura é (xi − xi− 1 ) tem volume igual a A(ai)(xi − xi− 1 ) e então
V ∼= ( ︸x 1 ︷︷− x (^0) ︸) ∆x 1
A(a 1 ) + ( ︸x 2 −︷︷ x (^1) ︸) ∆x 2
A(a 2 ) + · · · + ( ︸x n −︷︷ x n− 1 )︸ ∆xn
A(an) = ∑^ n i=
∆xiA(ai)
∴ V = (^) max ∆limxi→ 0
∑^ n i=
∆xiA(ai) =
∫ (^) b a^ A(x)^ dx Chamaremos as intersecções do sólido com os planos perpendiculares ao eixo de seções planas do sólido transversais ao eixo OX ou de seções planas.
Exemplo 1.6. Calcular o volume de uma pirâmide cuja base é um quadrado de lado 2 e cuja altura é 3.
Solução
Tomemos o eixo OY perpendicular ao plano da base da pirâmide, ortogonal a um dos lados da base e sua origem e orientação como indicados na figura ao lado.
Para todo y ∈ [0, 3] a seção plana transversal a OY é um quadrado cujo lado varia com y e que indicaremos por L. Então a seção plana tem área A = L^2 e o volume da pirâmide é dado por V =
0 L^2 dy.
Cap.1: Aplicações da Integral Simples Sec.3: Volume de sólidos Para todo y ∈ [−2, 2] a seção plana transver- sal a OY é um círculo cujo raio varia com y e que indicaremos por r. Então a seção plana tem área A = πr^2 e o volume da esfera é dado por V = π
− 2 r
(^2) dy
Ou usando a simetria da esfera
V = 2π
0 r^2 dy
Para relacionarmos r e y, tomemos a inter- secção da esfera com um plano que contenha o eixo e passe pelo seu centro. Pelo Teorema de Pitágoras (veja figura ao lado),
r^2 + y^2 = 2^2 ⇒ r = ±
4 − y^2
Logo,
V = 2π
0
4 − y^2
dy = 2π
0 (4−y^2 ) dy =^323 π.
Vemos aqui uma confirmação de outra proposição apresentada no Ensino Médio: O volume da esfera de raio R é: V =^4 πR
3
Exemplo 1.8. Represente graficamente e calcule o volume do sólido limitado pelo plano z = 1 e a superfície de equação z = x^2 + y^2.
Solução Representação gráfica: Dado um plano de equação z = c, c constante, (isto é perpendicular a OZ), para obtermos sua intersecção com a superfície, substituímos z = c na equação z = x^2 + y^2 , obtendo,
Cap.1: Aplicações da Integral Simples Sec.3: Volume de sólidos Logo, a intersecção é
- Se c > 0, um círculo no plano z = c de equação x^2 +y^2 = c. Portanto com raio √c.
- Se c = 0, o ponto (0, 0)
- Se c < 0, vazia
Logo trata-se de uma superfície de revolução em torno de OZ.
Para considerar a intersecção da superfície com o plano Y OZ, substituímos x = 0 na equação z = x^2 + y^2 obtendo a equação da parábola z = y^2. Portanto a superfície é ger- ada pela rotação desta parábola em torno de OZ (é um parabolóide de revolução).
Na figura ao lado temos um esboço do sólido limitado pela superfície e pelo plano z = 1. Cálculo do volume: Para todo z ∈ [0, 1] a seção plana transversal a OZ é um circulo cujo raio é √z. Então a seção plana tem área A = π(√z)^2 = πz e o volume do sólido é dado por
V = π
0 z dz = π 2
[
z^2
] 1
0 =^
π
Cap.1: Aplicações da Integral Simples Sec.3: Volume de sólidos a superfície, obtém-se substituímos z = c na equação (∗) resultando na equação,
x^2 4 +^
y^2 9 +^ c
︷ ≥︸︸^0 ︷
x^2 4 +^
y^2 9 = 1^ −^ c
2
De acordo com o sinal de 1 − c^2 , temos que a intersecção é:
- Vazia, se c > 1 ou c < −1.
- (0, 0) , se c = − 1 ou c = 1
- Uma elipse no plano z = c, de equação (^ x^2 2 √ 1 − c^2
) 2 +^ y
2 ( 3 √ 1 − c^2
) 2 =^1 e portanto com semi-eixos 2 √ 1 − c^2 e 3 √ 1 − c^2 , se − 1 < c < 1
As seções transversais a OX também são elipses, de equações
(√^ z^2 1 − c
2 4
) 2 +^ y
2 ( 3
1 − c
2 4
obtidas fazendo-se x = c na equação (∗), para − 2 < c < 2. De modo análogo temos que as seções transversais a OY são elipses. A seguir temos um esboço do sólido Cálculo do volume: Para todo z ∈ [−1, 1] a seção plana transver- sal a OZ é uma elipse com semi-eixos 2 √ 1 − c^2 e 3 √ 1 − c^2. Então essa seção plana tem área
A = π(2√ 1 − z^2 )(3√ 1 − z^2 ) = 6π(1 − z^2 )
e o volume do sólido é dado por
V = 6π
− 1 (1−z^2 ) dz = 6π
[
z − z
3 3
] 1
− 1
= 8π.
Cap.1: Aplicações da Integral Simples Sec.3: Volume de sólidos
Exemplo 1.11. Calcule o volume do sólido que é intersecção dos cilindros x^2 + y^2 = 1 e x^2 + z^2 = 1 (figura ao lado)
Solução Cálculo do volume: Tomemos o eixo OX e as intersecções de cada um dos cilindro com planos perpendiculares a esse eixo. Para o cilindro x^2 + y^2 = 1, fazendo x = c, c constante, na equação desse cilindro obtemos c^2 + y^2 = 1 ⇔ y = ±√ 1 − c^2
Logo a intersecção com o plano x = c é:
- Vazia, se c > 1 ou c < −1.
- A reta do plano x = c de equação y = 0 , se c = − 1 ou c = 1
- A região do plano x = c lim- itada pelas duas retas parale- las y = ±√ 1 − c^2 se − 1 < c <
De modo semelhante, para o cilindro x^2 + z^2 = 1, fazendo x = c, c constante, na equação desse cilindro obtemos
c^2 + z^2 = 1 ⇔ z = ±√ 1 − c^2
Cap.1: Aplicações da Integral Simples Sec.3: Volume de sólidos Exemplo 1.12. Calcular o volume do sólido cuja base é um círculo de raio 3 e cujas seções transversais a um diâmetro da base são quadrados.
Solução Tomemos um eixo orientado cuja origem é o centro do círculo e que contém o diâmetro (figura ao lado). A seção transversal em x é um quadrado de lado L que varia com x. Logo, sua área é igual a A = L^2 , o volume do sólido é
V =
− 3 L^2 dx = 2
0 L^2 dx (usando simetria)
e
(L
- x^2 = 3^2 ⇔ L^2 = 4(9 − x^2 ) Portanto,
V = 8
0 (9−x^2 ) dx = 8
[
9 x − x
3 3
] 3
0
Cap.1: Aplicações da Integral Simples Sec.3: Volume de sólidos Exemplo 1.13. Calcular o volume do sólido cuja base é uma elipse de semi-eixos iguais a 2 e 3 e cujas seções transversais ao eixo maior são triângulos equiláteros.
Solução Tomemos um sistema de eixos cartesianos tal que OX coincida com o eixo maior (figura ao lado) e O coincida com o centro da elipse. Nesse sistema de eixos a elipse tem equação
x^2 9 +^
y^2 4 = 1 A seção transversal em x é um triângulo equilátero de lado L que varia com x. Logo, sua área é igual a A =
√ 3 L 2
o volume do sólido é
V =
− 3
√ 3 L 2
4 dx^ = 2
0
√ 3 L 2
4 dx^ (usando simetria)
Como L = 2y então ( pela equação da elipse)
V =^12
0
3.4y^2 dx = 2
0
1 − x
2 9
dx =
= 8
[
x − x
3 27
] 3
0
Cap.1: Aplicações da Integral Simples Sec.3: Volume de sólidos Exemplo 1.15. Calcular uma expressão em integrais que represente o volume do sólido cuja base é um triângulo retângulo ABC de catetos AB e AC com comprimentos 3 e 4 e cujas seções transversais a AC são semi-círculos com diâmetros sobre a base do sólido.
Solução Considerando o eixo OX como indicado na figura ao lado, a seção transversal em x tem área A = πr
2 2 sendo^ r^ o raio do semi-circulo. O volume do sólido é
V = π 2
0 r
(^2) dx
Usando semelhança de triângulos
3 4 =^
2 r 4 − x ⇒^
3(4 − x) 8 =^ r
Logo,
V = π 2
0
9(4 − x)^2 64 dx^ =
3 π 2
Cap.1: Aplicações da Integral Simples Sec.4: Exercícios
1.4 Exercícios
[1] Utilizando seções planas paralelas, mostre que o volume de uma pirâmide quadrangular reta, com altura h e base quadrada de lado a, é igual a a
(^2) h
[2] Utilizando integral de seções planas paralelas, mostre que o volume do cone circular reto, de altura h e raio da base r, é igual a πr
(^2) h
[3] Usando o Cálculo Integral, calcule o volume de um tronco de pirâmide, de altura h, cuja base é um quadrado de lado a e cujo topo é um quadrado de lado b.
[4] Calcule o volume de um sólido que tem para base um círculo de raio r e cujas seções transversais a um diâmetro da mesma são triângulos eqüiláteros, todos situados em um mesmo semi-espaço em relação ao plano que a contem, e que têm como um dos seus lados cordas da circunferência da base, perpendiculares a esse diâmetro.
[5] Calcule o volume de um sólido que tem para base um círculo de raio r e cujas seções transversais a um diâmetro da mesma são triângulos retângulos isósceles, todos situados em um mesmo semi-espaço em relação ao plano que a contem, e que têm como um dos seus catetos cordas da circunferência da base, perpendiculares a esse diâmetro.
[6] Calcule o volume de um sólido que tem para base um círculo de raio r e cujas seções transversais a um diâmetro da mesma são triângulos retângulos isósceles, todos situados em um mesmo semi-espaço em relação ao plano que a contem, e que têm como hipotenusa cordas da circunferência da base, perpendiculares a esse diâmetro.
[7] Calcule o volume de um sólido que tem para base um círculo de raio r e cujas seções transversais a um diâmetro da mesma são semi-elipses, todas situadas em um mesmo semi-espaço em relação ao plano que a contem, e que têm o eixo menor como cordas da circunferência da base, perpendiculares a esse diâmetro e a medida do eixo maior igual ao dobro da medida do eixo menor. (Considere a área da elipse de semi-eixos maior e menor a e b, respectivamente, igual a πab ).
[8] Calcule o volume de um sólido que tem para base um círculo de raio r e cujas seções transversais a um diâmetro da mesma são semi-elipses, todas contidas em um mesmo semi-espaço em relação ao plano que a contem, e que têm o eixo menor como cordas da circunferência da base, perpendiculares a esse diâmetro e todas elas têm a mesma
