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Lista de exercÌcios - Limites e Continuidade
- Para a funÁ„o f (x) ilustrada abaixo, encontre os seguintes limites ou explique por que eles n„o existem:
(a) lim x! 1 f (x) (b) lim x! 2 f (x) (c) lim x! 3 f (x)
- Quais das seguintes aÖrmaÁıes sobre a funÁ„o y = f (x) ilustrada a seguir s„o verdadeiras e quais s„o falsas?
(a) lim x! 0
f (x) existe (b) lim x! 0
f (x) = 0 (c) lim x! 0
f (x) = 1
(d) lim x! 1 f (x) = 1 (e) lim x! 1 f (x) = 0
- Explique atravÈs de palavras ou gr·Öcos por que os limites abaixo n„o existem. (a) lim x! 0
x jxj
(b) lim x! 1
x 1
- Seja
f (x) =
x^2 9 x + 3
(a) Usando uma calculadora faÁa uma tabela [x; f (x)] com valores que se aproximem cada vez mais de x = 3. Sugest„o: use os seguintes val- ores menores que x: 4 ; 3 ; 5 ; 3 ; 1 ; 3 ; 01 ; 3 ; 001 ; e os seguintes valores maiores que x: 2 ; 2 ; 5 ; 2 ; 9 ; 2 ; 99 ; 2 ; 999. (b) Para x 6 = 3 simpliÖque f (x) e encontre algebricamente o limx! 3 f (x).
- Seja
f (x) =
x^2 + 3x + 2 2 jxj
(a) Usando uma calculadora faÁa uma tabela [x; f (x)] com valores que se aproximem cada vez mais de x = 2 pela esquerda (x < 2 ) e pela direita (x > 2 ). (b) Para x 6 = 2 simpliÖque f (x) e encontre algebricamente o limx! 2 f (x).
- Para g (x) =
sen x x
faÁa uma tabela (usando uma calculadora cientÌÖca) com valores [x; g (x)] para x se aproximando cada vez mais de 0 pela esquerda (x < 0 ) e pela direita (x > 0 ). Em seguida, estime limx! 0 g (x).
- Calcule a taxa mÈdia de variaÁ„o da funÁ„o
f (x) = 3x 2
no intervalo [2; P ] com P = 3. Conforme fazemos P se aproximar de 2 a taxa de variaÁ„o mÈdia atinge um valor-limite. Determine este valor- limite.
- Calcule a taxa mÈdia de variaÁ„o da funÁ„o
f (x) = x^3 + 1
no intervalo [ 1 ; P ] com P = 0. Conforme fazemos P se aproximar de 1 a taxa de variaÁ„o mÈdia atinge um valor-limite. Determine este valor- limite.
gr·Öco s„o verdadeiras e quais s„o falsas?
(a) lim x! 1 +^
f (x) = 1 (b) lim x! 0 ^
f (x) = 0
(c) lim x! 0 ^
f (x) = 1 (d) lim x! 0 ^
f (x) = lim x! 0 +^
f (x)
(e) lim x! 0 +
f (x) existe (f) lim x! 0 f (x) = 0
(g) lim x! 0 f (x) = 1 (h) lim x! 1 f (x) = 1
(i) lim x! 1 f (x) = 0 (j) lim x! 2 ^ f (x) = 2
(k) lim x! 1
f (x) n„o existe (l) lim x! 2 +
f (x) = 0
- Seja
f (x) =
0 ; x 0 sen (^1) x ; x > 0
(a) Existe limx! 0 + f (x)? Se existe, qual? Se n„o, por quÍ?
(b) Existe limx! 0 f (x)? Se existe, qual? Se n„o, por quÍ? (c) Existe limx! 0 f (x)? Se existe, qual? Se n„o, por quÍ?
- Represente graÖcamente a funÁ„o
f (x) =
p 1 x^2 , 0 x < 1 1 , 1 x < 2 2 , x = 2
e depois responda as seguintes questıes:
(a) Quais s„o o domÌnio e a imagem de f? (b) Em quais pontos c, existe limx!c f (x)? (c) Em quais pontos existe apenas o limite ‡ esquerda? (d) Em quais pontos existe apenas o limite ‡ direita?
- Represente graÖcamente a funÁ„o
f (x) =
x, 1 x < 0 ou 0 < x 1 1 , x = 0 0 , x < 1 ou x > 1
e depois responda as seguintes questıes:
(a) Quais s„o o domÌnio e a imagem de f? (b) Em quais pontos c, existe limx!c f (x)? (c) Em quais pontos existe apenas o limite ‡ esquerda? (d) Em quais pontos existe apenas o limite ‡ direita?
- Usando as propriedades de limites laterais determine o valor dos seguintes limites:
(a) lim x! 0 ; 5
r x + 2 x + 1
(b) lim x! 1
x + 1
x + 6 x
3 x 7
(c) lim h! 0 +
p h^2 + 4h + 5
p 5 h
(d) lim h! 0
p 6
p 5 h^2 + 11h + 6 h
(e) lim t! 2 ^
(x + 3) jx + 2j x + 2
(f) lim t! 2 +^
(x + 3) jx + 2j x + 2
(g) lim t! 1 +
p 2 x (x 1) jx 1 j
(h) lim t! 1
p 2 x (x 1) jx 1 j
- Determine
lim
x^2 3 x + 2 x^3 2 x^2
quando
(a) x! 0 +^ (b) x! 2 + (c) x! 2 ^ (d) x! 2
- Determine
lim
x^2 =^3
(x 1)^2 =^3
quando
(a) x! 0 +^ (b) x! 0 (c) x! 1 +^ (d) x! 1
- Usando os limites fundamentais
lim x! 0
sen x x
= 1 e lim n!
n
n = e
calcule:
(a) lim x! 0
sen 3 x 4 x
(b) lim x! 0
tg 2 x x (c) lim x! 0
x + xcos x sen x cos x
(d) lim x! 0
sen x sen 2 x
(e) lim x! 0
sen (sen x) sen x
(f) lim x! 0
sen 3 x cotg 5 x x^2
(g) lim n!
n
n (h) lim n!
n
n+
(i) lim n!
n
n+ (j) lim n!
n + 7 n + 4
n
- Esboce o gr·Öco da funÁ„o
f (x) =
x^2 1 , 1 x < 0 2 x, 0 < x < 1 1 , x = 1 2 x + 4, 1 < x < 2 0 ; 2 < x < 3
e responda as seguintes perguntas:
(a) Existe f ( 1)? Existe limx! 1 + f (x)? Existe f ( 1) = limx! 1 + f (x)?
(b) f È contÌnua em x = 1? (c) Existe f (1)? Existe limx! 1 f (x)? Existe f (1) = limx! 1 f (x)? (d) f È contÌnua em x = 1? (e) f È deÖnida em x = 2? f È contÌnua em x = 2? (f) Para quais valores de x; f È contÌnua? (g) Qual valor deve ser atribuÌdo a f (2) para tornar a funÁ„o estendida contÌnua em x = 2? (h) Para qual valor f (1) deve ser mudado para remover a descontinuidade?
- Em quais intervalos as funÁıes abaixo s„o contÌnuas?
(a) f (x) =
x 2
3 x (b) f (x) = x + 4 x^2 3 x 10 (c) f (x) = jx 1 j + sen x (d) f (x) =
2 + x cos x (e) f (x) =
p 2 x + 3 (f) f (x) =
x tg x x^2 + 1
- DeÖna h (2) de maneira que estenda
h (t) = t^2 + 3t 10 t 2
para torn·-la contÌnua em t = 2.
- Para qual valor de a
f (x) =
x^2 1 , x < 3 2 ax, x 3
È contÌnua em qualquer x?
RESPOSTAS:
- (a) n„o existe, pois a funÁ„o possui um salto em torno de x = 1 (b) 1 (c) 0
- (a) V (b) V (c) F (d) F (e) F
- (a) Existe um salto de duas unidades em torno de x = 0 (b) A funÁ„o cresce indeÖnidamente x = 1+^ e decresce indeÖnidamente para x = 1 .
- (b) 6
- (b) 1
