Baixe Limites e derivadas 2006 Parte1 e outras Notas de estudo em PDF para Cálculo Diferencial e Integral, somente na Docsity!
ÁREA 1 - Faculdade de Ciência e Tecnologia
Cursos de Engenharia
Cálculo Diferencial e Integral I
Professor: Álvaro Fernandes Serafim
Apostila de limites e derivadas
“Uma grande descoberta envolve a solução de um grande problema, mas
há uma semente de descoberta na solução de qualquer problema. Seu
problema pode ser modesto; porém, se ele desafiar a sua curiosidade e
fizer funcionar a sua capacidade inventiva, e caso você o resolva sozinho,
então você poderá experimentar a tensão e o prazer do triunfo da descoberta”
George Polya
Última atualização: 02/06/
x
a ln lim 1
ax
x
→+∞
Qual o valor de a?
Índice
- Limite e continuidade
- Noção intuitiva de limite...........................................................................................................
- Tabelas de aproximações...........................................................................................................
- Cálculo de uma indeterminação do tipo 0/0..............................................................................
- Definição intuitiva de limite.....................................................................................................
- Propriedades dos limites...........................................................................................................
- Limites infinitos........................................................................................................................
- Limites no infinito.....................................................................................................................
- Expressões indeterminadas.......................................................................................................
- Limite fundamental exponencial...............................................................................................
- Limite fundamental trigonométrico..........................................................................................
- Funções limitadas.....................................................................................................................
- Continuidade.............................................................................................................................
- Aplicação 1: Problema da área sob o arco de uma parábola.....................................................
- Aplicação 2: Problema do circuito RL em série......................................................................
- Derivada
- A reta tangente..........................................................................................................................
- A reta normal............................................................................................................................
- A derivada de uma função num ponto......................................................................................
- Derivadas laterais.....................................................................................................................
- Regras de derivação..................................................................................................................
- Derivada da função composta (Regra da cadeia)......................................................................
- Derivada da função inversa.......................................................................................................
- Derivada das funções elementares............................................................................................
- Derivada da função exponencial...............................................................................................
- Derivada da função logarítmica.................................................................................................
- Derivada das funções trigonométricas......................................................................................
- Derivada das funções trigonométricas inversas........................................................................
- Tabela de derivadas..................................................................................................................
- Derivadas sucessivas................................................................................................................
- Derivada na forma implícita.....................................................................................................
- Derivada de uma função na forma paramétrica........................................................................
- Diferencial................................................................................................................................
- Aplicações da derivada
- A regra de L’Hospital...............................................................................................................
- Interpretação cinemática da derivada.......................................................................................
- Taxa de variação.......................................................................................................................
- Análise gráfica das funções......................................................................................................
- Máximos e mínimos...........................................................................................................
- Funções crescentes e decrescentes.....................................................................................
- Critérios para determinar os extremos de uma função........................................................
- Concavidade e inflexão.......................................................................................................
- Assíntotas horizontais e verticais........................................................................................
- Esboço gráfico.....................................................................................................................
- Problemas de otimização.........................................................................................................
Tabelas de aproximações
As tabelas de aproximações são utilizadas para aproximar o valor da imagem de uma
função (se existir) quando a variável x se aproxima de um determinado ponto.
Atribuindo a x valores próximos de 1 , porém menores do que 1 : (tabela A)
x 0 0,5 0,75 0,9 0,99 0,999 0,
g(x) 1 1,5 1,75 1,9 1,99 1,999 1,
Atribuindo a x valores próximos de 1 , porém maiores do que 1 : (tabela B)
x 2 1,5 1,25 1,1 1,01 1,001 1,
g(x) 3 2,5 2,25 2,1 2,01 2,001 2,
Observemos que podemos tornar g(x) tão próximo de 2 quanto desejarmos, bastando
para isso tomarmos x suficientemente próximo de 1. De outra forma, dizemos:
“O limite da função g ( x ) quando x se aproxima de (tende a) 1 é igual a 2 ”.
Simbolicamente escrevemos: lim ( )
x
g x →
1
2 ou lim x
x
→ x
1
2 1
Observações:
1) Os dois tipos de aproximações que vemos nas tabelas A e B são chamados de limites laterais.
∗ Quando x tende a 1 por valores menores do que 1 (tabela A), dizemos que x tende a 1 pela
esquerda , e denotamos simbolicamente por x →
−
- Temos então que:
lim^ (^ )
x
g x → −^
1
(^2) ou lim x
x
→ − x
1
2 1
∗ Quando x tende a 1 por valores maiores do que 1 (tabela B), dizemos que x tende a 1 pela
direita , e denotamos simbolicamente por x →
- Temos então que:
lim^ (^ )
x
g x →
1
(^2) ou lim x
x
→ x
1
2 1
2) Se a função g se aproximasse de valores distintos à medida que x se aproximasse lateralmente de
1 , pela esquerda e pela direita, então diríamos que o limite da função g não existiria neste ponto ,
simbolicamente lim (^ )
x
g x → 1
3) O limite da função g(x) quando x se aproxima de 1 , somente existe se os limites laterais são
iguais. Simbolicamente:
lim^ (^ )
x
g x →
1
2 se, e somente se, lim (^ )^ lim (^ )
x x
g x g x → −^ →+
1 1
Será necessário sempre construir tabelas de aproximações para determinar o limite de uma função,
caso ele exista?
Não! Há uma forma bem mais simples, como veremos a seguir.
Obs: O sinal negativo no expoente do n o 1 simboliza apenas que x se aproxima do número 1 pela esquerda.
Obs: O sinal positivo no expoente do n
o 1 simboliza apenas que x se aproxima do número 1 pela direita.
Cálculo de uma indeterminação do tipo 0
Sempre que nos depararmos com uma indeterminação do tipo
0
, deveremos simplificar
a
expressão da função envolvida. Logo após, calculamos o limite da função substituindo, na
expressão já simplificada, o valor de x.
- Para simplificar a expressão você deve utilizar fatoração, racionalização, dispositivo prático de
Briot-Ruffini para dividir polinômios, etc...
Vejamos os exemplos seguintes.
Exemplo 2. Determine lim (^ )
x
g x → 1
, onde g x(^ )
x
x
2 1
Observe que ( ) 0
g 1 = que é uma indeterminação matemática! Quando a variável x está cada vez
mais próxima de 1 , a função g está cada vez mais próxima de quanto? Devemos então simplificar a
expressão da função g e depois fazer a substituição direta.
( )
( )( ) ( x 1 ) , x 1 x 1
x 1 x 1
x 1
x 1 gx
2
= + ∀ ≠ −
= Então:
( )
( )( ) lim( x 1 ) 1 1 2 x 1
x 1 x 1 lim x 1
x 1 lim gx lim x 1 x 1
2
x 1 x 1
→ → → →
. Logo, lim x
x
→ x
1
2 1
Chegamos à mesma conclusão da análise feita pelas tabelas de aproximações, porém de uma forma
mais rápida e sistemática.
Não mais utilizaremos as tabelas de aproximações para casos semelhantes a este!!
Vale lembrar que a expressão lim x
x
→ x
1
2 1
2 significa que a função g x(^ )
x
x
2 1
está
tão próxima de 2 assim como x está suficientemente próximo de 1 , porém diferente de 1.
Graficamente podemos verificar isso:
Gráfico da função g x( )
x
x
= x
2 1
Exemplo 5. Calcule 2 x 4
3 x 6 lim
2
x (^2) +
→
usando as propriedades.
( )
( ) 4
limx 2
limx 2
x 2
x 2 lim 2
2 x 2
3 x 2 lim 2 x 4
3 x 6 lim
x 2
2
x 2
2
x 2
2
x 2
2
x 2
→
→ → → →
Obteríamos este resultado substituindo diretamente: ( ) 4
2 x 4
3 x 6 lim
2 2
x 2
→
Atividades (grupo 1).
Calcule os limites abaixo:
a) 2 x
4 x lim
2
x (^2) +
→−
b) x x 6
x 4 x 3 lim 2
2
x (^3) − −
→
c) 5 x 5
x 1 lim
3
x (^1) −
→
d) 2
3
x (^24) x
8 x lim −
→−
e) 3
4
x (^28) x
x 16 lim −
→
f) x 1
x 1 lim x (^1) −
→
g)
x 2 x
1 x lim
2
x (^1) + +
→−
h) x 49
2 x 3 lim x 7 2 −
→
i) 1 5 x
3 5 x lim x 4 − −
→
Atividades (grupo 2).
Calcule os limites indicados:
a) f ( x )
x x
x x
2 1 0
, calcule: lim ( ) , lim ( ) lim ( )
x x x
f x f x f x →− 1 → 2 → 0
e.
b) g x(^ )
x x
x
2 2
, calcule: lim (^ )
x
g x → 2
c) h x(^ )
x x
x x
2 ,
, calcule: lim (^ )
x
h x → 1
d) ( )
2 x 6 ,x 2
1 x , x 2
2 ,x 0
l x
2
x
0 , calcule: lim l( x), liml( )x, lim l( )x lim l( )x x 0 x 2 x x
e → → →−∞ →+∞
Limites infinitos
Quando resolvemos um limite e não encontramos como resposta valores numéricos, mas sim
infinito ( + ∞ou −∞), dizemos então que o limite é infinito.
Exemplo 6. Calcule x 1
x 1 lim
2
x (^1) −
→−
Neste caso, quando fazemos a substituição de x por − 1 na expressão
x
x
2 1
, encontramos
Esta não é uma situação especial. Sempre que na substituição de x ocorrer
k
, k≠ , o resultado
do limite será sempre zero, naturalmente.
E se na substituição do valor de x ocorrer
k k 0
Vamos analisar esta situação num caso particular e depois formalizar uma regra.
Exemplo 7. Estude o seguinte limite: lim x → (^0) x
Devemos analisar os limites laterais. Vamos recorrer às tabelas de aproximações:
Aproximação do zero pela direita (notação x →
0 )
x 1 0,1 0,01 0,001 0,
f(x)=1/x 1 10 100 1000 10.
Cada vez que tomamos x suficientemente próximo de zero (pela direita), f (^ x )= 1 x cresce
indefinidamente. Simbolizamos esta situação assim:
lim x → +^ x
0
Aproximação do zero pela esquerda (notação x →
− 0 )
x -1 -0,1 -0,01 -0,001 -0,
f(x)=1/x -1 -10 -100 -1000 -10.
Cada vez que tomamos x suficientemente próximo de zero (pela esquerda), f (^ x )= 1 x decresce
indefinidamente. Simbolizamos esta situação assim:
lim x → −^ x
0
Conclusão: Como os limites laterais são distintos, então lim x → (^0) x
Veja ao lado o gráfico da função f ( x) = 1 x.
Vale ressaltar ainda que, se n é um natural não nulo , então:
→+∞
n x
lim x e
→−∞ (^) ímpar.
par.
, n
,n lim x
n x
Atividades (grupo 3). Calcule os limites:
a) x 2
x lim
2
x → (^2) −
b) ( ) x 3 2 x 3
2 x 4 lim −
→
c) ( ) x 3 2 x 3
2 x 7 lim −
→
d) 2 x 6 3 x
lim
3
x^2
→+∞
Atividades (grupo 4). Calcule os limites:
a) x 5
3 x lim x (^5) −
→
b) x x 6
3 x lim 2 x (^2) + −
→ − c)^ 2 x 10
x 10 lim
2
x (^5) +
− →−
d) x x 2
x 2 lim 2 x (^1) + −
→+
Expressões indeterminadas
Vimos que 0
é uma expressão de indeterminação matemática. Também são:
0 0 , ∞−∞, 0 ×∞, 1 , 0 ∞ ∞
e.
Vamos analisar os quatro primeiros casos. Os outros serão tratados em capítulos posteriores.
A indeterminação do tipo
∞
Exemplo 9. Calcule os limites abaixo:
a)
5 x 3
x 1 lim 2
3
x (^) +
→+∞
b) x x
x 1 lim 4
2
x (^) +
→+∞
c) x x
1 x lim 2
2
x (^) +
→+∞
Podemos observar que estas expressões geram indeterminações do tipo
∞
, pois quando x→+∞
as expressões do numerador e denominador também tendem a +^ ∞. Não podemos afirmar, a priori,
o valor delas. Vejamos:
a)
( )
( )
→+∞
→+∞
→ +∞ →+∞ →+∞ 51 0 5
5 x
lim 51
x
limx 1
5 x
x
x 1
lim
5 x
5 x 1
x
x 1
lim 5 x 3
x 1 lim
x^2
x^3
2
3
x
2
2
3
3
(^2) x
3
x
b)
( )
( )
x
lim x 1
x
lim 1
x
x 1
x
lim
x
x 1
x
x 1
lim x x
x 1 lim
x^3
x^2
3
2
2
x
3
4
2
2
(^4) x
2
x
→+∞
→+∞
→ +∞ →+∞ →+∞ 2
c)
( )
( )
3 x
lim 1
6 x
lim 1
3 x
6 x
lim
3 x
3 x 1
6 x
6 x 1
lim 3 x x
6 x 1 lim
x
(^2) x 2
x 2
2
2
(^2) x
2
x
→+∞
→+∞
→+∞ →+∞ →+∞
Observamos que nas três situações analisadas as indeterminações do tipo
∞
produziram respostas
distintas (como era esperado, por isso que é indeterminação!) Você deve ter notado que para
resolver indeterminações deste tipo a idéia é colocar o termo de maior grau em evidência no
numerador e no denominador.
Atividades (grupo 5).
- Calcule os limites abaixo:
a) 5 x x 1
2 x 1 lim 3
3
x (^) + +
→+∞
b) 2 x 1
x 3 x lim
5 2
x (^) +
→+∞
c) 4
2 3
x (^5) x 3 x
x 2 x lim
→−∞
d) 2
2
x (^15) x
x lim →−∞ −
A indeterminação do tipo ∞ - ∞
Exemplo 10. Calcule os limites abaixo:
a)
3 x
lim x −x →+∞
2
. b) lim 5 x x
2 x
→−∞
Podemos observar que estas expressões geram indeterminações do tipo ∞ - ∞, mas não podemos
afirmar, a priori, o valor delas. Vejamos:
Usando a mesma técnica da indeterminação anterior...
a) (^) =−∞( + ) =−∞( ) =−∞
→+∞ →+∞
x
lim x x lim x
3
x
3
x
2 .
b) (^) =+∞( + + ) =+∞( ) =+∞
→−∞ →−∞
5 x
5 x
lim x 5 x 7 lim 5 x 2
2 x
2 x
Atividades (grupo 6).
- Calcule os limites abaixo:
a) lim x x 2 x
3
x
→+∞
5
. b) lim x 5 x 6 x
→−∞
4 .
A indeterminação do tipo 0 × ∞
Exemplo 11. Calcule os limites abaixo:
a) ( x 1 )
x
lim
2 x^3
→+∞
. b) ( )x x
lim x →+∞
Tabela
x ( )
x
x
f x (^1)
M M
x → + ∞ f(x) → e
Faça uma tabela para x → - ∞.
Gráfico:
Exemplo 12. Calcule os limites abaixo:
a)
5 x
x (^) x
lim (^1)
→+∞
. b)
4 x
x (^) x
lim (^1)
→−∞
Nestes dois casos percebemos indeterminações do tipo 1
∞
. Vejamos as soluções...
a)
5
5 x
x
5 x
x
5 x
x
e x
lim 1 x
lim 1 x
lim 1 =
→+∞ →+∞ →+∞
b) Neste caso, usaremos uma mudança de variável...
Faça x = − 3 t. Se x →−∞então t →+∞.
Logo,
( ) 12
t^12
t
12 t
t
4 3 t
t
4 x
x
e t
lim 1 t
lim 1 3 t
lim 1 x
lim 1
−
−
→+∞
−
→+∞
−
→−∞ →+∞
Atividades (grupo 8).
- Calcule os limites abaixo:
a)
2 x
x x
lim (^1)
→+∞
. b)
5 x
x (^) x
lim (^1)
→−∞
. c)
2 x
x (^) x 1
x 1 lim (^)
→+∞
Conseqüências importantes do limite fundamental exponencial:
i) lim ( 1 x) e
1 x
x 0
→
. ii)^ ln( )a,^ a^0 a^1 x
a 1 lim
x
x 0
→
e.
Atividades (grupo 9). Resolva os dois limites acima com as sugestões a seguir:
- No item (i) faça a mudança de variável t
x = e use o limite fundamental exponencial.
- No item (ii) faça a mudança de variável a 1 t
x − = e use o item (i).
Atividades (grupo 10).
- Resolva os limites abaixo:
a) ( )
1 x
x 0
lim 1 + 2 x →
. (^) b) x
lim
x
x 0
→
. c) 4 x
e 1 lim
x
x 0
→
. d) x
e 2 lim
x x
x 0
→
Limite fundamental trigonométrico
O limite fundamental trigonométrico trata de um limite cuja indeterminação é do tipo 0
envolvendo a função trigonométrica y = sen( x). Este limite é muito importante, pois com ele
resolveremos outros problemas.
Proposição:
( ) 1 x
senx lim x 0
→
A função ( )
( )
x
senx f x = é par, isto é, f ( − x) =f( )x , ∀x ≠ 0 , pois
( )
( ) ( ) ( ) f( )x x
senx
x
senx
x
sen x f x = = −
Se
x → 0 ou
− x → 0 , f ( )x apresenta o mesmo valor numérico.
Vamos utilizar a tabela de aproximação para verificar este resultado.
Tabela
x ( )
( )
x
senx f x =
M M
x → (^0) f ( )x → 1
Funções limitadas
Definição: Uma função y = f( )x é chamada limitada, se existe uma constante
k ∈ ℜ , tal que
f ( )x ≤ k,∀x∈D( f), isto é , − k ≤f( )x ≤k,∀x∈D( f). Em outras palavras, y = f( )x possui o
conjunto imagem contido num intervalo de extremos reais.
Obs.: D ( f)significa o domínio da função f.
Exemplo 14. Algumas funções limitadas e seus gráficos.
f(x) = sen(x) e g(x) = cos(x) f(x) = k f(x) = sen(2x
2 +3x-1)
Proposição: Se lim f( )x^0 g( )x
x
x a
e
ou
→±∞
→
é uma função limitada, então lim f( )x.^ g( )x^0
x
x a
→±∞
→ ou
Exemplo 15.
a) Calcule
( )
x
senx lim x →+∞
Solução:
( )
→ +∞ x
senx lim x
⋅ ( ) = →+∞
sen x x
lim x
- Usando a proposição: Se x →+∞ então (^0)
x
→. Como a função^ sen( )^ x é limitada, então o
resultado é zero.
Gráfico da função ( )
( )
x
senx f x = :
Observe que as oscilações vão reduzindo a sua amplitude quando x →+∞. O resultado do limite
permanece o mesmo se x →−∞.
b) Calcule
( )
x
cosx lim x →+∞
Solução: de forma análoga...
( )
→ +∞ x
cosx lim x
cos ( )x 0 x
lim x
→+∞
Gráfico da função ( )
( )
x
cosx f x = :
Observe que, da mesma forma que a função anterior, as oscilações vão reduzindo a sua amplitude
quando x →+∞. O resultado do limite permanece o mesmo se x →−∞.
c) Calcule cos( )x x 1
x 1 lim x^2
→+∞
x 1
x 1 lim x^2
^ =
→+∞
(Por quê?) e cos( ) x é uma função limitada. Logo, cos( )x 0 x 1
x 1 lim x^2
→+∞
Gráfico da função ( ) cos( )x
x 1
x 1 f x 2
Atividades (grupo 12).
- Resolva os limites abaixo usando o conceito de função limitada:
a) lim e sen( )x
x
x
→−∞
. b)
( ) x
x
x (^2)
3 cosx 2 lim
→+∞
b) Calculando o limite, temos:
( )( ) ( )( )( ) lim ( 1 x)( x 1 ) 4 x 1
1 x 1 x x 1 lim x 1
x 1
x 1
1 x 1 x lim x 1
1 x lim x 1 x 1 x 1
2
x 1
→+^ →+ →+ →+
( ) ( )( ) 2 lim ( x 1 ) 2 ( 2 ) 4 1 x
x 1 x 1 2 lim 1 x
2 x 1 lim 1 x
2 x 2 lim x 1 x 1
2
x 1
2
x 1
− − − − → → → →
Como os limites laterais são iguais, temos que lim g( x) 4 x 1
→
Calculando a imagem, temos: g ( ) 1 = 1 − 5 ( ) 1 =− 4.
Como limg( )x g( ) 1 x 1
→
, então a função é contínua no ponto x 0 = 1.
Atividades (grupo 13).
Determine, se possível, a constante a ∈ℜde modo que as funções abaixo sejam contínuas no ponto
x (^) o, sendo:
a) ( ) ( x 1 ) x 2 ,x 1
3 ax 2 ,x 1 f x o
2
=
=. (^) b) ( ) ( x 1 ) a ,x 1
ax 2 ,x 1 g x o 2
2
=
Atividades (grupo 14).
Determine, se possível, as constantes a e b∈ℜde modo que as funções abaixo sejam contínuas no
ponto xo , sendo:
c) ( ) ( x 3 )
bx 1 ,x 3
ax,x 3
3 x 3 ,x 3
f x o
2
=. d) ( )
( )
( x 0 )
b 2 x ,x 0
7 x 3 a,x 0
2 a.cos x 1 ,x 0
g x o
2
π+ + <
Propriedades das funções contínuas.
Se as funções f e g são contínuas em um ponto x 0 , então:
i) f ± g é contínua em x 0 ;
ii) f
. g é contínua em x 0 ;
iii) f / g é contínua em x 0 desde que g (^ x 0 )^ ≠ 0.
- Problema da área sob o arco da parábola
2 y = x no intervalo [ 0 , 1 ](Figura 1).
Método dos retângulos.
Figura 1.
Dividindo o intervalo [ 0 , 1 ]em n subintervalos, cada subintervalo terá comprimento 1 n:
o subintervalo
n
o subintervalo
n
n
o subintervalo
n
n
, ... , n
o subintervalo
n
n , n
n 1
. Obs.: 1 n
n =.
Vamos construir retângulos (Figura 2) cujas bases são ao subintervalos e cujas alturas são as
imagens dos extremos direito
de cada subintervalo pela função
2 y = x :
a altura pode ser calculada sobre qualquer ponto do subintervalo, neste caso foi tomado o extremo
direito.
Figura 2. Figura 3.
Calculando as área desses retângulo ( A = b.h), obtemos:
2
2
1 n
n
A = ⋅ ,
2
2
2 n
n
A = ⋅ ,
2
2
3 n
n
A = ⋅ , ... ,
2
2
n n
n
n
A = ⋅.
A área total desses retângulos ( tn A ) nos dá uma aproximação da área (Figura 1) que queremos
calcular:
= (^) ∑ = + + + +
2
2 2 2 2
2
2
2
2
2
2
2
n 2
i 1
t i n
1 2 3 n
n
n
n
n
n
n
n
A A
n
L
L
