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Apostilas de Matemática Básica sobre a Função, Introdução ao conceito de função, A noção de função, Gráfico, Taxa de variação, Gabarito das atividades.
Tipologia: Notas de estudo
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Não perca as partes importantes!
Metas Esta aula é sobre uma noção matemática útil ao estudo de relacionamento entre grandezas.
Objetivos Ao final desta aula você deve: ter uma ideia intuitiva da noção matemática conhecida como função; conhecer termos relacionados à noção de função; conhecer a noção de gráfico de função e saber interpretar informações geométricas.
Ao se estudar fenômenos que ocorrem na natureza, verifica-se que sempre estão presentes duas (ou mais) grandezas relacionadas entre si. Por exemplo:
Quando se verifica uma relação entre duas grandezas dizemos que uma é (ou está em) função da outra.
Como já foi visto, de modo geral é possível trabalhar com variáveis numéricas no lugar de grandezas. Neste caso, busca-se relações matemáticas entre as variáveis para representar as relações entre as grandezas.
Exemplo: Uma dívida de mil reais cresce com uma taxa de juros simples de 5% ao mês. Assim, o valor de dívida D está em função do número de meses n sem pagar. Como se pode conhecer a dívida acumulada ao longo de n meses? Analisando cada mês, tem-se que: início: D 0 = 1000 1 o^ mês: D 1 = D 0 + 5% D 0 = 1000 + 50 = 1050 2 o^ mês: D 2 = D 1 + 5% D 0 = 1050 + 50 = 1100 3 o^ mês: D 3 = D 2 + 5% D 0 = 1100 + 50 = 1150 n o^ mês: Dn =? Note que a sequência de valores forma uma progressão aritmética, onde o primeiro termo é 1000 e a razão é 50. Assim, é imediato deduzir que Dn = 1000 + 50 n é uma expressão matemática que dá o valor do montante a cada mês.
Exemplo: Se 12 operários, trabalhando 9 horas por dia, demoram 18 dias para construir um muro de 15 metros de comprimento, quantos dias tardarão 7 operários, trabalhando 8 horas por dia, na construção de um muro de 21 metros de comprimento? Para determinar uma expressão matemática que represente o problema dado, vamos analisar o comportamento da grandeza número de dias com relação a variação
Se for decidido que é interessante interpretar matematicamente um determinado fenômeno, o problema que se deve considerar é o seguinte: dado um fenômeno, com as grandezas envolvidas interpretadas como variáveis numéricas, como representar o fenômeno matematicamente? Ou melhor, qual a expressão matemática que representa o fenômeno? Mais ainda, uma vez determinada uma relação matemática que represente o fenômeno estudado, o que podemos deduzir, ou prever sobre o fenômeno, a partir da expressão matemática? Antes de alcançar o ponto de poder tentar responder este tipo de questão, é conveniente primeiro estudar variáveis relacionadas por expressões matemáticas, de um ponto de vista abstrato. Assim, no estudo que segue, usaremos sempre duas variáveis matemáticas, por exemplo: x e y. Se tivermos que os valores numéricos da variável y dependem dos valores numéricos atribuídos à variável x , dizemos que a variável y está em função da variável x podemos indicar esta dependência pela representação simbólica,
y = f ( x ).
Quando temos uma variável em função de outra, dizemos simplesmente que temos uma relação de função. Numa relação de função, y = f ( x ), a variável x é chamada variável independente e a variável y é chamada variável dependente. É comum também falar sobre x dizendo o ponto x e sobre y dizendo o valor y. Deste modo, quando se tem y 1 = f ( x 1 ), diz-se que y 1 é o valor da função no ponto x 1.
Exemplo: Se y = x^2 + x – 2, temos declarado que y está em função de x e, neste caso, temos explicitamente como se dá está relação de dependência, temos f ( x ) = x^2 + x – 2. Em particular, podemos perguntar qual é o valor de y no ponto 3, por exemplo. Isto significa saber quanto vale y quando x = 3. Temos que o valor de y no ponto x = 3 é 10, o que é equivalente à informação f (3) = 10. Esta informação é obtida com a substituição de 3 no lugar de x na expressão de y , 3^2 + 3 2 = 9 + 1 = 10.
Atividade 1: Considere a relação de função dada por y = x^2 – x – 6. a) Qual é a expressão matemática que determina a relação de função, y = f ( x ). b) Qual é o valor de y quando x = 0? c) Quais são os pontos x para os quais y tem valor 0?
Em uma relação de função nem sempre conhecemos a expressão matemática que relaciona as variáveis. Nesta hora, a representação simbólica, y = f ( x ), é bastante útil. Aliás, a representação de uma variável pode ser feita por qualquer letra. Por exemplo, às vezes podemos ter também x em função de y , ou podemos ter a variável z em função da variável t.
Atividade 2: Em uma relação de função matemática entre as variáveis a e t , a variável t é independente e a variável a é dependente. Represente esta ideia de função simbolicamente.
Atividade 3: Admita uma relação de função, y = f ( x ) = x^2 + bx + c. Sabe-se que f (0) = 1 e que o valor de y no ponto 1 é 3. Determine b e c.
Atividade 4: Quantos objetos matemáticos temos envolvidos numa relação de função? Identifique estes objetos.
As relações de função básicas mais conhecidas num estudo inicial são: i) Relação afim: y = ax + b ; ii) Relação quadrática: y = ax^2 + bx + c ; iii) Relação polinomial: y = anxn^ + ... + a 1 x + a 0 ;
iv) Relação de radiciação: y = n^ x ;
v) Relação exponencial: y = ax , a > 0, a 1; vi) Relação logarítmica: y = log b x , b > 0, b 1; vii) Relações trigonométricas: y = cos x , y = sen x e y = tg x.
Neste curso, só estudaremos de forma sistemática a relação de função do tipo afim, y = ax + b. Faremos isto na próxima unidade.
Dada uma relação de função y = f ( x ), às vezes a expressão f ( x ) pode impor restrições a escolhas da variável independente x. O domínio de uma relação de função é o subconjunto de onde a variável independente está definida. Por exemplo, se uma
domínio dos valores da variável independente, x. Como o aluno pode perceber, temos aqui um objeto matemático relativamente complexo, com várias componentes. A componente que dá a expressão uma variável em função da outra é a mais importante, mas ela sozinha não define a relação completamente. Veja o exemplo a seguir.
Exemplo: A relação de função y = x^2 , quando x está restrito ao intervalo [0, 1], é completamente diferente da relação de função y = x^2 , quando x está restrito ao intervalo [1, 1]. Por exemplo, na primeira relação, o valor y = 0,25 é obtido só com um ponto, com o ponto x = 0,5. Já na segunda relação, o valor y = 0,25 pode ser obtido a partir de dois pontos, os pontos x = 0,5 e x = 0,5.
A fim de deixar a referência a uma relação de função mais precisa, é comum usar uma notação especial.
Notação: Quando uma variável y está em função de uma variável x , e esta está restrita a um subconjunto X de , a relação de função pode ser representada simbolicamente por
f : X , y = f ( x ).
Importante: Como esta ideia sobre dependência entre variáveis envolve vários elementos, passamos a usar o nome função para fazer referência a todo estes conjunto de elementos.
Exemplo: Considere a função f : , y = 3 x + 1. Isto significa que estamos considerando a relação de função y = f ( x ) dada pela regra y = 3 x + 1 e também que a relação está definida para todo x , isto é, Dom( f ) =.
Atividade 7: a) Considere a função f : [1, 3] , y = f ( x ). Determine Dom( f ).
b) Uma função é dada pela relação entre as variedades, y = x 1. Represente esta função pela notação que você acabou de conhecer. c) Considere a função g : (0, 2) , y = x^3 x. Determine os pontos x para os quais tem-se o valor y = 0.
