Baixe limites para calculo e outras Exercícios em PDF para Matemática, somente na Docsity!
GOVERNO FEDERAL
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO
UNIVERSIDADE FEDERAL DO VALE DO SÃO FRANCISCO CAMPUS JUAZEIRO/BA COLEG. DE ENG. ELÉTRICA PROF. PEDRO MACÁRIO DE MOURA
Discente ___________________________________________CPF
Limites e Continuidade
A Importância do Estudo de Limite
O estudo dos limites é fundamental para o entendimento das ideias de derivadas e integrais. Neste momento, trabalharemos apenas a ideia intuitiva e informal de limite, sem as definições rigorosas e as demonstrações formais de suas propriedades. A ideia intuitiva de limite é trabalhada geometricamente por meio de sequências e pela análise do gráfico de uma função. A noção de limite de uma função, e o uso do deste é de fundamental importância na compreensão e, consequentemente, no desenvolvimento de grande quantidade de tópicos no campo das ciências que lidam com a Matemática. O Cálculo Diferencial e Integral é uma um ramo da matemática, toda ela, fundamentada no conceito de limite. O conceito de limite de uma função é uma das ideias fundamentais que distinguem o Cálculo da Álgebra e da Trigonometria. Suponha que um físico deseje obter quanto vale determinada medida, quando a pressão do ar é zero. Na verdade é impossível obter o vácuo perfeito. Então um procedimento a ser adotado é experimentalmente efetuar-se essas medidas com valores cada vez menores de pressão, se os valores desta medida tendem para um determinado número L , admite-se que no vácuo ela seria igual ao valor. Se representarmos por x a pressão e à medida que quisermos for dada por , então podemos representar esse resultado por:
Esta é uma situação em que se aplica o conceito matemático de limites. Tal conceito é de fundamental importância para o desenvolvimento teórico de derivadas e integrais que possuem várias aplicações na física, eletricidade, mecânica, economia, psicologia, biologia engenharia entre outras.
Breve Histórico
Uma preocupação já presente, entre os gregos antigos consistia na busca de procedimentos para encontrar áreas de figuras com diferentes formas. Por meio de transformações geométricas, relacionando figuras com áreas equivalentes, os gregos dedicaram-se, principalmente, ao cálculo de áreas de figuras limitadas por segmentos de reta ou arcos de círculo, pela redução a figuras conhecidas. Quando tratamos do cálculo de áreas de figuras por curvas, é inevitável recorrer a procedimentos que se utilizem, direta ou indiretamente, do conceito de limite. Os gregos resolveram o problema de calcular a área do círculo pela aproximação sucessiva (método de exaustão) de polígonos inscritos com número cada vez maior de lados, de acordo com a sequência de figuras apresentada a seguir.
Calculando a área de um polígono através de sua decomposição em triângulos isósceles com vértices no centro do círculo e bases coincidentes com seus lados, a figura convergia para o círculo circunscrito a todos os elementos da sequência em questão.
Introdução Usamos a palavra limite no nosso cotidiano para indicar, genericamente, um ponto que pode ser eventualmente atingido, mas que jamais pode ser ultrapassado.
Exemplos
- Injetando ininterruptamente ar em um balão de borracha, haverá um momento em que ele estoura. Isso porque existe o limite de elasticidade da borracha.
- Um engenheiro ao construir um elevador, estabelece o limite de carga que este suporta.
- No lançamento de um foguete, os cientistas devem conhecer o limite mínimo de combustível necessário para que a aeronave entre em órbita.
...
Valores de tendendo a 2 pela esquerda.
Valores de tendendo a 0 pela esquerda
Valores de tendendo a 2 pela direita.
Valores de tendendo a 0 pela direita.
Tabela 1
Graficamente, usando o software Graphmatica, temos:
Neste caso, escrevemos em linguagem matemática: x lim 2 ^ f^ ( x )^ lim x 2 f ( x )lim x 2 f ( x )^ ^0
Lê-se: Limites laterais de são iguais ao limite de quando x tende para 2 e é igual a 0.
Problema 02 Tomemos a função , suponha que estejamos interessados em saber
de que valor se aproxima quando se aproxima de 3. Solução: Observe a Tabela 2, atribuamos a x valores menores que 3. Vemos que quanto mais x se aproxima de 3, mais o valor de se aproxima de 6. Matematicamente, representamos esta situação por
Lê-se : limite de quando tende a três pela esquerda é igual a 6.
Tomemos agora valores próximos de três, mas maiores que 3. Note que quanto mais x se aproxima de 3 por valores maiores do que 3, mais se aproxima de 6. Matematicamente, representamos esta situação por
Lê-se: limite de quando tende a três pela direita é igual a 6.
Valores de tendendo a 3 pela esquerda.
Valores de tendendo a 6 pela esquerda
2,5 5, 2,8 5, 2,9 5, 2,99 5, 2,999 5, 2,9999 5, ... ...
Valores de tendendo a 3 pela direita.
Valores de tendendo a 6 pela direita.
3,4 6, 3,2 6, 3,1 6, 3,01 6, 3,001 6, 3,0001 6, ... ...
Estes limites são chamados limites laterais. O limite de uma função existe se, e somente se, os limites laterais existirem e forem iguais Em linguagem matemática devemos ter
Como os limites anteriores são iguais, podemos dizer que o limite
existe, existe, ou seja, e
, mas a função não é continua, já que não está definido. Observe o gráfico ao lado.
Continuidade em Aplicações Nas aplicações, as descontinuidades sinalizam, muitas vezes, a ocorrência de importantes fenômenos físicos. Por exemplo, a Figura 1 é um gráfico da voltagem versus o tempo para um cabo subterrâneo que é acidentalmente cortado por uma equipe de trabalho no instante (A voltagem caiu para zero quando a linha foi cortada.) A Figura 2 mostra o gráfico de unidades em estoque versus tempo para uma companhia que reabastece o estoque com unidades quando o estoque cai para unidades. As descontinuidades ocorrem nos momentos em que acontece o reabastecimento.
Figura 1 Figura 2
Lista de Exercícios
- Seja a função definida por. Esboce o gráfico de e calcule.
- Dada a função definida por:. Esboce o gráfico de e calcule
o seu limite quando tende a 1.
- Um fazendeiro estabelece o preço da saca de café em função da quantidade de sacas
adquiridas pelo comprador através da equação , em que é o preço em dólares por saca e é o número de sacas vendidas. a) Quanto deve pagar, por saca, um comprador que adquirir 100 (cem) sacas? b) Quanto deve pagar, por saca, um comprador que adquirir 200 (duzentas) sacas? c) Sabendo que um comprador pagou 54 dólares por saca, quantas sacas comprou? d) O que acontecerá com o preço de cada saca, em uma compra muito grande (x )? Respostas : a) 52 dólares b) 51 dólares c) 50 sacas d) P(x) $ 50 quando x
- Para estudar a velocidade na qual os animais aprendem, um estudante de psicologia executou um experimento no qual um rato era enviado repetidamente através de um labirinto de laboratório. Suponha que o tempo requerido pelo rato para atravessar o labirinto na enésima tentativa era de aproximadamente minutos.
a) Para que valores de a função tem significado no contexto do experimento
psicológico? Resposta: Todo inteiro positivo(Z * )
b) Quanto tempo leva para que o rato atravesse o labirinto na terceira tentativa? Resposta: 7 minutos c) Em qual tentativa o rato atravessou pela primeira vez o labirinto em 4 minutos ou menos? Resposta: 12 a^ tentativa d) De acordo com a função f , o que acontecerá com o tempo requerido pelo rato para atravessar o labirinto à medida que o número de tentativas aumenta? Será o rato um dia capaz de atravessar o labirinto em menos de 3 minutos? Resposta: O tempo necessário aproximar-se-á de, mas nunca será menor do que 3 min.
- O gráfico a seguir representa uma função de em. Determine: a) f ( 1 )= b) (^) x lim 1 f ( x ) c) x lim 1 f ( x )
Resposta : a) f ( 1 ) 5 b) 3 c) 5
- Um paciente em um hospital recebe uma dose inicial de 200 miligramas de um medicamento. A cada 4 horas recebe uma dose adicional de 100 mg. A quantidade f ( t ) do medicamento presente na corrente sanguínea após t horas é exibida na figura a seguir. Determine e interprete: a) lim t 8 f ( t ) b) p lim 8 f ( t )
Resposta : a) 150 b) 250 Interpretação : Não existe limite.
b) lim x (^) a [ f ( x ) g ( x )] L M
c) lim x (^) agf (( xx ))=ML desdequeM 0
d) lim x a f ( x ) n L^ n (p/inteiro positivo n)
e) lim x (^) an f ( x )^ nL ,desdequeL 0 p/npar
f) lim x (^) a ln f ( x ) ln. L ,desdequeL 0
g) lim x (^) a cosf(x) cos( L )
h) lim x (^) a senf(x) sen ( L )
i) lim x a e f (^ x ) eL
Exemplo : Determine o seguinte limite:
lim x 2 ( x^2 3 x 1 ) lim lim 3 lim 1 22 3. 2 1 1
2 2 2
2 2
3 (^)
P x x x
P x x
Vemos neste exemplo que o valor de lim x (^) af ( x ) f ( a )
Isto na verdade ocorre para todos os polinômios. Enunciando então, formalmente, temos:
Teorema I : Se f é uma função polinomial, então: lim x (^) af ( x ) f ( a ).
Exemplos :
Calcule lim x 2 ( x^2 5 x 1 ) 22 5 2 1 5
Calcule
^
(^) x ,sex> 2 lim ( )sendo 3x,sex^2 (^) x 2 f x 2.
Solução :Se x 2 limx 2 f ( x ) 3 2 6. Por outro lado, x > 2 limx 2 + f ( x ) 22 4.
Portanto, não existe o limite.
Além deste, temos ainda outros teoremas que nos fornecem resultados úteis para o cálculo de limites.
Teorema II : Se f é uma função racional, e a pertence ao domínio, então:
lim x a q ( x ) q ( a )
Exemplos :
- Calcule lim^56271
2 (^3)
(^) x
x x x Solução :
11
lim^52212 (^3)
(^) x
x x x
- Calcular lim x 5 3 3 x^2 4 x 9
Solução :
lim x 5 3 3 x^2 4 x 9 ^3 lim x 53 x^2 4 x 9 =^375 - 20 + 9 ^364 4
Em resumo : Sejam f e g funções tais que: limx p f(x) L 1 e limxpf(x)L 2 então:
- lim x p [ f ( x ) g ( x )] L 1 L 2 lim x pf ( x )lim x pg ( x ), ou seja, o limite da soma é igual a soma
dos limites.
lim x p k f ( x ) k . L 1 k lim x pf ( x )
limx p [f(x)g(x)]L 1 L 2 limxpf(x)limxpg(x)
lim x p [ f ( x ) g ( x )] L 1 L 2 lim x pf ( x )lim x pg ( x )
limg(x),desdequeL 0
limf(x) L
L
g(x) lim f(x) 2 x p
x p 2
1 x p
- lim[f(x)] L limf(x) ,n N
n x p
n 1 n x p
- limx p nf(x) n^ L 1 n limxpf(x),desdequeL 1 0 (nocasoemquenépar)
12)lim (^) x 4 x 10 x^83 x 36 x^182 x 54 x^2727
4 3 2 x (^3)
2 x 4 lim x^2 x (^2)
x 2
lim x^4 x (^4)
limx (^02) x 4 x=
limx (^02) x 2 x=
limx 12 x^31 x=
x 1 1 lim x (^) x (^0) =
x 2
lim^12 x^3 x (^4)
3 x 5 x 1 1
lim 2 x^3 x^22 2
2 x (^2)
Respostas: 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 (^8 4) - 5 - 6 2 5 -3 -4 - 3
Limites no Infinito Introdução :
Consideremos a função f definida por f ( x ) x^1 e analisemos, mediante uma tabela, o seu
comportamento quando os valores de crescem ilimitadamente através de valores positivos.
x 4
1 1 2 3 4 10 100 1.000^ 10.000^ 100.
4 3 2 1 2
Pela tabela constatamos que quando cresce ilimitadamente através de valores positivos, os valores da função se aproximam cada vez mais de 0 (zero). Simbolicamente, representamos tal fato por: , que se lê: “limite de f de , quando tende a mais infinito, é
igual a zero”.
x
f ( x )
x
x lim f ( x )^0 x x
Observação : Quando uma variável independente está crescendo ilimitadamente através de valores positivos, escrevemos: “ (^) ”. Devemos enfatizar que não é um número
real. O símbolo indica, portanto, o comportamento da variável independente.
Consideremos agora, para a mesma função, uma tabela onde os valores da variável decrescem ilimitadamente através de valores negativos.
x - 4
1 -^1 -^2 -^3 -^4 -^10 -^100 - 1.000^ - 10.000^ - 100.
1 - 0,1^ - 0,01^ - 0,001^ - 0,0001^ - 0,
Observando a tabela anterior verificamos que à medida em que os valores de decrescem ilimitadamente através de valores negativos, os valores da função se aproximam cada vez mais de 0 (zero). Usando o simbolismo “ ” para indicar os valores de que estão decrescendo ilimitadamente, representamos simbolicamente o fato acima por um
x lim f ( x )^0 , que se lê: “limite de^ f de^ , quando^ tende a menos infinito, é igual a zero.
Pelo gráfico da função f ( x )^1 x cujo esboço é
indicado pela figura ao lado, notamos que quando x cresce ilimitadamente através de valores positivos ( ), os valores da função f ( x ) aproximam-se cada vez mais de 0 (zero). E, portanto, simbolicamente podemos escrever
ou (^) x lim (^1) x 0.
Analogamente, observando o comportamento da função através do seu gráfico (figura indicada acima), constatamos que quando x decresce ilimitadamente através de valores negativos ( ), os valores da função f ( x ) aproximam-se cada vez mais de 0 (zero). Simbolicamente, escrevemos:
x lim f ( x )^0 ou^ x lim (^1) x ^0.
x x x
x
f ( x )
x
x x
x x
x
x lim f ( x )^0
x
Propriedades dos Limites no Infinito
Limite de uma função Polinomial
Consideremos a função polinomial P ( x ) 4 x^3 6 x^2 7 x 13 , podemos escrevê-la
na seguinte forma:
P ( x ) 4 x^3 ^1 46 x 47 x 2 413 x 3
Portanto,
x lim P (^ x )^ x lim(^4 x^3 ) x lim^1 46 x 47 x^2 413 x^3
Ora, é claro que:
lim (^146472 4133) 1
x (^) x x x
Temos, então:
x lim ^ P (^ x )^ x lim(^4^ x^3 ) Assim, temos dois casos:
x lim P (^ x )^ x lim(^4^ x^3 )^ e x lim P (^ x )^ x lim(^4^ x^3 )
Generalizando , sendo P ( x ) an xn an 1 xn ^1 ... a 2 x^2 a 1 x a 0 , podemos sempre escrever:
n n x lim P^ ( x )^ x lim ax
Limite de uma função racional
Dada a função racional (^) f ( x ) QP (( xx )), onde P e Q são funções polinomiais em x com:
P ( x ) an xn an 1 xn ^1 ... a 2 x^2 a 1 x a 0 e Q ( x ) bm xm bm 1 xm ^1 ... b 2 x^2 b 1 x b 0
Sendo an 0 e bm 0 .Tem-se então que:
nm m x m n m
n n x m m x
n n x x
x x x b x
a b x
ax b x
ax Qx
P x Qx f x P x
^ lim lim lim
lim lim ( )
lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )
Dependendo do valor de n e m , três casos podem ser considerados:
1 o) n m x lim f ( x )
2 o) n m x lim f ( x ) 0
3 o) m
n x (^) b n m f x a lim ( )
Exemplos :
- x lim 10 x 9 x x 10 ^8 xx 4115 x lim^109 xx 2 ^109 x lim x
3 2
3 2
- lim 15 28 1016 1192 lim^15415 lim^11500
3 4 2
3 2 x (^) xx xx x x x xx x x ^
- lim 57 148 118 52 lim 57 3 75 lim 1 57
3 3 2
3 2 x (^) xx xx xx x xx x ^
- Calcule 1
lim (^2) x
x x
Solução :
Para calcularmos este limite, escrevemos x^ ^ x^2 ( x ^0 ,pois x )e então dividimos o
numerador e o denominador, sob o sinal do radical, por x^2.
lim^1 1
lim 1
lim 1
lim 2 2 2
2
2
2
2
2 2
x x^ x
x
x
x
x
x x
x x x x x
j) (^) x lim ex Resposta : 0
k)
lim (^1)
(^) x (^) x Resposta : 1
l)
lim (^1)
(^) x (^) x Resposta : 1
m)
x x e
1 lim 3 Resposta : 4
n) (^) x lim ln x 2 1 Resposta :
o) (^) x lim ln x 2 1 Resposta :
p) (^) x lim x x^2 1 Resposta : 0
- Usando as propriedades e os teoremas sobre limites, calcule os limites abaixo:
)lim 164 68 37 d)lim 15
)lim 3 2 7 b)lim 3 4
(^3) x 2
2
2 x 2
3 2
21
x x c x x
a x x x x
x
x
(^3 )
2 (^43)
2 3 1
(^24)
2
h)lim^253 ( 6 5 ) g)lim(^453 )
f)lim^61 6 7 2 ) lim^253 21
x
x x t
t t
s
s x x e x x
t x
x s
4 +x se x 3
j)limf(x)sendo^9 se x<-
)lim 3 4 3 2
2 x 3
(^23) 2
x
i (^) x x x
)lim ( ),sendof(x)=^4 x-2x sese xx> 22
3 k (^) x 2 f x
- Calcule os limites: ^ 2 (^2) x 3
2 1
5 x 2 3 )lim 4 2x 4 63 d)lim x- 9 - x
2 x b)lim^5 - 2x x- 1 )lim 3x^2
x x c x
a
x
x
- Considere a função definida por:
x^2 se x
se x
x se x
f x , determine:
( a ) limx 1 f ( x ) ( b )limx 1 f ( x ) (c)limx 1 f ( x )
- Considerando as funções definidas nos item a, b e c, encontre os limites abaixo, se
existirem:(^ i )^ lim x^ ^1 f ( x ) ( ii )lim x ^1 f ( x ) ( iii )lim x ^1 f (^ x )
3 - x se x 1
) ( )^31 se x^1
x 1 se x 1
) ( )^4 se x^1
2
b f x^ x
a f x x
x- 2 se x 1
2 se x 1
se x 1 ) ( )
x^2 c f x
- Para a função representada graficamente na Figura a seguir, determine, se existir, cada item abaixo. Caso não exista, justifique. ) (^) lim f(x) b)limf(x) c)limf(x) d)limf(x) e)f(3) x (^0) x 3 ^ x 3 -^ x 3
a
- Para a função representada graficamente na Figura a seguir, determine, se existir, cada item abaixo. Caso não exista, justifique. ) (^) lim f(x) b)limf(x) c)limf(x) d)limf(x) e)f(3) f)f(-2) g)limf(x) h)limf(x) x 3 -^ x 3 ^ x 3 x 1 x 2 - x 2
a
