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LISTA 2
Cálculo 1A - 2021.
Introdução às funções Funções pares e ímpares Transformação de gráficos
Exercício 1
Determine o domínio das funções abaixo:
- f (x) =
− 2 x^2 + x − 1 4 − x^2
- f (x) =
√ (^43) x (^2) + 4x − 1
5 − 2 x
- f (t) =
t t^3 − 2 t^2
- g(s) =
s √ (^3) s − 1 +
16 − s^4.
Exercício 2
Para cada uma das figuras abaixo, determine se a curva dada é o gráfico de uma função de x. Se for o caso, obtenha o domínio e a imagem da função.
Exercício 3
A equação x − y^4 = 0 define uma curva no plano.
- Esboce a curva e determine x como função de y;
- A curva é gráfico de uma função de x?
- Quais as funções de x que podem ser usadas para descrever toda a curva? Identifique-as na curva.
Exercício 4
Uma caixa com tampa, em formato de paralelepípedo de base quadrada, deve ter volume 1000 cm^3. Determine a área total desta caixa em função da medida ` de cada aresta da base.
Exercício 5
Um fabricante deseja construir um recipiente, na forma de um cilindro circular reto, que deverá armaze- nar 1000 cm^3 de óleo (o recipiente possui as tampas circulares). O custo de produção do recipiente é medido pela área total do recipiente. Determine uma função real (sua lei de associação e o seu domínio) que expresse
o custo de produção em termos do raio r da base circular do cilindro medida em cm.
Use o GeoGebra para fazer o gráfico da função e, por meio deste gráfico, responda:
- É possível gerar um cilindro com custo igual a 500?
- É possível gerar um cilindro com custo igual a 1000? De quantas maneiras diferentes?
Exercício 6
- Se o ponto (5, 3) estiver no gráfico de uma função par, que outro ponto também deverá estar no gráfico?
- Se o ponto (5, 3) estiver no gráfico de uma função ímpar, que outro ponto também deverá estar no gráfico?
Exercício 7
Uma função tem o domínio [− 5 , 5] e uma parte de seu gráfico é mostrada na figura a seguir.
- Complete o gráfico de f sabendo que f é uma função par.
- Complete o gráfico de f sabendo que f é uma função ímpar.
Exercício 8
Para cada item a seguir, determine se f é par, ímpar, nenhum dos dois ou os dois ao mesmo tempo.
- y = f (x) = x^4 − 4 x^2 , x ∈ R
- y = f (x) = x^3 − x, x ∈ R
- y = f (x) = 1, x ∈ R
- y = f (x) = 3 x^3 + 2 x^2 + 1, x ∈ R
- y = f (x) = |x| + x^2 + 1, x ∈ R
- y = f (x) = |x| + x, x ∈ R
Exercício 9
Verdadeiro ou falso? Se f é uma função par, então f não é uma função ímpar. Justifique sua resposta!
- Determine as funções g e h para o caso em que f é uma função par.
- Determine as funções g e h para o caso em que f é uma função ímpar.
Exercício 14
Sabemos a imagem de alguns pontos das funções f e g conforme a tabela abaixo:
x -2 -1 1 2 3 5 f (x) 2 1 0 2 -1 - g(x) 2 5 3 -2 0 1
Calcule, se possível, (f ◦ g)(2), (f ◦ g)(3), (g ◦ f )(5), (f ◦ f )(−2), (g ◦ g)(5).
Exercício 15
Sejam f (x) = 5x − 2 e g(x) = x^2 + f (x). Calcule (f ◦ g)(2).
Exercício 16
Para cada um dos itens abaixo calcule (f ◦ g)(x) e o D(f ◦ g).
- f (x) = x^2 − 2 x − 1 e g(x) = x + 1;
- f (x) =
x − 2 e g(x) = x^2 − 2 ;
- f (x) = 3
x + 5 e g(x) = x^3 − 5 ;
Exercício 17
Considere uma função f : [0, +∞) → R tal que f (x) > 5 se, e somente se, x > 3.
- Determine o domínio da função definida por g(x) = f (x^2 − 1).
- Determine o domínio da função definida por h(x) =
5 − g(x).
Exercício 18
Na figura abaixo está representado o gráfico da função f : R → R definida por f (x) = −3 sen(2x). Quais são as coordenadas dos pontos A e B.
A
B
Exercício 19
O ponto (2, π) pertence ao gráfico de y = f (x). Indique as coordenadas do ponto correspondente, após fazermos a tranformação y = | 2 f (x + 5) − 10 |.
Exercício 20
A figura abaixo representa o gráfico da função g. Faça um esboço do gráfico da função y = g(2x).
x
y
Exercício 21
Faça um esboço dos gráficos das funções abaixo, a partir dos gráfico da função f (x) = ex, x ∈ R.
− 1 1
2
4
6 f (x) = ex
- g(x) = −1 + 2ex
- h(x) = 1 − e|x|
Exercício 22
Considere a função f (x) =
x, x ≥ 0. Se deslocarmos o gráfico de f três unidades para a esquerda, uma unidade para cima e refletirmos em relação ao eixo y, obtemos o gráfico da função g. Qual a expressão de g?
Solução do Exercício 1
- Devemos ter
− 2 x^2 + x − 1 4 − x^2
≥ 0 , portanto vamos fazer o produto dos sinais entre o numerador e o deno- minador:
(−∞, −2) − 2 (− 2 , 2) 2 (2, +∞) − 2 x^2 + x − 1 − − − − − 4 − x^2 − 0 + 0 − − 2 x^2 + x − 1 4 − x^2
Solução do Exercício 4
Seja h a altura da caixa, então seu volume é igual a h`^2 , mas é dado que o volume é igual a 1000, portanto
1000 = h`^2 ⇒ h =
`^2
. Logo, a área total da caixa em função de é dada por A = 2^2 +4h = 2^2 +4`
`^2
A() = 2^2 +
`
, para ` > 0.
Solução do Exercício 5
A área total do recipiente é dada por A = 2πr^2 + 2πrh e precisamos escrever h em função de r para que A seja
função somente do raio r. Pelo dado do problema, V = πr^2 h = 1000 ⇒ h =
πr^2
e portanto, temos que
A(r) = 2πr^2 + 2πr
πr^2
= 2πr^2 +
r
, r > 0.
Gráfico com o GeoGebra:
- Observe que o custo é medido pela área (quanto vai gastar de material). Traçando o gráfico de A(r) no plano ry e a reta y = 500, observamos que não existe interseção entre os dois, o que significa que 500 não pertence à imagem de A, para r > 0 , ou seja, A(r) é diferente de 500 para todo r > 0. Assim, não é possível gerar um cilindro com custo igual a 500.
- Traçando o gráfico de A(r) no plano ry e a reta y = 1000, observamos que existem 2 interseções entre os dois gráficos, o que significa que há 2 valores do raio que estão associados ao custo de 1000 (r 1 ≈ 2 , r 2 ≈ 11). Portanto, há duas maneiras diferentes de construir um recipiente cilíndrico com o custo de 1000.
Solução do Exercício 6
Solução do Exercício 7
- Sabendo que f é uma função par, seu gráfico será simétrico em relação ao eixo y. Portanto, o gráfico da f
fica assim:
- Sabendo que f é uma função ímpar,seu gráfico será simétrico em relação à origem. Portanto, o gráfico da f fica assim:
Solução do Exercício 8
- f é par, pois f (−x) = (−x)^4 − 4(−x)^2 = x^4 − 4 x^2 = f (x), ∀x ∈ R.
- f é ímpar, pois f (−x) = (−x)^3 − (−x) = −x^3 − (−x) = −(x^3 − x) = −f (x), ∀x ∈ R.
- f é par, pois f (−x) = 1 = f (x), ∀x ∈ R.
- f não é par e nem ímpar. De fato, para x = − 1 , temos f (−1) = 3(−1)^3 + 2(−1)^2 + 1 = −3 + 2 + 1 = 0, porém f (1) = 6. Assim, f (−1) 6 = f (1) = 6 e f (−1) 6 = −f (1) = − 6.
- f é par, pois f (−x) = | − x| + (−x)^2 + 1 = |x| + x^2 + 1 = f (x), ∀x ∈ R.
- f não é par e nem ímpar. De fato, para x = − 1 , temos f (−1) = | − 1 | + (−1) = 1 − 1 = 0, porém f (1) = 2. Assim, f (−1) 6 = f (1) = 2 e f (−1) 6 = −f (1) = − 2.
Solução do Exercício 9
Falso! Como contraexemplo, considere a função nula y = f (x) = 0 para todo x ∈ R. Note que f é par e ímpar ao mesmo tempo. (Veja exercício anterior!)
Solução do Exercício 10
Como a função é ímpar, a área do gráfico entre − 6 e 0 será igual à área entre 0 e 6 , que é 10+3=13. Assim, como a área entre 1 e 6 é 5+7=12, a área entre 0 e 1 será 13 − 12 = 1. Com isso, a área entre − 1 e 0 será 1. A
Solução do Exercício 16
(a) (f ◦ g)(x) = x^2 − 2 , D(f ◦ g) = R;
(b) Começamos com o domínio: g está definida para todo x real, mas a D(f ) = [2, +∞), logo devemos determinar os valores de x, tais que g(x) ∈ [2, +∞). Devemos resolver a inequação g(x) ≥ 2 para determinarmos o domínio da composta f ◦ g. Mas, x^2 − 2 ≥ 2 ⇔ x^2 − 4 ≥ 0 ⇔ x ≤ − 2 ou x ≥ 2. Assim, D(f ◦ g) = (−∞, −2] ∪ [2, +∞). De posse do domínio, vamos determinar a expressão da composta: (f ◦ g)(x) =
x^2 − 4 , ∀x ∈ (−∞, −2] ∪ [2, +∞) ;
(c) A função g está definida para todo x real e a f também, pois a raiz tem índice ímpar. Portanto, D(f ◦ g) = R e (f ◦ g)(x) = x, ∀x ∈ D(f ◦ g) = R.
Solução do Exercício 17
- Como D(f ) = [0, +∞), x deve ser, tal que x^2 − 1 ≥ 0 , portanto devemos ter x ∈ (−∞, −1] ∪ [1, +∞). Logo, D(g) = (−∞, −1] ∪ [1, +∞).
- Devemos ter x ∈ D(g) e 5 − g(x) ≥ 0. Mas, 5 − g(x) ≥ 0 ⇔ 5 − f (x^2 − 1) ≥ 0 ⇔ f (x^2 − 1) ≤ 5 ⇔ x^2 − 1 ≤ 3 ⇔ x^2 − 4 ≤ 0 ⇔ − 2 ≤ x ≤ 2. Assim, pelo item anterior, x ∈ D(g)∩[− 2 , 2] = [− 2 , −1] ∪ [1, 2].
Solução do Exercício 18
Primeira solução: O ponto A está associado à imagem − 3 da função e ocorre no menor valor positivo de x, mas −3 sen(2x) = − 3 quando 2 x = π 2 + 2kπ ⇔ x = π 4 + kπ. Portanto, ocorre quando k = 0, assim A =
( (^) π 4 ,^ −^3
O ponto B está associado ao segundo valor positivo de x onde a imagem da função é igual a 3 , mas −3 sen(2x) = 3 quando 2 x = 32 π + 2kπ ⇔ x = 34 π + kπ. Portanto, ocorre quando k = 1, assim B =
( (^7) π 4 ,^3
Segunda solução: O ponto A é resultado das transformações do ponto ( π 2 , 1) sobre o gráfico de y = sen(x). Fazendo uma compressão horizontal de um fator 2, temos
( (^) π 4 ,^1
, com alongamento vertical de um fator 3, obtemos
( (^) π 4 ,^3
. Finalmente, refletindo em torno do eixo x , chegamos ao ponto A =
( (^) π 4 ,^ −^3
O ponto B é resultado das transformações do ponto ( 72 π , −1) sobre o gráfico de y = sen(x). Seguindo as mesmas transformações anteriores, chegamos a B =
( (^7) π 4 ,^3
Solução do Exercício 19
A partir do gráfico da f foram feitas as seguintes transformações: translação de 5 unidades para a esquerda; alongamento vertical de um fator 2; translação vertical de 10 unidades para baixo ; Modulação( nessa ordem). Assim, aplicando essas transformações ao ponto (2, π), obtemos (− 3 , π) → (− 3 , 2 π) → (− 3 , 2 π−10) → (− 3 , 10 − 2 π), pois | 2 π − 10 | = 10 − 2 π. O ponto correspondente é (− 3 , 10 − 2 π).
Solução do Exercício 20
O gráfico de y = g(2x) é obtido fazendo no gráfico da g uma compressão horizontal de um fator 2:
x
y
1
− 1
− 3 / 2 − 1 / 2 1 / 2
3 / 2
Solução do Exercício 21
- Fazemos um alongamento vertical de um fator 2 ( obtemos y = 2ex), seguido de uma translação vertical de 1 unidade para baixo (obtemos y = 2ex^ − 1 ):
− 1 1
2
4
g(x)
- A exponencial é composta com módulo de x (nesse passo, a parte do gráfico de ex, para x ≥ 0 é refletida em torno do eixo y e juntando, obtemos o gráfico de y = e|x|), depois refletimos em torno do eixo x (nesse passo temos y = −e|x|, finalmente aplicamos uma translação vertical de 1 unidade para cima (obtemos y = 1 − e|x|).
− 1 1
− 2
h(x)
Solução do Exercício 22
Seguindo os passos na ordem dada no enunciado, temos y = f (x + 3) =
x + 3 → y =
x + 3 + 1 →g(x) = 1 +
3 − x. Logo, g(x) = 1 +
3 − x, x ≤ 3.
