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Ficha 11
1. Considere a função 𝑓, real de variável real, definida por
1.1 Determine o domínio da função f.
1.2 Qual das seguintes expressões analíticas pode ser a da função 𝑓?
(A) – 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑖𝑛( 2 𝑥) (B) – 𝑐𝑜𝑠𝑥 (C) 𝑐𝑜𝑠𝑥 × 𝑠𝑖𝑛𝑥 (D)
𝑐𝑜𝑠( 2 𝑥)
𝑠𝑖𝑛𝑥
1.3 Determine: a)
2
0
lim
x
f x
x
→
b)
→
cos
lim
2
x
tgx
x
1.4 Estude, recorrendo ao Teorema de Bolzano, a existência de pelo menos um zero da função
x
f x
h x
( )= no intervalo
2. Seja a função f, de domínio ℝ
, definida por 𝑓(𝑥) =
𝑥−𝜋
− 1 +𝑘
𝑠𝑖𝑛( 2 𝑥)+𝑥
𝑥
2.1 Determine o valor de 𝑘 de modo que a função 𝑓 seja contínua no ponto de abcissa π.
2.2 Estude a função 𝑓 quanto à existência de assíntotas não verticais do seu gráfico.
3. Na figura está representado um quadrado [𝐴𝐵𝐶𝐷], de lado 1. O ponto P desloca-se sobre o lado [𝐶𝐷]. Para
cada posição do ponto P , seja 𝑥 a amplitude do ângulo BAP , 𝑥 ∈ ]
𝜋
4
𝜋
2
].
3.1 Mostre que a área do quadrilátero [𝐴𝐵𝐶𝑃] é dada, em função de 𝑥,
por 𝐴(𝑥) =
2 𝑠𝑖𝑛𝑥−𝑐𝑜𝑠𝑥
2 𝑠𝑖𝑛𝑥
3.2 Calcule lim
𝑥→ 0
1
2 𝑠𝑖𝑛𝑥
3.3 Prove que 𝐴´
3.4 Sabendo que cos
1
2
, 𝑥 ∈ ] 0 ,
𝜋
2
], calcule o valor de 𝐴
4. Determine os valores de 𝑥 ∈
]
]
que satisfazem a condição:
5. Averigue se o gráfico da função 𝑓 definida por 𝑓
( 𝑥
)
𝑥−𝑠𝑖𝑛𝑥
2 𝑠𝑖𝑛
𝑥
2
em
]
[
admite assíntotas verticais.
B
1
2
+∞
𝑘 = 1
𝑦 = 1
1
2 − √
3
2
= k Z
k
D x IRx
f
,
2
:
{
8
9
𝜋}
𝑥 = 2 𝜋
6. Seja 𝑔 a função definida por:
𝑒
− 0 , 3 𝑥
−𝑒
− 0 , 6 𝑥
𝑥
2
6.1 Estude a função 𝑔, no intervalo ] 0 ,
3 𝜋
2
[ , quanto à monotonia e existência de
extremos.
6.2 Calcule lim
𝑥→𝜋
𝑔(𝑥)+ 1
(𝑥−𝜋)
2
.
6.3 Estude a função g quanto à existência de assíntotas verticais do seu gráfico.
6.4 Resolva, em ℝ
−
, a condição 𝑔
2
𝑥
7. Considere a função 𝑓, de domínio [
𝜋
2
[
, definida por:
1
𝑒
𝑥
2
𝜋
2
7.1 Determine as equações das assíntotas ao gráfico de 𝑓.
7.2 Seja ℎ uma restrição da função 𝑓 a 𝐼𝑅
. Estude a monotonia de ℎ e indique o seu contradomínio.
7.3 Para 𝑥 ∈ [
𝜋
2
]
7.3.1 Prove que 𝑓
′
7.3.2 sabe-se que:
- a reta 𝑟 é tangente ao gráfico de 𝒇 no ponto de abcissa 𝑎
- a reta s é tangente ao gráfico da função 𝒇′no ponto de abcissa 𝑎 +
𝜋
4
- as retas r e s são perpendiculares
Mostre que 𝑠𝑖𝑛( 2 𝑎) = −
√
2
2
8. Considere a função 𝑓, de domínio IR, definida por
𝑥− 4
2
Estude a função 𝑓 quanto à existência de assíntotas do seu gráfico paralelas aos eixos coordenados e, caso existam,
indique as suas equações, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.
𝑔 é decrescente em
[
𝜋
3
, 𝜋
] e é
crescente em ] 0 ,
𝜋
3
] mínimo
absoluto em 𝑥 = 𝜋 e
máximo absoluto em 𝑥 =
𝜋
3
.
3
2
Não tem
]−∞, −
10 𝑙𝑛 2
3
]
1
2 − √ 3
2
𝑦 = 𝑥
𝑓 é decrescente
] 0 , ln2[ e é
crescente em
]ln2, +∞[ é
𝑦 = 0
13. Na figura está representado em referencial o.n. uma circunferência de centro na origem e raio 2.
Sabe-se que:
- O triângulo [ABC] é isósceles e está inscrito da circunferência.
- [AE] é um diâmetro da circunferência e está contido no eixo das abcissas.
- [DF] é um diâmetro da circunferência e está contido no eixo das ordenadas.
Considere que o ponto 𝐵 se desloca ao longo do arco 𝐷𝐸 e que o ponto 𝐶 o
acompanha de tal forma que [𝐵𝐶] é sempre perpendicular ao eixo das abcissas.
Para cada posição de 𝐵, seja a amplitude, em radianos, do ângulo 𝐴𝑂𝐵 (𝛼 ∈ ]
𝜋
2
, 𝜋[).
13.1 Suponha que 𝛼 = 2 , 94 𝑟𝑎𝑑. Quais são as coordenadas, arredondadas às centésimas do ponto 𝐶?
(A) (− 0 , 98 ; − 3 , 34 ) (B) (− 0 , 20 ; − 3 , 34 ) (C) (− 3 , 34 ; − 0 , 98 ) (D) (− 0 , 98 ; − 0 , 2 )
13.2 Mostre que a área do triângulo [𝐴𝐵𝐶] é dada, em função de por:
(A) 4 𝑠𝑖𝑛𝛼 − 2 𝑐𝑜𝑠( 2 𝛼) (B) 4 𝑐𝑜𝑠𝛼 − 𝑠𝑒𝑛( 2 𝛼) (C) 4 𝑠𝑖𝑛𝛼 − 2 𝑠𝑒𝑛( 2 𝛼) (D) 4 𝑠𝑒𝑛( 2 𝛼)
13.3 Para um certo número real 𝜃, com 𝜃 ∈ ]
𝜋
2
[
, tem-se que 𝑡𝑔𝜃 = − 2 √
Determine o valor exato de 𝐴(𝜃) , recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora.
14. Considere a função f , de domínio ℝ, definida por:
14 .1. Mostre que ∀𝑥 ∈ ℝ, 𝑓
2
14 .2. Sabe-se que o período positivo mínimo de f é π.
Indique o número de soluções da equação
f x = , no intervalo
− 350 π , 127π.
(A) 477 (B) 446 (C) 956 (D) 954
15. Determine o domínio e os zeros da função 𝑔 definida por 𝑔
= sin
16. Estude a monotonia e os extremos relativos da função 𝑓 definida no intervalo
[
]
por
cos( 2 𝑥)
2
e indique o respetivo contradomínio.
17. Mostre que a função definida por 𝑔(𝑥) =
𝑠𝑖𝑛𝑥+𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑠𝑖𝑛𝑥−𝑐𝑜𝑠𝑥
é decrescente em qualquer intervalo em que se encontra
definida.
32 √ 2
9
D
𝑓 é decrescente em [
𝜋
2
, 𝜋]
e é crescente em [ 0 ,
𝜋
2
]
𝐷´ = [−
1
2
,
7
2
]
= k Z
k
D x IRx
f
,
2
:
𝑥 = 𝑘𝜋 ∨ 𝑥 =
𝜋
4
𝑘𝜋
2
, 𝑘 ∈ ℤ
D
