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Fun¸c˜oes (10.o^ ano)
Transla¸c˜oes e dila¸c˜oes de gr´aficos de fun¸c˜oes
Exerc´ıcios de Provas Nacionais e Testes Interm´edios - Propostas de resolu¸c˜ao
- Como o gr´afico da fun¸c˜ao f ´e uma par´abola de v´ertice no ponto V de coordenadas (2, − 1), temos que: - Df = R - D′ f = [− 1 , + ∞[
Como g(x) = −f (x) os gr´aficos das duas fun¸c˜oes s˜ao sim´etricos relativamente ao eixo Ox, pelo que:
Como h(x) = f (x) + 3 o gr´afico de h ´e uma transla¸c˜ao do gr´afico de f associada ao vetor −→u = (0,3), e assim, pelo que:
Como j(x) = f (x − 1) o gr´afico de j ´e uma transla¸c˜ao do gr´afico de f associada ao vetor −→v = (1,0), e desta forma as fun¸c˜oes tem o mesmo dom´ınio e contradom´ınio:
- Dj = R
- D′ j = [− 1 , + ∞[
O x
y
V
f
g
j
h
Teste Interm´edio 10.o^ ano – 16.03.
- Sabemos que:
- o gr´afico de f (x − 1) ´e um transla¸c˜ao do gr´afico da fun¸c˜ao f asso- ciada ao vetor ~u = (1,0), ou seja, resulta de um deslocamento do gr´afico da fun¸c˜ao f de uma unidade na dire¸c˜ao horizontal, para a direita
- o gr´afico da fun¸c˜ao h ´e uma transla¸c˜ao do gr´afico de f (x − 1) associada ao vetor ~v = (0,1), ou seja, resulta de um deslocamento do gr´afico de f (x − 1) de uma unidade na dire¸c˜ao vertical, para cima Logo, de entre as op¸c˜oes apresentadas, a ´unica em que pode estar representado o gr´afico da fun¸c˜ao h ´e o gr´afico da op¸c˜ao (D), como se pretende ilustrar na figura ao lado.
Resposta: Op¸c˜ao D
1 x
y
f
f (x − 1)
f (x − 1) + 1
Teste Interm´edio 10.o^ ano – 05.05.
- Sabemos que:
- o gr´afico da fun¸c˜ao −f ´e sim´etrico ao gr´afico da fun¸c˜ao f relativamente ao eixo das abcissas, ent˜ao o v´ertice par´abola que ´e o gr´afico de −f tem ordenada − 3
- o gr´afico da fun¸c˜ao g ´e uma transla¸c˜ao do gr´afico da fun¸c˜ao −f associ- ada ao vetor ~v = (0,7), ou seja, resulta de um deslocamento do gr´afico da fun¸c˜ao −f de sete unidades (| − 3 − 4 | = 7) na dire¸c˜ao vertical, para cima, como se pretende ilustrar na figura ao lado. Logo, a fun¸c˜ao g pode ser definida por:
g(x) = −f (x) + 7
Resposta: Op¸c˜ao A
x
y
f
−f
g
Teste Interm´edio 10.o^ ano – 06.05.
- Como 3 ´e um zero da fun¸c˜ao f , ent˜ao temos que f (3) = 0
Assim, observando que 4 − 1 = 3, vem que:
g(4) = f (4 − 1) + 4 = f (3) + 4 = 0 + 4 = 4
Ou seja, o ponto de coordenadas (4,4) pertence ao gr´afico da fun¸c˜ao g
Resposta: Op¸c˜ao B Exame – 2007, 1.a^ fase
- Representando na calculadora gr´afica o gr´afico da fun¸c˜ao polinomial definida pelo polin´omio A(x), numa janela em que seja poss´ıvel visualizar os quatro zeros da fun¸c˜ao, que correspondem `as quatro ra´ızes do polin´omio, obtemos o gr´afico reproduzido na figura ao lado, a tra¸co cheio.
Depois, usando a fun¸c˜ao da calculadora gr´afica que permite determinar valores aproximados das coorde- nadas de pontos de ordenada m´axima, obtemos o valor, com aproxima¸c˜ao `as d´ecimas, o m´aximo da fun¸c˜ao yM ≈ 13 , 8
Assim, considerando o polin´omio A(x) − 13 , 8 o gr´afico da fun¸c˜ao polinomial correspondente ´e uma transla¸c˜ao do gr´afico da fun¸c˜ao polinomial anterior associada ao vetor ~v = (0, − 13 ,8), ou seja, resulta de um deslocamento de 13, 8 unidades na dire¸c˜ao vertical, para baixo, como se pretende ilustrar na figura ao lado, a tracejado, o que corresponde a uma fun¸c˜ao polinomial com apenas trˆes zeros (distintos).
Desta forma, o n´umero real positivo k para o qual o polin´omio A(x) − k tenha trˆes ra´ızes reais distintas ´e 13, 8
x
y
A
Exame – 2003, Prova para militares (c´od. 435)
- Como f (5) = 0, ent˜ao 5 ´e um zero da fun¸c˜ao. Como f ´e uma fun¸c˜ao par, ent˜ao f (−x) = f (x), ou seja, f (−5) = f (5) = 0 e por isso −5 tamb´em ´e um zero da fun¸c˜ao.
Como o gr´afico de f (x + 3) = f
x − (−3)
´e uma transla¸c˜ao do gr´afico da fun¸c˜ao f associada ao vetor ~v = (− 3 ,0), ou seja, resulta de um deslocamento do gr´afico da fun¸c˜ao f de trˆes unidades na dire¸c˜ao horizontal, para a esquerda, ent˜ao −8 = − 5 − 3 e 2 = 5 − 3 s˜ao zeros da fun¸c˜ao g (como se pretende ilustrar na figura ao lado).
Assim, de entre as op¸c˜oes apresentadas, o ´unico conjunto que pode ser o conjunto dos zeros da fun¸c˜ao g ´e {− 8 , 2 }
Resposta: Op¸c˜ao C
x
y
f
f (x + 3)
Exame – 2002, 1.a^ fase - 2.a^ chamada (c´od. 435)
- Sabemos que o gr´afico da fun¸c˜ao g ´e uma transla¸c˜ao do gr´afico da fun¸c˜ao f associada ao vetor ~v = (0,−2), ou seja, resulta de um deslocamento do gr´afico da fun¸c˜ao f de duas unidades na dire¸c˜ao vertical, para baixo, como se pretende ilustrar na figura ao lado.
Assim o maximizante da fun¸c˜ao f ´e um zero da fun¸c˜ao g, pelo que esta tem dois zeros.
Resposta: Op¸c˜ao B
x
y
f
f (x) − 2
Exame – 2001, 1.a^ fase - 2.a^ chamada (c´od. 435)
- Sabemos que:
- o gr´afico de −g(x) ´e sim´etrico ao gr´afico da fun¸c˜ao g relativamente ao eixo das abcissas
- o gr´afico da fun¸c˜ao h ´e uma transla¸c˜ao do gr´afico de −g(x) associada ao vetor ~v = (0,1), ou seja, resulta de um deslocamento do gr´afico de −g(x) de uma unidade na dire¸c˜ao vertical, para cima. Logo, de entre as op¸c˜oes apresentadas, a ´unica em que pode estar representado o gr´afico da fun¸c˜ao h ´e o gr´afico da op¸c˜ao (D), como se pretende ilustrar na figura ao lado.
Resposta: Op¸c˜ao D
x
y
−g(x)
g
−g(x) + 1
Exame – 2001, Prova modelo (c´od. 435)
