Primeira S´erie de EMA 879 - Prof Helio
March 10, 2023
1 Vetores e Versores
1.1 Determine em coordenadas cartesianas o vetor unit´ario que ´e:
(a) paralelo ao vetor v = 2 ˆe1+ 3 ˆe2−6 ˆe3; e
(b) formado ao longo da linha que une os pontos P(1,0,3) e Q(0,2,1).
1.2 Prove que o vetor v =aˆe1+bˆe2+cˆe3´e normal ao plano cuja equa¸c˜ao ´e ax +by +cz =λ.
1.3 Determine a equa¸c˜ao do plano p tangente `a esfera x2+y2+z2= 9 no ponto P (2,-2,-1).
1.4 Mostre que se os vetores a,
bec s˜ao linearmente dependentes a ·
b×c = 0. Verifique a dependˆencia ou in-
dependˆencia linear se a base:
u = 3 ˆe1+ ˆe2−2 ˆe3
v = 4 ˆe1−ˆe2−ˆe3
w = ˆe1−2 ˆe2+ ˆe3
1.5 Para vetores arbitr´arios a e
bmostre que:
λ=(ax
b)·(ax
b)+(a ·
b)2=(ab)2
1.6 Mostre que os vetores u = ˆe1+ ˆe2−ˆe3ev = ˆe1−ˆe2s˜ao perpendiculares um ao outro.
1.7 Exerc´ıcio 2.1, 2.2, 2.3 e 2.7 (p´ag 55 do livro texto)
1.8 No sistema de coordenadas retangulares obtenha o m´odulo e os cossenos diretores do vetor
Aque vai do ponto
(1,-1,3) ao ponto m´edio do segmento de linha que vai da origem ao ponto (6,-6,4).
1.9 Os vetores
Ae
Bs˜ao definidos como
A= 3 ˆe1−4 ˆe2e
B= 2 ˆe1−2 ˆe2+ ˆe3onde (e1, e2, e3) ´e uma base orton-
normal. Encontre:
(a) proje¸c˜ao ortogonal de
Ana dire¸c˜ao de
B;
(b) o ˆangulo entre as dire¸c˜oes positivas dos vetores.
1.10 Determine se os vetores s˜ao linearmente independentes:
A= 2 ˆe1−ˆe2+ ˆe3,
B=−ˆe2−ˆe3e
C=−ˆe1+ ˆe2
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