Baixe Lista 3 - Cálculo Integral 2 e outras Exercícios em PDF para Cálculo, somente na Docsity!
LISTA 3
UFOB - C ALCULO INTEGRAL II´
Exerc´ıcio 1. Mudar a ordem de integra¸c˜ao da seguinte integral
∫ (^1)
0
√ x
∫ (^1) −y
0
f (x, y, z) dz dy dx
ordenar os diferenciais dz dx dy e dx dy dz.
Rta:
0
∫ (^) y 2
0
∫ (^1) −y
0
f (x, y, z) dz dx dy,
0
∫ (^1) −z
0
∫ (^) y 2
0
f (x, y, z) dx dy dz
Exerc´ıcio 2. Descreva o s´olido de R^3 cujo volume ´e dado por:
a)
0
∫ √ 4 −z
√ 1 −z
2
dx dy dz.
b)
0
∫ √z
x^3
∫ (^4) −x
0
dy dx dz.
c)
0
∫ (^2) x
x^2
∫ (^) x+y
0
dz dy dx.
d)
0
∫ (^3) x
0
0
dz dy dx.
e)
0
∫ (^2) π
0
ρ
ρ dz dθ dρ.
f )
∫ π 2
0
0
∫ (^9) −ρ 2
0
ρ dz dρ dθ.
Exerc´ıcio 3. Calcule:
a)
E
x^2 ey^ dV , sendo E delimitado pelos cilindro parab´olico z = 1 − y^2 e o plano z = 0, x = 1,
x = − 1. Rta: (^38) e
b)
E
dV , sendo E ´e o conjunto x^2 + y^2 6 z 6 2 x + 2y − 1. Rta: π 2
c)
E
2 z dV , sendo E ´e o conjunto 4 x^2 + 9y^2 + z^2 6 4 e z > 0. Rta: 0
d)
E
6 xy dV , onde E est´a abaixo do plano z = 1 + x + y e acima do plano xy limitada pelas
curvas y =
x, y = 0, x = 1. Rta: (^6528)
e)
E
dV , sendo E o conjunto x^2 + y^2 6 z 6 2 x. Rta: π 2
Exerc´ıcio 4. Calcular
E
3 x^2 + 3z^2 dV , sendo E o s´olido limitado por y = 2x^2 + 2z^2 e o plano
y = 8. Rta: (^25615)
3 π
Exerc´ıcio 5. Determine o volume do elipsoide x
2 a^2 +^
y^2 b^2 +^
z^2 c^2 = 1,^ a >^0 , b >^0 , c >^0.^ Aplique a mudan¸ca xa = u, yb = v, zc = w que leva a esfera u^2 + v^2 + w^2 = 1 no elipsoide. Rta: 43 πabc u.v.
Exerc´ıcio 6. Calcule, por integral tripla, o volume do cilindro de raio R e altura h. Use coordenadas
cil´ındricas.
Exerc´ıcio 7. Calcule a massa e o centro de massa do s´olido E de densidade constante ρ = 1, sendo
E o s´olido por z = 4 − x^2 , x = 0, y = 0, y = 6 e z = 0. Rta: CM = ( 34 , 3 , 85 ), M= 32 u.m.
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LISTA 3 UFOB - C ALCULO INTEGRAL II´
Exerc´ıcio 8. Determine o volume dos s´olidos:
a) E = {(x, y, z) | 0 6 x 6 1 ,
x 6 y 6 1 , 0 6 z 6 1 − y}. Rta: 121 u.v.
b) E = {(x, y, z) | x^2 + z^2 = y, y 6 4 }.
c) E = {(x, y, z) | y^2 + z^2 = 4, 0 6 x 6 3 }.
d) E = {(x, y, z) | (z − 4)^2 = 169 (x^2 + y^2 ), 0 6 z}. Rta: 12 π u.v.
e) E ´e o s´olido limitado pelos planos z + y = 8, z − y = 8, x = 0, x = 4 e z = 0. Rta: 256 u.v.
Exerc´ıcio 9. Calcule o volume da esfera de equa¸c˜ao x^2 + y^2 + z^2 = a^2. Rta: 43 πa^3
Exerc´ıcio 10. Calcule aplicando coordenadas cil´ındricas
a)
D
(x^2 + y^2 ) dV , onde D ´e a regi˜ao s´olida limitada pelas superficies x^2 + y^2 = 2z. Rta: 163 π
b)
D
(x^2 + y^2 ) dV , onde D ´e a regi˜ao s´olida limitada pelas superficies
x^2 + y^2 = z e os
planos z = 1, x = 0, y = 0. Rta: 40 π
c) o volume do s´olido determinado por x^2 + y^2 = 9 e 0 6 z 6 2. Rta: 18 π u.v.
d)
0
∫ √ 1 −x 2
−
√ 1 −x^2
0
z dz dy dx.
e)
0
∫ (^) x
0
x^2 +y^2
0
x^2 + y^2
dz dy dx.
f )
D
x^2 + y^2 dV , onde D ´e a regi˜ao s´olida limitada pelas superficies x^2 + y^2 − 4 = z e
4 − x^2 − y^2 = z. Rta: 25615 π
Exerc´ıcio 11. Calcule aplicando coordenadas esfˆericas:
a) o volume da esfera de equa¸c˜ao x^2 + y^2 + z^2 = a^2. Rta: 43 πa^3 u.v.
b) o volume do s´olido interior ao cone z^2 = x^2 + y^2 limitado superiormente pela esfera
x^2 + y^2 + z^2 = 1. Rta: 23 π (1 −
√ 2 2 )^ u.v.
c)
D
(x + 2z) dV , onde D = {(x, y, z | 1 6 x^2 + y^2 + z^3 6 9 , z 6 0)}. Rta:− 40 π
d)
− 1
∫ √ 1 −x 2
−
√ 1 −x^2
∫ √ 1 −x (^2) −y 2
−
1 −x^2 −y^2
x^2 + y^2 + z^2 dz dy dx.
e)
D
(x
2
2
2 ) dV , sendo D a regi˜ao limitada superiomente pela esfera x^2 + y^2 + z^2 = 16
e inferiormente pelo cone z =
x^2 + y^2. Rta: 455 (2 −
2)π.
f ) o volume do s´olido E que est´a dentro da esfera x^2 + y^2 + z^2 = 4, acima do plano z = 0 e abaixo
do cone
x^2 +y^2
- Rta:^
8 3 π^ u.v.
Exerc´ıcio 12. Calcule a massa do s´olido E no primeiro octante limitado por y = x^2 , y = 9, z = 0,
x = 0 e y + z = 9 se a densidade ´e dada por δ(x, y, z) = x. Rta: 2434 u.m.
