Normas e Produtos Internos em Espaços Vectoriais | Exercícios Geometria Analítica e Álgebra Linear

INSTITUTO DE MATEMÁTICA - UFAL PROF. WAGNER RANTER

LISTA 4: ÁLGEBRA LINEAR - IC / SEMANA: 27/07/2020 - 02/08/2020

IV.1 Fixemos KmeKnmunidos com as normas induzidas pelos seus produtos internos canônicos. Mostre

que kφk= max{kφ(v)k:kvk= 1}é uma norma em L(Km,Kn), para a qual vale a desigualdade

kφ(v)k≤kφkkvk. Além disso, se φ∈ L(Km,Kn)eψ∈ L(Kp,Km)então kφ◦ψk ≤ kφkkψk.

IV.2 Sejam (E, k·kE)e(F, k·kF)espaços vetoriais normados de dimensão finita. Mostre que toda

transformação linear φ:E→Fé uma função contínua entre espaços métricos munidos com a

distância induzida norma.

IV.3 Seja Mn(K)o espaço vetorial da matrizes quadradas de ordem n. Defina (A, B) = tr(BtA)para

todo A, B ∈Mn(K), onde tr(A) = Pn

i=1 aii eAté a matriz transposta de A.

(a) Mostre que (A, B) = tr(BtA)é um produto interno em Mn(K).

(b) Sejam S={A∈Mn(K) : At=A}eNS ={A∈Mn(K) : At=−A}. Determine que são S⊥e

NS⊥.

IV.4 Para toda transformação linear φ:E→F, entre espaços de dimensão finita munidos de produto

interno, prove que a restrição de φà imagem de φ∗define um isomorfismo φ: Im(φ∗)→Im(φ).

Analogamente, φ∗transforma o subespaço Im(φ)isomorficamente sobre Im(φ∗). São estes isomorfis-

mos um o inverso do outro?

IV.5 (a) Se os autovetores do operador linear φ:E→Egeram o espaço Ee, além disso, os subespaços

invariantes por φsão também invariantes por ψ∈ L(E), prove que φ◦ψ=ψ◦φ.

(b) Se os autovetores do operador linear φ◦ψ:E→Egeram o espaço Eeφ◦ψ=ψ◦φentão os

subespaços invariantes por φsão também invariantes por ψ?

IV.6 Se o espaço vetorial E possui uma base formada por autovetores do operador φ:E→E, prove que

existe também uma base de Eformada por autovetores de φ∗:E→E.

IV.7 Prove que se φ∈ L(E)é normal então, para todo v∈E, tem-se kφ(v)k=kφ∗(v)ke conclua daí que

todo autovetor de φé também autovetor de φ∗, com o mesmo autovalor.

IV.8 Seja φ:E→Eum operador linear tal que φ2possui algum autovalor ≥0. Prove que φpossui

autovetor. Dê um exemplo em que φ2possui autovetor mas φnão possui.

IV.9 (a) Se ψé um operador invertível e ψ◦φ◦ψ∗é auto-adjunto, prove que φé auto-adjunto.

(b) Seja φauto-adjunto. Prove que φk(v)=0implica φ(v) = 0.

IV.10 Seja φ:E→Eauto-adjunto. Para todo k∈Z+ímpar, mostre que existe um único operador

auto-adjunto ψ:E→Etal que ψk=φ. Se ké par, existe ψauto-adjunto com φk=φse, e somente

se, φ≥0. Neste caso, ψpode ser escolhido ≥0e então é único.

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LISTA 4: ÁLGEBRA LINEAR - IC / SEMANA: 27/07/2020 - 02/08/

IV.1 Fixemos Km^ e Kn^ munidos com as normas induzidas pelos seus produtos internos canônicos. Mostre que ‖φ‖ = max{‖φ(v)‖ : ‖v‖ = 1} é uma norma em L(Km, Kn), para a qual vale a desigualdade ‖φ(v)‖ ≤ ‖φ‖‖v‖. Além disso, se φ ∈ L(Km, Kn) e ψ ∈ L(Kp, Km) então ‖φ ◦ ψ‖ ≤ ‖φ‖‖ψ‖.

IV.2 Sejam (E, ‖ · ‖E ) e (F, ‖ · ‖F ) espaços vetoriais normados de dimensão finita. Mostre que toda transformação linear φ : E → F é uma função contínua entre espaços métricos munidos com a distância induzida norma.

IV.3 Seja Mn(K) o espaço vetorial da matrizes quadradas de ordem n. Defina (A, B) = tr(BtA) para todo A, B ∈ Mn(K), onde tr(A) =

∑n i=1 aii^ e^ A

t (^) é a matriz transposta de A.

(a) Mostre que (A, B) = tr(BtA) é um produto interno em Mn(K). (b) Sejam S = {A ∈ Mn(K) : At^ = A} e N S = {A ∈ Mn(K) : At^ = −A}. Determine que são S⊥^ e N S⊥.

IV.4 Para toda transformação linear φ : E → F , entre espaços de dimensão finita munidos de produto interno, prove que a restrição de φ à imagem de φ∗^ define um isomorfismo φ : Im(φ∗) → Im(φ). Analogamente, φ∗^ transforma o subespaço Im(φ) isomorficamente sobre Im(φ∗). São estes isomorfis- mos um o inverso do outro?

IV.5 (a) Se os autovetores do operador linear φ : E → E geram o espaço E e, além disso, os subespaços invariantes por φ são também invariantes por ψ ∈ L(E), prove que φ ◦ ψ = ψ ◦ φ. (b) Se os autovetores do operador linear φ ◦ ψ : E → E geram o espaço E e φ ◦ ψ = ψ ◦ φ então os subespaços invariantes por φ são também invariantes por ψ?

IV.6 Se o espaço vetorial E possui uma base formada por autovetores do operador φ : E → E, prove que existe também uma base de E formada por autovetores de φ∗^ : E → E.

IV.7 Prove que se φ ∈ L(E) é normal então, para todo v ∈ E, tem-se ‖φ(v)‖ = ‖φ∗(v)‖ e conclua daí que todo autovetor de φ é também autovetor de φ∗, com o mesmo autovalor.

IV.8 Seja φ : E → E um operador linear tal que φ^2 possui algum autovalor ≥ 0. Prove que φ possui autovetor. Dê um exemplo em que φ^2 possui autovetor mas φ não possui.

IV.9 (a) Se ψ é um operador invertível e ψ ◦ φ ◦ ψ∗^ é auto-adjunto, prove que φ é auto-adjunto. (b) Seja φ auto-adjunto. Prove que φk(v) = 0 implica φ(v) = 0.

IV.10 Seja φ : E → E auto-adjunto. Para todo k ∈ Z+^ ímpar, mostre que existe um único operador auto-adjunto ψ : E → E tal que ψk^ = φ. Se k é par, existe ψ auto-adjunto com φk^ = φ se, e somente se, φ ≥ 0. Neste caso, ψ pode ser escolhido ≥ 0 e então é único.

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