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Manual de ´Algebra Linear
Cursos: LMAC, MEBiom, MEFT
1 o^ Semestre 2011/
Prof. Paulo Pinto http://www.math.ist.utl.pt/∼ppinto/
Conte´udo
1 Sistemas lineares e Matrizes 1
2 Determinantes 6 3 Espa¸cos lineares 8
4 Valores e vectores pr´oprios para matrizes 14
5 Transforma¸c˜oes lineares 16
6 Produtos internos 19
7 T´opicos adicionais e aplica¸c˜oes 24
8 Nota¸c˜ao usada 28
´Indice alfab´etico 29
1 Sistemas lineares e Matrizes
- Uma matriz A = [a (^) ij ] (^) m×n , do tipo m × n (m por n), ´e uma tabela de mn n´umeros dispostos em m linhas e n colunas:
A =
a 11 a 12 · · · a (^1) n a 21 a 22 · · · a (^2) n .. .
a (^) m 1 a (^) m 2 · · · a (^) mn
O conjunto de todas as matrizes reais m × n designa-se por M (^) m×n (R); ou M (^) m×n (C), no caso dos complexos. Matriz diagonal ´e uma matriz quadrada (i.e. m = n) cujas entradas fora da diagonal principal s˜ao todas nulas; as entradas a 11 , a 22 , ..., a (^) nn formam a diagonal principal de A. A matriz identidade I ´e a matriz diagonal cuja diagonal principal ´e toda igual a 1. Matriz nula 0 do tipo m × n ´e a matriz com todas as entradas iguais a zero. A matriz quadrada A diz-se triangular superior se as entrada abaixo da diagonal principal de A forem todas nulas (i.e. a (^) ij = 0 se i > j).
- Opera¸c˜oes alg´ebricas
- A entrada (i, j) da matriz soma A + B ´e dada por a (^) ij + b (^) ij sendo A = [a (^) ij ] e B = [b (^) ij ] matrizes do mesmo tipo m × n. Exemplo:
- O produto de uma matriz A = [a (^) ij ] do tipo m × n por escalar α ´e a matriz αA = [αa (^) ij ].
- O produto matricial A = [a (^) ij ] do tipo m × p com outra matriz B = [b (^) ij ] do tipo p × n ´e uma matriz C = [c (^) ij ] do tipo m × n, designada por AB, cuja entrada (i, j) ´e dada por c (^) ij = a (^) i 1 b (^1) j + a (^) i 2 b (^2) j + ... + a (^) ip b (^) pj =
^ p
k=
a (^) ik b (^) kj.
Exemplo:
Assim, o produto de matrizes n˜ao ´e comutativo!
- A transposta da matriz A = [a (^) ij ] de tipo m × n ´e a matriz A T^ = [a (^) ji ] de tipo n × m.
- tr(A) = a 11 + .... + a (^) nn ´e o tra¸co da matriz A = [a (^) ij ] do tipo n × n.
Exemplo:
T
(^) e tr
- Sempre que as opera¸c˜oes sejam poss´ıveis temos:
- (Comutatividade da soma) A + B = B + A.
- (Associatividade da soma) A + (B + C) = (A + B) + C.
- (Elemento neutro da soma) A + 0 = 0 + A = A, para toda a matriz A do tipo m × n.
- (Sim´etrico) Para cada matriz A existe uma ´unica matriz B tal que A + B = 0. (B ´e −A).
- (Associatividade do produto por escalares) α (βA) = (αβ) A, com α, β escalares.
- (Distributividade) (α + β) A = αA + βA.
- (Distributividade) α (A + B) = αA + αB.
- (Associatividade do produto de matrizes) A (BC) = (AB) C.
- (Distributividade) A (B + C) = AB + AC e (B + C) D = BD + CD.
- (Elemento neutro para a multiplica¸c˜ao matricial) AI = IA = A.
- α (AB) = (αA) B = A (αB),
A T^
T
= A, (A + B) T^ = A T^ + B T^ , (αA) T^ = αAT^ , (AB) T^ = B T^ A T^.
Em geral: AB = 0 n˜ao implica que A = 0 ou B = 0. Dada A matriz quadrada, define-se A 2 = AA, A 3 = A(AA), ..., A k^ = AAk−^1 (com k ∈ N). Sejam A, B, C matrizes: define-se a soma A + B + C := (A + B) + C, caso exista. Defines o ABC := A(BC), caso exista (e por recorrˆencia podemos definir A 1 + ... + A (^) s e A 1 ....As ).
- Uma matriz n × n diz-se invert´ıvel se existe outra matriz B tal que AB = BA = I. Caso exista a matriz inversa de A ´e ´unica e designa-se por A −^1.
Teorema: Sendo A, B invert´ıveis ent˜ao AB, αA, A T^ s˜ao invert´ıveis, para qualquer escalar n˜ao nulo α e
(A −^1 ) −^1 , (AB) −^1 = B −^1 A −^1 , (αA) −^1 = α −^1 A −^1 , (AT^ ) −^1 = (A −^1 ) T^.
Teorema: • A matriz n × n A ´e invert´ıvel sse car(A) = n.
- Se A ´e invert´ıvel, ent˜ao o sistema linear Ax = b ´e poss´ıvel e determinada para cada b. A solu¸c˜ao ´e x = A −^1 b.
- Opera¸c˜oes elementares numa matriz qualquer A:
- L (^) i ↔ L (^) j , para representar que se efectuou a troca das linhas L (^) i e L (^) j
- αL (^) i → L (^) i , para representar que a linha L (^) i foi multiplicada pelo escalar α = 0.
- αL (^) i + L (^) j → L (^) j , para representar que a nova linha L (^) j ´e obtida somando `a linha L (^) j a linha L (^) i previamente multiplicada por um escalar α. Para α = 1, esta opera¸c˜ao elementar designa-se por opera¸c˜ao de Jacobi.
Se a matriz A foi transformada na matriz B usando uma opera¸c˜ao elementar, ent˜ao usamos a seguinte nota¸c˜ao:
A −−−−→ L (^) i ↔L (^) j
B, A −−−−−→
αL (^) i →L (^) i
B, A −−−−−−−−→
αL (^) i +L (^) j →L (^) j
B.
- Podemos usar sucessivamente as opera¸c˜oes elementares e transformar a matriz A num matriz em escada em linha U = [u (^) ij ], onde por baixo do primeiro elemento n˜ao nulo (= pivˆo) de cada linha (e na mesma coluna) todos os elementos s˜ao nulos (u (^) ij = 0 para i > j); e as linhas nulas (caso existam) est˜ao todas na parte inferior de U. Este ´e o m´etodo de elimina¸c˜ao de Gauss 1. Chama-se caracter´ıstica de A, e designa-se por car(A), ao
(^1) Johann Carl Friedrich Gauss 1777–
- ( 1 o^ algoritmo para o c´alculo da inversa) Teorema: Sendo A invert´ıvel, podemos transformar a matriz A na matriz identidade I usando opera¸c˜oes elementares:
A −E→^1 A 1 −E→^2 A 2 −→ · · · E (^) k −−→ U −→ E (^) k+ Ak+1 −→ · · · −E→^ s I,
isto ´e (E (^) s ...E (^) k ...E 1 )A = I, e portanto A −^1 = E (^) s · · · E (^) k · · · E 1. (2)
Exemplo: Seja A =
0 0 π 2 3 1 1 1 0
. Tem-se
A
P (^13) −−−−→ L 1 ↔L (^3)
0 0 π
−−E−^12 −^ (−−−2)→
− 2 L 1 +L (^2)
0 0 π
E^3 (^
(^1) π ) −− 1 −−−−→ π L^3 →L^3
−E−^32 −^ (−−−1)→
−L 3 +L (^2)
−E−^21 −^ (−−−1)→
−L 2 +L (^1)
I.
Assim, A −^1 = E 21 (−1)E 32 (−1)E 3 ( (^1) π )E 12 (−2)P 13 =
(^0 0 1) π
1 π −^1 − (^1) π 1 − 2 1 π 0 0
Al´em disso, se um das linhas de uma matriz for toda nula, ent˜ao essa matriz n˜ao ´e invert´ıvel. Teorema: A ∈ M (^) n×n invert´ıvel se e s´o se car(A) = n.
- Equa¸c˜ao linear nas vari´aveis x 1 , x 2 , ..., x (^) n ´e toda a equa¸c˜ao na forma a 1 x 1 + a 2 x 2 + ... + a (^) n x (^) n = b onde a 1 , a 2 , ..., a (^) n , b s˜ao escalares (reais ou complexos).
- Um sistema de m equa¸c˜oes lineares com n inc´ognitas ´e um conjunto de equa¸c˜oes lineares da forma
a 11 x 1 + a 12 x 2 + ... + a (^1) n x (^) n = b (^1) a 21 x 1 + a 22 x 2 + ... + a (^2) n x (^) n = b (^2)
... a (^) m 1 x 1 + a (^) m 2 x 2 + ... + a (^) mn x (^) n = b (^) m
em que a (^) ij e b (^) k s˜ao escalares, para i, k = 1, ..., m e j = 1, ..., n. Se nada for dito em contr´ario, estaremos a estudar sistemas lineares com vari´aveis reais (e coeficientes reais).
- Conjunto solu¸c˜ao do sistema (3) ´e o conjunto, designado por S (^) Ax=b ou simplesmente S, de todas as solu¸c˜oes de (3), isto ´e S =
(x 1 , ..., x (^) n ) ∈ R n^ : (x 1 , ..., x (^) n ) ´e solu¸c˜ao de todas as equa¸c˜oes de (3)
- Escrita Matricial Ax = b do sistema linear (3) onde
A =
a 11 a 12 · · · a (^1) n a 21 a 22 · · · a (^2) n .. .
a (^) m 1 a (^) m 2 · · · a (^) mn
, x =
x (^1) x (^2) .. . x (^) n
e b =
b (^1) b (^2) .. . b (^) m
Matriz aumentada do sistema linear (3) ´e a matriz: [A|b] =
a 11 a 12 · · · a (^1) n b (^1) a 21 a 22 · · · a (^2) n b (^2) .. .
a (^) m 1 a (^) m 2 · · · a (^) mn b (^) n
- Teorema: Se a matriz aumentada [A|b] ´e transformada numa matriz aumentada [U |c] usando opera¸c˜oes elementares ent˜ao S (^) Ax=b = S (^) U x=c. Note que [A|b] → [A 1 |b 1 ] usando uma opera¸c˜ao elementar ent˜ao ´e claro que S (^) Ax=b ⊂ S (^) A 1 x=b 1. Por outro lado, podemos escolher outra opera¸c˜ao elementar tal que [A 1 |b 1 ] → [A|b]. Assim, temos S (^) Ax=b = S (^) A 1 x=b 1 e podemos escrever os dois passos efectuados como se segue:
[A|b] −−−−→ L (^) i ↔L (^) j [A 1 |b 1 ] −−−−→ L (^) j ↔L (^) i [A|b], [A|b] −−−−−→ αL (^) i →L (^) i [A 1 |b 1 ] − 1 −−−−→ α L^ i^ →L^ i
[A|b],
[A|b] −−−−−−−−→ αL (^) i +L (^) j →L (^) j [A 1 |b 1 ] −−−−−−−−−→ −αL (^) i +L (^) j →L (^) j [A|b].
- Se [A|b] −→ [U |c] com [U |c] em escada de linhas, ent˜ao podemos escolher para vari´aveis livres (caso existam) do sistema Ax = b as que correspondem `as colunas de U sem pivˆo.
Exemplo:
3 z − 9 w = 6 5 x + 15y − 10 z + 40w = − 45 x + 3y − z + 5w = − 7
na forma matricial ´e
x y z w
Consideremos ent˜ao a matriz aumentada e o consequente m´etodo de elimina¸c˜ao de Gauss:
L 1 ↔L (^3) 1 5 L^2 →L^2
−L 1 +L 2 →L (^2)
3 L 2 +L 3 →L (^3)
Logo,
x + 3y − z + 5w = − 7 −z + 3w = − 2
x = − 3 y − 2 w − 5 z = 3w + 2.
. Podemos considerar y e w como as inc´ognitas livres (isto ´e podem tomar valores arbitr´arios) e as inc´ognitas x e z as n˜ao livres. O conjunto solu¸c˜ao ´e:
S = {(− 3 y − 2 w − 5 , y, 3 w + 2, w) : y, w ∈ R}. (4)
Neste exemplo o sistema tem infinitas solu¸c˜oes
- Teorema: Se x 0 e x 1 s˜ao duas solu¸c˜oes distintas x 0 = x 1 do sistema Ax = b, ent˜ao para cada escalar α, x 0 + α(x 1 − x 0 ) ´e uma solu¸c˜ao de Ax = b. Mais, α = μ sse x 0 + α(x 1 − x 0 ) = x 0 + μ(x 1 − x 0 ). Assim, p.ex., n˜ao h´a nenhum sistema linear com precisamente 2 solu¸c˜oes.
- Classifica¸c˜ao dos sistemas lineares:
- Imposs´ıveis (os que tˆem o conjunto-solu¸c˜ao vazio),
- Poss´ıveis e Determinados (os que tˆem uma ´unica solu¸c˜ao),
- Poss´ıveis e Indeterminados (os que tˆem um n´umero infinito de solu¸c˜oes). Teorema: • Sistema Ax = b imposs´ıvel ⇐⇒ car(A) = car([A|b]),
- Sistema Ax = b determinado ⇐⇒ car(A) = car([A|b]) = n´umero de colunas de A,
- Sistema Ax = b poss´ıvel e indeterminado ⇐⇒ car(A) = car([A|b]) = n´umero de colunas de A.
Exemplos: O sistema linear associado a cada matriz aumentada seguinte
´e imposs´ıvel, poss´ıvel e indeterminado, poss´ıvel e determinado (respectivamente).
- Sistema homog´eneo ´e todo o sistema da forma Ax = 0 , cuja matriz dos coeficientes (independentes) ´e a matriz nula. Claro que qualquer sistema homog´eneo ´e poss´ıvel, em que (x 1 , ..., x (^) n ) = (0, ..., 0) ´e uma solu¸c˜ao.
mais, sign(σ −^1 ) = sign(σ). Uma transposi¸c˜ao τ ´e uma permuta¸c˜ao que se obt´em da trivial por troca de 2 posic˜oes i e j; assim τ (k) = k para qualquer k /∈ {i, j}, τ (i) = j, τ (j) = i (´e facil verificar que sign(τ ) = −1). Exemplos: det
a 11 a (^12) a 21 a (^22)
= a 11 a 22 − a 12 a 21.
det
a 11 a 12 a (^13) a 21 a 22 a (^23) a 31 a 32 a (^33)
(^) = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 − a 13 a 22 a 31 − a 12 a 21 a 33 − a 11 a 23 a 32.
det
a 11 a 12 · · · a (^1) n 0 a 22 · · · a (^2) n .. .
0 0 · · · a (^) nn
= a 11 a 22 ....a (^) nn (A matriz triangular superior).
Para matrizes elementares, temos det(P (^) ij ) = − 1 , det(E (^) i (α)) = α, det(E (^) ij (α)) = 1.
- Sejam A, B matrizes n × n e α um escalar. Ent˜ao:
- Se B fˆor obtida de A multiplicando uma linha de A por α ent˜ao det B = α det A, i.e. para α = 0
det(A) = αL (^) i →L (^) i α −^1 det(B).
- Se B fˆor obtida de A somando a uma linha de A um m´ultiplo α de uma outra linha de A ent˜ao det B = det A: det(A) = αL (^) i +L (^) j →L (^) j
det(B).
- Se B fˆor obtida de A trocando duas linhas de A ent˜ao det B = − det A, i.e. para i = j det(A) = L (^) i ↔L (^) j − det(B).
- det
AT^
= det(A).
- Se A fˆor invert´ıvel det
A −^1
det(A)
- det (αA) = α n^ det(A).
- A invert´ıvel se e s´o se det(A) = 0.
- det (AB) = det(A) det(B).
- Em geral, det(A + B) = det(A) + det(B). Exemplo: Aplicando opera¸c˜oes elementares tem-se:
A =
L 1 ↔L (^2)
− 2 L 1 +L 2 →L (^2)
7 L 2 +L 3 →L (^3)
= U,
pelo que det(A) = − det(U ) = −6. A matriz A ´e invert´ıvel pois det(A) = 0.
- Seja A = [a (^) ij ] matriz n × n. Seja A (^) ij a matriz do tipo (n − 1) × (n − 1) que se obt´em de A suprimindo a linha i e a coluna j de A. Chama-se a A (^) ij o menor-(i, j) da matriz A. F´ormula de Laplace: 4
det A =
^ n
j=
a (^) ij (−1) i+j^ det A (^) ij e det A =
^ n
i=
a (^) ij (−1) i+j^ det A (^) ij.
Exemplo:
(^4) Pierre-Simon Laplace 1749–
- C´alulo da matriz inversa usando os cofactores: A entrada (i, j) da matriz dos cofactores cof A de uma matriz A ´e dada por: (cofA) (^) i,j = (−1) i+j^ det(A (^) ij ). A matriz adjunta de A ´e a matriz cofA) T^ e designa-se por adj(A). Teorema: (cofA)A T^ = A(cofA) T^ = det(A)I. Se A ´e invert´ıvel ent˜ao (A −^1 ) (^) i,j = (cofA)^
T det(A) =^
(−1) i+j^ det(A (^) ji ) det(A).
Exemplo: Seja A =
a b c d
∈ M (^2) × 2 (R). Ent˜ao A ´e invert´ıvel se e s´o se det A = ad − bc = 0 e nesse caso
A −^1 =
ad − bc
d −b −c a
Exemplo:
− 1
1 , 4
= −1 det( 28 A 4 ,^1 )=
− det
28 =^
0 28 = 0.
- (Regra de Cramer 5 .) Seja A ∈ M (^) n×n (R) invert´ıvel. Ent˜ao a ´unica solu¸c˜ao do sistema de equa¸c˜oes lineares Ax = b ´e dada por x = A−^1 b =
det A (cofA) T^ b.
Isto ´e, sendo x =
x 1... x (^) n
T
e b =
b 1... bn
T
tem-se
x (^) j = det B (^) j det A
onde B (^) j ´e a matriz obtida de A substituindo a coluna j de A pela matriz coluna b dos termos independentes.
Exemplo: O sistema de equa¸c˜oes lineares
2 x + y = 8 −x + 2y + 4z = 7 −x + z = 1
pode ser resolvido usando a regra de Cramer:
x =
= 13, y =
= − 18 e z =
3 Espa¸cos lineares
- Seja V um conjunto n˜ao vazio munido com duas opera¸c˜oes: soma entre elementos de V e produto de escalares com elementos de V. Munido com estas opera¸c˜oes, V ´e um espa¸co linear (ou vectorial) se os seguintes 10 axiomas forem satisfeitos: (a) (Fecho da soma). Para quaisquer u, v ∈ V tem-se u + v ∈ V. (b) (Fecho do produto por escalares). Para quaisquer α ∈ R e u ∈ V tem-se αu ∈ V. (c) (Comutatividade da soma). Para quaisquer u, v ∈ V , u + v = v + u. (d) (Associatividade da soma). Para quaisquer u, v, w ∈ V , u + (v + w) = (u + v) + w. (e) (Elemento neutro da soma). Existe um elemento de V designado por 0 tal que, para qualquer u ∈ V , u + 0 = u. (f) (Sim´etrico). Para cada (qualquer) u ∈ V existe v ∈ V tal que u + v = 0. A v chama-se o sim´etrico de u e denota-se por −u. (^5) Gabriel Cramer 1704–
Exemplo: • Se V = R n^ , ent˜ao v ∈ L({v 1 , ..., v (^) k }) se e s´o se o sistema Ax = b ´e poss´ıvel onde as colunas de A s˜ao formadas pelas vectores v 1 , ..., v (^) k e b ´e o vector v escrito em coluna (A ´e do tipo n × k).
- (− 1 , 2 , 7) ∈ L({(− 1 , 1 , 6), (1, 2 , −3), (0, 1 , 1)}) pois o sistema cuja matriz aumentada ´e
´e poss´ıvel. Analogamente, podemos verificar que (1, 2 , 7) ∈/ L({(− 1 , 1 , 6), (1, 2 , −3), (0, 1 , 1)}).
- Como (0, 1 , 1) = 13 (− 1 , 1 , 6)+ 13 (1, 2 , −3), temos L({(− 1 , 1 , 6), (1, 2 , −3), (0, 1 , 1)}) = L({(− 1 , 1 , 6), (1, 2 , −3)}).
- Espa¸co das colunas e das linhas de uma matriz: Seja A matriz m × n. O subespa¸co linear de R n gerado pelas linhas de A ´e o espa¸co linhas de A e designado por L(A) ou L (^) A. O subespa¸co linear de R m gerado pelas colunas de A ´e o espa¸co colunas de A e designado por C(A) ou C (^) A. Note que v ∈ C(A) se v = Au para algum vector u, pois
v (^1) .. . v (^) m
=^ Au^ =
a 11 a 12 · · · a (^1) n a 21 a 22 · · · a (^2) n .. .
a (^) m 1 a (^) m 2 · · · a (^) mn
u (^1) .. . u (^) n
=^ u^1
a (^11) .. . a (^) m 1
+^ ...^ +^ u^ n
a (^1) n .. . a (^) mn
Assim, C (^) A T = L (^) A e L (^) A T = C (^) A.
Exemplo: • A =
, temos L (^) A = L({(− 1 , 1 , 0), (1, 2 , 1)}) e C (^) A = L({(− 1 , 1), (1, 2), (0, 1)}).
- Se V = L({v 1 , ..., v (^) k }) subespa¸co de R n^ , ent˜ao V = C(A) onde as colunas de A s˜ao os vectores v 1 , ..., v (^) k.
- Intersec¸c˜ao e soma de subespa¸cos lineares: Se V 1 , V 2 s˜ao subespa¸co lineares de V , sejam
V 1 ∩ V 2 =
v ∈ V : v ∈ V 1 e v ∈ V (^2)
, V 1 + V 2 =
v ∈ V : v = v 1 + v 2 com v 1 ∈ V 1 , v 2 ∈ V (^2)
Teorema: V 1 ∩ V 2 e V 1 + V 2 s˜ao subespa¸cos lineares de V.
Dizemos que V 1 e V 2 est˜ao em soma directa se V 1 ∩ V 2 = { 0 }; e escrevemos V 1 ⊕ V 2 para designar V 1 + V 2. Se V 1 = L(S 1 ) e V 2 = L(S 2 ) ent˜ao V 1 + V 2 = L(S 1 ∪ S 2 ). Note que a uni˜ao de subespa¸cos lineares, em geral, n˜ao ´e subespa¸co linear. Exemplos: • Se V 1 = L({(− 1 , 1 , 0), (1, 2 , 1)}) e V 2 = {(x, y, z) ∈ R 3 : y + z = 0, −x − y + 3z = 0}. Vamos descrever V 1 atrav´es de equa¸c˜oes lineares homog´eneas e descrever V 2 como a expans˜ao linear de vectores. Ora v = (x, y, z) ∈ V 1 sse existirem escalares α 1 , α 2 tais que α 1 (− 1 , 1 , 0) + α 2 (1, 2 , 1) = v, i.e. se o sistema cuja
matriz aumentada ´e
− 1 1 x 1 2 y 0 1 z
(^) for poss´ıvel. Usando o m´etodo de elimina¸c˜ao de Gauss temos:
− 1 1 x 1 2 y 0 1 z
− 1 1 x 0 3 x + y 0 1 z
− 1 1 x 0 1 z 0 3 x + y
− 1 1 x 0 1 z 0 0 x + y − 3 z
Portanto (x, y, z) ∈ V 1 se e s´o se x + y − 3 z = 0; pelo que V 1 = {(x, y, z) ∈ R 3 : x + y − 3 z = 0}. Relativamente a V 2 , em primeiro lugar temos que encontrar as vari´aveis livres do sistema homog´eneo associado. Podemos considerar z como livre e vem y = −z e x = −y +3z = 4z. Portanto v = (x, y, z) ∈ V 2 se e s´o se v = (4z, −z, z); como (4z, −z, z) = z(4, − 1 , 1) podemos concluir que V 2 = L({(4, − 1 , 1)}). Assim V 1 ∩ V 2 = {(x, y, z) ∈ R 3 : x + y − 3 z = 0, y + z = 0, −x − y + 3z = 0} e V 1 + V 2 = L({(− 1 , 1 , 0), (1, 2 , 1), (4, − 1 , 1)}).
- Em R 3 , considere os subespa¸cos:
U = L ({(1, − 1 , 1), (1, 2 , 2)}) e V = L ({(2, 1 , 1), (− 1 , 1 , 3)}).
Seja v ∈ U , ent˜ao v = α(1, − 1 , 1) + β(1, 2 , 2) = (α + β, −α + 2β, α + 2β),
com α, β ∈ R. Para que v esteja tamb´em em V ´e preciso que:
v = (α + β, −α + 2β, α + 2β) = λ(2, 1 , 1) + μ(− 1 , 1 , 3) = (2λ − μ, λ + μ, λ + 3μ) ,
com λ, μ ∈ R. Deste modo,
α + β = 2λ − μ −α + 2β = λ + μ α + 2β = λ + 3μ.
Considerando a matriz aumentada tem-se
1 1 2 λ − μ − 1 2 λ + μ 1 2 λ + 3μ
L 1 +L 2 →L (^2) −L 1 +L 3 →L (^3)
1 1 2 λ − μ 0 3 3 λ 0 1 −λ + 4μ
− 13 L 2 +L 3 →L (^3)
1 1 2 λ − μ 0 3 3 λ 0 0 − 2 λ + 4μ
Logo, (^)
α + β = 2λ − μ β = λ 0 = − 2 λ + 4μ.
α = μ β = 2μ λ = 2μ. Assim, v = α(1, − 1 , 1) + β(1, 2 , 2) = μ(1, − 1 , 1) + 2μ(1, 2 , 2) = (3μ, 3 μ, 5 μ) = μ(3, 3 , 5). Logo,
U ∩ V = {(3μ, 3 μ, 5 μ) : μ ∈ R} ={μ(3, 3 , 5) : μ ∈ R} = L ({(3, 3 , 5)}).
- Vectores geradores: S = {v 1 , ..., v (^) k } gera V se qualquer vector de V for combina¸c˜ao linear de vectores de S, i.e. se V = L({v 1 , ..., v (^) k }). Teorema: Sejam S 1 ⊂ S 2 subconjuntos de um espa¸co linear V. Ent˜ao S 2 gera V se S 1 gera V. Se S = {v 1 , ..., v (^) k } s˜ao vectores de R n^ ent˜ao S gera V se e s´o se o sistema Ax = b for poss´ıvel para todo o vector (coluna) b ∈ V , onde as colunas de A s˜ao formadas pelos vectors de S. Exemplos: • Os vectores v 1 = (1, 0), v 2 = (0, 1) geram R 2 , porque o sistema cuja matriz aumentada ´e 1 0 x 0 1 y
´e poss´ıvel para qualquer b = (x, y) ∈ R 2!
- Os vectores v 1 = (1, 1), v 2 = (2, 2) n˜ao geram R 2 , porque o sistema cuja matriz aumentada ´e
1 2 x 1 2 y
n˜ao ´e poss´ıvel para qualquer b = (x, y) ∈ R 2! Os vectores geram o subespa¸co definido pela equa¸c˜ao x − y = 0, i.e. V = L({(1, 1), (2, 2)}) = {(x, y) ∈ R 2 : x − y = 0} uma vez que o sistema cuja matriz aumentada ´e 1 2 y 1 2 y
´e poss´ıvel para qualquer b = (y, y) ∈ V!
- Os vectores v 1 = (− 1 , 1 , 0), v 2 = (1, 2 , 1) n˜ao geram R 3 pois o sistema
− 1 2 x 1 2 y 0 1 z
(^) n˜ao ´e poss´ıvel para
qualquer b = (x, y, z) ∈ R 3. Os vectores geram o subespa¸co linear {(x, y, z) ∈ R 3 : x + y − 3 z = 0}; ver (5).
- Independˆencia linear: v 1 , ..., v (^) k dizem-se linearmente independentes se:
α 1 v 1 + α 2 v 2 + .... + α (^) k v (^) k = 0 =⇒ α 1 = α 2 = ... = α (^) k = 0.
Caso contr´ario, os vectores dizem-se linearmente dependentes. Teorema: Se S 1 ⊂ S 2 subconjuntos de um espa¸co linear V. Ent˜ao os vectores de S 1 s˜ao linearmente independentes se os de S 2 o forem. Se v 1 , ..., v (^) k ∈ R n^ ent˜ao os vectores v 1 , ..., v (^) k s˜ao linearmente independentes sse o sistema homog´eneo Ax = 0 for determinado, i.e. car(A) = k, onde as colunas de A s˜ao os vectores de v 1 , ..., v (^) k.
Exemplos: • (1, 0), (0, 1) s˜ao linearmente independentes pois car
= 2 (neste caso k = 2).
- (1, 0), (0, 1), (2, 2) s˜ao linearmente dependentes pois car
= 2 (neste caso k = 3).
Teorema: N (A) = N (U ), L(A) = L(U ) e car(A) = dim(C(A)) = dim(L(A)), car(A) + dim(N (A) = no de colunas de A e car(A)=car(A T^ ).
E ´´ obvio que L(A) = L(U ) e N (A) = N (U ). Al´em disso, se U ´e uma matriz em escada de linhas ent˜ao as suas linhas n˜ao nulas s˜ao vectores linearmente independentes, pelo que car(A) =dimL(A) e que car(A) + dim(N (A)) = n. Vamos provar que dim(C(A)) = dim(L(A)). Seja k = car(A), R 1 , ...Rk as linhas n˜ao nulas de U e L 1 , ..., L (^) m as linhas de A. Como L(A) = L(U ), existem escalares c (^) ij tais que
L 1 = c 11 R 1 + ... + c (^1) k R (^) k , ..., L (^) m = c (^) m 1 R 1 + ... + c (^) mk R (^) k.
Para i = 1, ..., m, sejam a (^) ij e r (^) ij as componentes j das linhas L (^) i e R (^) i respectivamente. Assim tem-se,
a (^1) j = c 11 r (^1) j + ... + c (^1) k r (^) kj , ..., a (^) mj = c (^) m 1 r (^1) j + ... + c (^) mk r (^) kj ,
ou matricialmente (^)
a (^1) j .. . a (^) mj
=^ r^1 j
c (^11) .. . c (^) mk
+^ ...^ +^ r^ kj
c (^1) k .. . c (^) mk
Como
a (^1) j .. . a (^) mj
´e a coluna^ j^ de^ A, a ´ultima igualdade prova que dimC(A)^ ≤^ dimL(A). Aplicando esta desigual-
dade `a matriz AT^ obt´em-se dimC(A T^ ) ≤ dimL(A T^ ), i.e. dimL(A) ≤ dimC(A). Portanto dimC(A) = dimL(A). Tamb´em podemos concluir que car(A)=car(A T^ ).
Teorema: N (A) ∩ L(A) = { 0 }, L(A) + N (A) = R n^.
- Uma base para L(A) = linhas n˜ao nulas de U.
- Uma base para C(A) = colunas da matriz inicial A que correspondem `as colunas de U com pivˆo.
- Uma base para N (A) = vectores envolvidos na escrita do vector geral do conjunto solu¸c˜ao do sistema homog´eneo U x = 0 (escolhendo para vari´aveis livres aquelas que correspondem `as colunas de U sem pivˆo).
Para provar N (A) ∩ L(A) = { 0 } basta ver que N (A T^ ) ∩ C(A) = { 0 }. Seja v ∈ N (A T^ ) ∩ C(A) (u T^ e v T^ s˜ao uma matrizes coluna). Ent˜ao A T^ v T^ = 0 existe u tal que v T^ = Au T^. Logo
0 = u(A T^ v T^ ) = (uAT^ )v T^ = vv T^ =
v (^2) i ,
pelo que v 1 = ... = v (^) m = 0, i.e. v = 0.
Exemplo: A =
= U.
Como car(A) = 2 temos dim(L(A)) = C(A) = 2 e dim(N (A)) = n − 2 = 2. Assim, {(1, 1 , 1 , −1), (0, 0 , 1 , 2)} ´e uma base para L(A) e {(1, − 1 , 1), (1, − 1 , 2)} ´e uma base para C(A). Finalmente, N (A) = N (U ) e podemos considerar as vari´aveis y e w livres, obtendo z = − 2 w, x = −y −z +w = −y + w. Portanto N (A) = {(−y + w, y, − 2 w, w) ∈ R 4 : y, w ∈ R} e como
(−y + w, y, − 2 w, w) = y(− 1 , 1 , 0 , 0) + w(1, 0 , − 2 , 1)
temos que {(− 1 , 1 , 0 , 0), (1, 0 , − 2 , 1)} ´e uma base para N (A).
- Coordenadas de um vector numa base: Seja B = {v 1 , v 2 , ..., v (^) k } uma base ordenada de V (i.e. uma base de V onde se fixou uma ordem nos vectores dessa base) e seja v ∈ V. As coordenadas do vector v na base B s˜ao os (´unicos) escalares α 1 , α 2 , ..., α (^) k da combina¸c˜ao linear:
v = α 1 v 1 + α 2 v 2 + ... + α (^) k v (^) k.
Designamos por v (^) B = (α 1 , ..., α (^) k ) as coordenadas de v em B. Exemplos: • Seja B = {(1, 0), (0, 1)} a base can´onica de R 2. As coordenadas v (^) B do vector v = (x, y) em B coincidem com v, pois (x, y) = x(1, 0) + y(0, 1).
- Seja B = {(1, 1), (1, −1)} base de R 2. As coordenadas v (^) B de um vector v = (x, y) em B s˜ao v (^) B = ( x+ 2 y, x− 2 y), pois (x, y) = x+ 2 y(1, 1) + x− 2 y(1, −1).
- Seja B = {(1, 1 , 0), (1, − 1 , 0)} uma base para o subespa¸co V de R 3. As coordenadas v (^) B de v = (3, − 1 , 0) na base B s˜ao v (^) B = (1, 2), porque v = 1(1, 1 , 0) + 2(1, − 1 , 0).
Matriz mudan¸ca de base: Sejam B 1 = {v 1 , v 2 ,... , v (^) n } e B 2 = {w 1 , w 2 ,... , w (^) n } duas bases ordenadas de V. Seja S (^) B 1 →B 2 a matriz cujas colunas s˜ao as coordenadas dos vectores de B 1 em rela¸c˜ao `a base B 2. Isto ´e,
S (^) B 1 →B 2 = [s (^) ij ] (^) n×n com v (^) j =
^ n
i=
s (^) ij w (^) i para todo o j = 1, ..., n.
A matriz S (^) B 1 →B 2 ´e invert´ıvel e chama-se matriz de mudan¸ca de base (da base B 1 para B 2 ). Se
v = α 1 v 1 + ... + α (^) n v (^) n ,
isto ´e, se (α 1 , ..., α (^) n ) forem as coordenadas do vector u na base B 1 ent˜ao as coordenadas (β 1 , ..., β (^) n ) de v na base B 2 s˜ao dadas por
β (^1) .. . β (^) n
=^ S^ B 1 →B 2
α (^1) .. . α (^) n
α (^1) .. . α (^) n
=^ S^ B 2 →B 1
β (^1) .. . β (^) n
,^ S^ B−^1 1 →B 2 =^ S^ B 2 →B 1 ,^ S^ B− 21 →B 1 =^ S^ B 1 →B 2.
Exemplo: Sejam B 1 = {(1, 0), (0, 1)} e B 2 = {(1, 1), (1, −1)} duas bases ordenadas de R 2. Temos
S B 2 →B 1 =
e S (^) B 1 →B 2 =
Finalmente, para v = (x, y), temos v (^) B 1 = (x, y) e para calcular v (^) B 2 podemos usar S (^) B 1 →B 2 :
S B 1 →B 2
x y
(^) x+y x−^2 y 2
, i.e. v (^) B 2 =
(^) x + y 2
x − y 2
4 Valores e vectores pr´oprios para matrizes
- Valores e vectores pr´oprios: Seja A matriz quadrado n × n. Um vector u n˜ao nulo tal que
Au = λu (para algum escalar λ)
diz-se vector pr´oprio de A e λ diz-se o valor pr´oprio associado.
p(λ) = det(A − λI) ´e o polin´omio caracter´ıstico de A; p(λ) ´e de facto um polin´omio de grau n, em que det(A) e o coeficiente do termo independente e (−1) n^ ´e o coeficiente do termo de grau n. Espectro de A ´e o conjunto de todos os valores pr´oprios de A e designa-se por σ (^) A. Teorema: λ ´e valor pr´oprio de A se e s´o se λ for zero do polin´omio caracter´ıstico. Multiplicidade alg´ebrica, m (^) a (λ), de um zero λ de p(λ) ´e o n´umero de vezes que λ ´e zero do polin´omio. A soma das multiplicidades alg´ebricas de todos os valores pr´oprios de A ´e igual a n. Se A for matriz real, os coeficientes de p(λ) s˜ao todos reais, mas os zeros de p(λ) s˜ao n´umeros complexos. Exemplos: • Se A ´e do tipo 2 × 2, ent˜ao p(λ) = λ 2 − tr(A)λ + det(A).
; p(λ) = det
1 − λ 1 1 1 1 − λ 1 1 1 1 − λ
(^) = −λ 2 (λ − 3). Portanto A tem dois valores
pr´oprios λ 1 = 0 e λ 2 = 3; m (^) a (λ 1 ) = 2 (zero duplo) e ma (λ 2 ) = 1 (zero simples).
5 Transforma¸c˜oes lineares
- Sejam V 1 , V 2 espa¸cos lineares. Uma fun¸c˜ao T : V 1 → V 2 ´e uma transforma¸c˜ao linear se
- T (u + v) = T (u) + T (v) para quaisquer u, v ∈ V 1 e
- T (αu) = αT (u) para qualquer u ∈ V 1 e escalar α.
Exemplos: • T : R 2 → R 3 tal que T (x, y) = (2x − y, x, 4 y) ´e uma transforma¸c˜ao linear.
- Seja A matriz real m × n. Ent˜ao T : R n^ → R m^ definida por T (u) = Au ´e uma transforma¸c˜ao linear.
- Seja T : R 2 → R 2 transforma¸c˜ao linear tal que T (1, 1) = (3, 4) e T (1 − 1) = (0, 0). Vamos determinar T (x, y) para um vector (x, y) qualquer. Em primeiro lugar determine-se as coordenadas de (x, y) na base {(1, 1), (1, −1)}. Temos (x, y) = x+ 2 y(1, 1) + x− 2 y(1, −1); por outro lado usando o facto de T ser uma trans- forma¸c˜ao linear, temos
T (x, y) = T
(^) x + y 2
x − y 2
x + y 2
T (1, 1) +
x − y 2
T (1, −1) =
x + y 2
x − y 2
3 x + 3y 2
4 x + 4y 2
- T (p(t)) = p(1) + t(p(t) ^ ) ´e uma transforma¸c˜ao linear T : P 5 → P 5.
- T(X) = X+X^ T 2 ´e uma transforma¸c˜ao linear^ T^ :^ M^ n×n^ (R)^ →^ M^ n×n^ (R).
- N (T ) = {u ∈ V 1 : T (u) = 0} ´e o n´ucleo da transforma¸c˜ao linear T e I(T ) = {T (u), u ∈ V 1 } ´e a imagem (ou contradom´ınio) de T. Teorema: N (T ) subespa¸co linear de V 1 e I(T ) subespa¸co linear de V 2. Exemplo: Se T : R n^ → R m^ ´e dada por T (u) = Au. Ent˜ao N (T ) = N (A) e I(T ) = C(A).
Teorema: Dada T : V 1 → V 2 transforma¸c˜ao linear, tem-se
- T injectiva se e s´o se N (T ) = { 0 }.
- T sobrejectiva se e s´o se I(T ) = V 2. Se T for injectiva e sobrejectiva ent˜ao dizemos que T ´e um isomorfismo entre V 1 e V 2. Escrevemos V 1 V (^2) se existir um isomorfismo entre V 1 e V 2.
- Sejam U e V espa¸cos lineares de dimens˜oes finitas, dim U = n e dim V = m. Sejam B 1 = {u 1 , u 2 ,... , u (^) n } e B 2 = {v 1 , v 2 ,... , v (^) m } bases ordenadas de U e V respectivamente. Seja T : U → V uma transforma¸c˜ao linear. Considere-se a matriz A = (a (^) ij ) (^) m×n ∈ M (^) m×n (R) cuja coluna j, para cada j = 1, ..., n, ´e formada pelas coordenadas de T (u (^) j ) na base B 2. Isto ´e,
T (u (^) j ) =
^ m
i=
a (^) ij v (^) i.
Chama-se a esta matriz A a representa¸c˜ao matricial de T em rela¸c˜ao `as bases B 1 e B 2 e escreve-se
A = M (T ; B 1 ; B 2 ).
Teorema: Sendo α 1 , α 2 , ..., α (^) n as coordenadas de um vector u ∈ U na base ordenada B 1 ent˜ao as coordenadas β 1 , β 2 , ..., β (^) m de T (u) ∈ V na base ordenada B 2 s˜ao dadas por
β (^1) β (^2) .. . β (^) m
= M (T ; B 1 ; B 2 )
α (^1) α (^2) .. . α (^) n
Exemplos: • Para a transforma¸c˜ao identidade I : V → V tal que I(u) = u, tem-se M (I; B 1 ; B 2 ) = S (^) B 1 →B 2.
- T : R 3 → R 2 tal que T (x, y, z) = (2x − y, x + 3y − z); B 1 a base can´onica de R 3 e B 2 a base can´onica de R 2 ; ent˜ao M (T ; B 1 ; B 2 ) =
pois T (1, 0 , 0) = (2, 1), T (0, 1 , 0) = (− 1 , 3) e T (0, 0 , 1) = (0, −1).
- Fixando uma matriz A (^) m×n , seja T : R n^ → R m^ definida por T (u) = Au. Ent˜ao M (T ; B 1 , B 2 ) = A onde B (^1) e B 2 s˜ao as bases can´onicas de R n^ e R m^ , respectivamente.
- Seja T : R 2 → R 2 definida por T (x, y) = (4x − 2 y, 2 x + 6y). Vamos fixar a mesma base no espa¸co de partida e no espa¸co de chegada, B = {(1, 1), (1, −1)}. Assim,
T (1, 1) = (2, 8) = 5 (1, 1) − 3 (1, −1), T (1, −1) = (6, −4) = 1 (1, 1) + 5 (1, −1)
e portanto M (T ; B; B) =
- Teorema: • Se T 1 : V 1 → V 2 e T 2 : V 2 → V 2 s˜ao transforma¸c˜oes lineares e α ´e um escalar, ent˜ao T 1 + T 2 e αT 1 tamb´em s ao transforma¸c˜oes lineares e
M (T 1 + T 2 ; B 1 ; B 2 ) = M (T 1 ; B 1 ; B 2 ) + M (T 2 ; B 1 ; B 2 ), M (αT 1 ; B 1 ; B 2 ) = αM (T 1 ; B 1 ; B 2 ).
- Se T 1 : V 1 → V 2 e T 2 : V 2 → V 3 s˜ao transforma¸c˜oes lineares; B 1 , B 2 , B 3 bases de V 1 , V 2 , V 3 respectivamente, e A 1 = M (T 1 ; B 1 ; B 2 ), A 2 = M (T 2 ; B 2 ; B 3 ). Ent˜ao a composi¸c˜ao T 2 ◦ T 1 ´e uma transforma¸c˜ao linear e M (T 2 ◦ T 1 ; B 1 ; B 3 ) = A 2 A 1.
Se T : V → V transforma¸c˜ao linear e B 1 , B 2 bases de V , A = M (T ; B 1 ; B 1 ), B = M (T ; B 2 ; B 2 ) e S = S (^) B 1 →B 2. Ent˜ao T = I ◦ T ◦ I −^1 e B = SAS −^1. (6)
Exemplo: Seja T : R 2 → R 2 definida por T (x, y) = (4x − 2 y, 2 x + 6y) e B 1 a base can´onica de R 2 e B 2 = {(1, 1), (1, −1)}. Como T (1, 0) = (4, 2) e T (0, 1) = (− 2 , 6), temos A = M (T ; B 1 ; B 1 ) =
Mais,
S −^1 := S (^) B 2 →B 1 =
, S = S B 1 →B 2 =
Portanto B = M (T ; B 2 ; B 2 ) = SAS −^1 = (^12)
- Seja T 1 : R 2 → R 2 definida por T 1 (x, y) = (4x− 2 y, 2 x+6y), T : R 2 → R 3 definida por T 2 (x, y) = (x− 2 y, 2 x+ 3 y, x) e B 1 = B 2 a base can´onica de R 2 e B 3 a base can´onica de R 3. Ent˜ao A 1 = M (T 1 ; B 1 ; B 2 ) =
e A 2 = M (T 2 ; B 2 ; B 3 ) =
. Assim
M (T 2 ◦ T 1 ; B 1 ; B 3 ) = A 2 A 1 =
Em particular, temos (T 2 ◦ T 1 )(x, y) = (− 14 y, 14 x + 14y, 4 x − 2 y).
- Sejam U e V dois espa¸cos lineares de dimens˜oes finitas. Seja T : U → V uma transforma¸c˜ao linear. Sejam S (^1) e S 1 duas bases ordenadas de U. Sejam S 2 e S 2 duas bases ordenadas de V. Seja M (T ; S 1 ; S 2 ) a matriz que representa T em rela¸c˜ao
as bases S 1 e S 2. Ent˜ao, a matriz M (T ; S 1 ; S 2 ) que representa T em rela¸c˜aoas bases S 1 e S 2 , ´e dada por
M (T ; S 1 ; S 2 ) = S S 2 →S 2 M (T ; S 1 ; S 2 )
S S 1 →S 1
- Seja B = {p 1 , p 2 , p 3 } base de P 2 onde p 1 (t) = 1 + 2t + 3t 2 , p 2 (t) = 2 + 3t, p 3 (t) = 1. Seja T : P 2 → P 2 a transforma¸c˜ao linear definida por:
T (p 1 (t)) = p 2 (t), T (p 2 (t)) = p 3 (t), T (p 3 (t)) = 0.
Ent˜ao a matriz M (T ; B; B) que representa T na base B ´e
Como N (M (T ; B; B)) = L ({(0, 0 , 1)}), ent˜ao N (T ) = L ({ 0 p 1 (t) + 0p 2 (t) + 1p 3 (t)}) = L ({p 3 (t)}). O con- junto { 1 } ´e uma base de N (T ) pois gera N (T ) e ´e linearmente independente. Quanto ao contradom´ınio, como B = {p 1 , p 2 , p 3 } gera P 2 :
I(T ) = L ({T (p 1 (t)) , T (p 2 (t)) , T (p 3 (t))}) = L ({p 2 (t), p 3 (t)}) = L ({2 + 3t, 1 }).
O conjunto {2 + 3t, 1 } ´e uma base de I(T ) pois gera I(T ) e ´e linearmente independente. Finalmente vamos resolver, em P 2 , a equa¸c˜ao linear T (p(t)) = 3 + 3t. Como T (p(t)) = 3 + 3t = (2 + 3t) + 1 = T (p 1 (t)) + T (p 2 (t)) = T ´e linear T (p 1 (t) + p 2 (t)) = T
3 + 5t + 3t 2
, logo 3 + 5t + 3t 2 ´e uma solu¸c˜ao particular de T (p(t)) = 3 + 3t, pelo que a solu¸c˜ao geral de T (p(t)) = 3 + 3t ´e dada por: 3 + 5t + 3t 2 + N (T ) = α + 3 + 5t + 3t 2 com α ∈ R.
- T : V → V transforma¸c˜ao linear; u ∈ V vector n˜ao nulo ´e vector pr´oprio de T se existe um escalar λ tal que T (u) = λu (λ ´e o valor pr´oprio associado a u). E (^) λ = N (T − λI) ´e o espa¸co pr´oprio de T associado a λ.
Se dim(V ) < +∞, seja A = M (T ; B; B) onde B uma base de V. Teorema • λ valor pr´oprio de T se e s´o se λ valor pr´oprio de A.
- u vector pr´oprio de T se e s´o se u (^) B vector pr´oprio de A (u (^) B designa as coordenadas de u em B). Dizemos que T ´e diagonaliz´avel se existir uma base de V formada por vectores pr´oprios de T. Teorema: T diagonaliz´avel se e s´o se A diagonaliz´avel. Exemplo: Seja T : P 2 → P 2 tal que T (a 0 + a 1 t + a 2 t 2 ) = (a 0 + a 1 + a 2 ) + (a 0 + a 1 + a 2 )t + (a 0 + a 1 + a 2 )t 2.
Com B = { 1 , t, t 2 } base can´onica de P 2 , temos A =
(^) cujos valores pr´oprios s˜ao λ 1 = 0 e λ 2 = 3
pois p(λ) = −λ 2 (λ − 3); Temos {(− 1 , 0 , 1), (0, − 1 , 1), (1, 1 , 1)} ´e uma base de R 3 formada por vectores pr´oprios da matriz A, pelo que {−1 + t 2 , −t + t 2 ), 1 + t + t 2 } ´e uma base de P 2 formada por vectores pr´oprios de T. Portanto A ´e diagonaliz´avel e assim T tamb´em o ´e.
6 Produtos internos
- Seja V um espa¸co linear real. Uma aplica¸c˜ao , : V × V → R ´e um produto interno (p.i.) em V se:
- (Linearidade) u + αv, w = αu, w + v, w para todo o escalar α e todos u, v, w ∈ V ,
- (Simetria) u, v = v, u para todos u, v ∈ V e
- (Positividade) u, u > 0 para qualquer u ∈ V , u = 0. Espa¸co euclidiano ´e um espa¸co linear munido com um produto interno. Exemplos: • (x 1 , ..., x (^) n ), (y 1 , ..., y (^) n ) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + ... + x (^) n y (^) n ´e um produto interno (usual) em R n^.
- (x 1 , x 2 ), (y 1 , y 2 ) = 2x 1 y 1 x 1 y 2 + x 2 y 1 + x 2 y 2 define um produto interno (diferente do usual) em R 2. Note que (x 1 , x 2 ), (x 1 , x 2 ) = x 21 + (x 1 + x 2 ) 2 > 0 para qualquer (x 1 , x 2 ) = (0, 0).
- Se V um espa¸co linear complexo, , : V × V → C ´e um produto interno em V se os axiomas da linearidade e positividade forem satisfeitos e o axioma da simetria ´e substitu´ıdo por u, v = v, u, com u, v ∈ V. O produto interno usual em C n^ ´e (x 1 , ..., x (^) n ), (y 1 , ..., y (^) n ) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + ... + x (^) n y (^) n.
- Seja , um produto interno num espa¸co linear (real) V de dimens˜ao finita e {v 1 , ..., v (^) n } uma base ordenada de V. Seja u = α 1 v 1 + ... + α (^) n v (^) n e v = β 1 v 1 + ... + βv (^) n. Seja A = [a (^) ij ] a matriz da m´etrica, definida por a (^) ij = v (^) i , v (^) j .
Teorema: A matriz A ´e sim´etrica A = A T^ e u, v =
α 1 α 2... α (^) n
A
β (^1) β (^2) .. . β (^) n
Exemplos: • Considerando a base can´onica de R n^ e o produto interno usual tem-se A = I.
- Com a base can´onica de R 2 e o p.i. (x 1 , x 2 ), (y 1 , y 2 ) = 2x 1 y 1 x 1 y 2 + x 2 y 1 + x 2 y 2 , tem-se A =
- Fixando um produto interno em V , ent˜ao
v, v ´e a norma de v ∈ V.
- u e v dizem-se ortogonais se u, v = 0.
- proju (^) v = u,vv,v v ´e a projec¸c˜ao ortogonal de u sobre v.
- Desigualdade de Cauchy-Schwarz: |u, v| ≤ u v.
- arcos∠(u, v) = (^) ||uu,v||||v|| ´e o ˆangulo entre u e v.
- Bases ortogonais: Seja B 1 = {u 1 , ..., u (^) n } base de V. Dizemos que B 2 = {v 1 , ..., v (^) n } ´e base ortogonal de V se B 2 ´e uma base de V e os vectores de B 2 forem ortogonais v (^) i , v (^) j = 0, para i = j. Dizemos que B 3 = {w 1 , ..., w (^) n } ´e base ortonormada de V se B 3 ´e uma base ortogonal de V e ||v (^) i || = 1 para i = 1, ..., n. Exemplo: • A base can´onica de R n^ ´e uma base ortonormada (para o produto interno usual).
- {(1, 0), (0, 2)} ´e uma base ortogonal de R 2 , no entanto n˜ao ´e ortonormada.
- {(1, 1), (0, 1)} ´e uma base de R 2 , que n˜ao ´e ortogonal.
- {(1, 1 , 1), (1, 1 , −2)} n˜ao ´e uma base ortogonal de R 3 ; mas sim, uma base ortogonal para o subespa¸co linear U = {(x, y, z) ∈ R 3 : x − y = 0}. Teorema: Conjunto de vectores n˜ao nulos ortogonais 2 a 2 ´e um conjunto linearmente independente. M´etodo de ortogonaliza¸c˜ao de Gram-Schmidt 7 permite-nos construir a base ortogonal B 2 a partir de uma base B 1 de V :
v 1 = u 1 ,
v 2 = u 2 − proj (^) v 1 u 2 = u 2 − u 2 , v 1 v 1 , v 1 v 1 ,
v 3 = u 3 − proj (^) v 2 u 3 − proj (^) v 1 u 3 = u 3 −
u 3 , v 1 v 2 , v 1 v 1 −
u 3 , v 2 v 2 , v 2 v 2 , ... v (^) n = u (^) n − proj (^) v 1 u (^) n − ... − proj (^) v (^) n− 1 u (^) n.
Dada uma base ortogonal B 2 podemos construir uma base ortonormada de V normalizando cada vector de B 2 , i.e. w 1 = (^) ||vv^1 1 || , w 2 = (^) ||vv^2 2 || , ..., w (^) n = (^) ||vv^ n (^) n ||.
- Teorema: Se {v 1 , ..., v (^) n } ´e base ortogonal de V , ent˜ao
v = (^) vv,v 1 ,v^1 1 v 1 + (^) vv,v 2 ,v^2 2 v 2 + ... + (^) vv,v (^) n ,vn (^) n^ v (^) n.
- Teorema: Seja B = {w 1 , w 2 , ..., w (^) n } uma base de R n^. Ent˜ao, existe um ´unico produto interno em R n^ para o qual esta base ´e ortonormada.
(^7) Jorgen Pedersen Gram 1850–1916. Erhard Schmidt 1876–
