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ELETROMAGNETISMO - LISTA 5
Lei de Faraday
Data para entrega: 14 de junho (quinta-feira)
1. Campo magnético variando no tempo
Considere o problema na figura abaixo, referente à um campo magnético B perpendicular à
uma espira de uma única volta e cuja resistência é desprezível. O campo muda com o tempo
de acordo com o gráfico abaixo e sua direção é saindo da página. O raio da espira é r = 50 cm
e ela está conectada em série com um resistor de resistência R = 20 Ω. Nas perguntas abaixo,
considere como positivo o sentido anti-horário.
(a) Encontre uma expressão para a fem induzida no circuito em função de Bz (t) (sem núme-
ros!)?
Para encontrar uma expressão para a fem, o ponto de partida é a lei de Faraday:
E = −
dΦB dt
d dt
B · ˆn dA
O sentido anti-horário foi definido como o positivo, e portanto B · ˆn = +Bz. Com isso obtemos,
E = −πr^2
dB dt
onde, para referência, πr^2 ' 0 .79 m^2.
(b) Faça um gráfico da fem em função do tempo. Nomeie os eixos apropriadamente, com escala
e unidades. Muito cuidado com os sinais. Note que o sentido positivo da fem foi definido
como sendo o anti-horário.
De acordo com o gráfico de Bz em função do tempo, temos as seguintes situações para cada intervalo:
0 < t < 2 :
dB dt
= 2 , 5 T −→ E = − 1 , 96 V
2 < t < 4 : dB dt
= 0 −→ E = 0
4 < t < 8 :
dB dt
= − 1 , 25 T −→ E = 0, 98 V
O gráfico correspondente está ilustrado na figura abaixo.
2 4 6 8
t HsL
0
EHVL
(c) Faça um gráfico da corrente I através do resistor R em função do tempo. Nomeie os eixos
apropriadamente, com escala e unidades. Para cada um dos três intervalos de tempo em que
o campo está mudando, faça um desenho do resistor com uma flecha indicando a direção
da corrente.
A corren está relacionada com a fem induzida de forma simples, através da relação
I =
E
R
onde R = 20 Ω. Note que ambas possuem o mesmo sinal. O gráfico correspondente está ilustrado na figura abaixo (atenção: a escala de I está em mA).
2 4 6 8
t HsL
0
IHmAL
O diagrama da figura abaixo ilustra o sentido da corrente nos diferentes intervalos de tempo rele- vantes.
I (a) 0 < t < 2
I= 0 (b) 2 < t < 4
I (c) 4 < t < 8
(d) Faça um gráfico da potência dissipada no resistor em função do tempo.
A definição geral de potência (para lembrá-los) é
P = EI
(Em geral nós escrevemos P = V I, mas neste caso a ddp é dada somente pela fem induzida E). Esta definição é geral. No advento da lei de Ohm ser válida (o que é verdade em problemas na lista de exercício, mas não necessariamente na vida real), então podemos usar que E = IR e rescrever esta expressão como, por exemplo P = RI^2
Note que a potência, independentemente do sinal de I (ou E), é sempre uma grandeza positiva. O seu gráfico correspondente está ilustrado na figura abaixo.
Pela lei de Ohm a corrente será simplesmente
Idir = Edir R 2
onde o subscrito “dir” serve para denotar grandezas referentes ao circuito da direita. Além disso, pela lei de Faraday sabemos que Edir = −
dΦB dt
= −Bav
Portanto, a corrente será Idir = −
Bav R 2 Vejamos três formas distintas de extrair a direção da corrente.
(1) De acordo com a convenção de fluxo magnético, quando ˆn está saindo da página (como neste problema), então valores positivos correspondem a uma circulação no sentido anti-horário. Como os valores que obtivemos são negativos, concluímos que a corrente circulará no sentido horário; ou seja, de cima para baixo em R 2 e de baixo para cima no bastão (vide figura (a) abaixo)
(2) Usando a lei de Lenz vemos que uma corrente induzida no sentido horário produz um campo Bind para baixo, que vai contra o campo original; ou seja, cuja tendência é diminuir quaisquer mudanças no fluxo magnético através do circuito. Caso a corrente fosse no sentido anti-horário, ela criaria um Bind na mesma direção do campo aplicado, aumentando o fluxo magnético.
(3) Quando a corrente é no sentido horário, ela atravessa o bastão de baixo para cima. Consequen- temente, a direção da força magnética que o campo aplicado exerce na corrente induzida (sim, ele exerce uma força na corrente que ele mesmo produz!) será
F^ ˆM = Iˆ × Bˆ
O diagrama com as forças relevantes está ilustrado na figura (b) abaixo. Como é razoável esperar, a força é na direção contrária ao movimento; ou seja, ela tende a frear a barra ao invés de acelerá-la (ufa!). Esta é outra forma de interpretarmos a lei de Lenz e corrobora o nosso resultado de que a corrente é no sentido horário.
R 2 I dir
(a) Direção da corrente no circuito da direita (que passa por R 2 ).
I
FM
B
(b) Direção da força magnética na barra em movimento.
R 1 I esq
(c) Direção da corrente no cir- cuito da esquerda (que passa por R 1 ).
(d) O fluxo magnético no circuito da esquerda está aumentando ou diminuindo (explique)?
No caso do circuito da direita, o fluxo está claramente diminuindo pois a situação é idêntica a do item (a), exceto pelo fato que a área agora está diminuindo.
(e) Qual a magnitude da taxa de variação do fluxo magnético através do circuito da esquerda?
Em analogia direta com o item (b), teremos também para o circuito da esquerda que: ∣ ∣ ∣ ∣
dΦB dt
∣ =^ Bav,^ (circuito da esquerda)
(f) Qual a corrente fluindo pelo resistor R 1 no circuito da esquerda? Faça um desenho de R 1
com uma flecha indicando sua direção.
Usando o mesmo procedimento do item (c) chegamos a
Iesq = Eesq R 1
Bav R 1
O resultado neste caso é positivo. Note: dΦ dtB < 0 mas E = − dΦ dtB , o que acarreta em Eesq > 0 e, consequentemente, Iesq > 0. A conclusão é que a corrente pelo circuito da esquerda circula no sentido anti-horário (vide a figura (c) acima).
Este resultado também está de acordo com a lei de Lenz: uma corrente no sentido anti-horário produz um campo para cima resultando em um aumento do fluxo magnético (cujo intuito é se opor à diminuição ocasionada pela redução da área). Note que uma corrente no sentido anti-horário circulando no circuito da esquerda também equivale a uma corrente de baixo para cima no bastão. Ou seja, os sentidos das correntes são tais que produzem exatamente o mesmo efeito no bastão (que é o protagonista da história): freá-lo por meio de uma força magnética no sentido oposto ao da velocidade (assim como a força de atrito).
(g) Qual a magnitude e a direção da força magnética exercida no bastão?
A direção da força já foi análisada no item (c). A força magnética corresponde à força que o campo magnético gera na corrente que atravessa o bastão. Pela lei de Lenz (ou pela análise vetorial feita no item (c)), a força será no sentido oposto ao da velocidade. Neste caso há duas contribuições para a corrente no bastão: do circuito da esquerda e do circuito da direita. Ambas são na mesma direção e portanto se somam. Note também que se mudássemos a direção da velocidade, toda a análise feita até aqui se inverteria e chegaríamos a conclusão de que a força magnética seria para a esquerda, ainda na direção oposta a velocidade (não existe almoço grátis!).
Com relação a magnitude, teremos o seguinte: se e somente se o campo B for homogêneo, então^1
FM = IaB
A corrente I neste caso representa a corrente total:
I = Iesq + Idir =
Bav R 1
Bav R 2
= Bav
R 1
R 2
Portanto, FM = B^2 a^2 v
R 1
R 2
(^1) Caso contrário temos que pensar em cada pequeno pedaço do circuito onde a força magnética é dada por dFM =
I dl × B, onde dl é um pequeno vetor na direção pela qual a corrente flui. A força total é obtida integrando essa relação ao longo do circuito.
S
N
v
S
N
v
elas entram no pólo sul). Portanto, o fluxo permanece positivo, mas agora ele passa a diminuir de intensidade já que estamos nos afastando do imã.
Assim, a resposta correta é o gráfico (a).
(b) A corrente através da espira em função do tempo?
Existem três formas de analisar a corrente:
(1) De acordo com a lei de Faraday
I =
E
R
R
dΦB dt Isso mostra que a corrente é proporcional ao negativo da taxa de variação do fluxo. Para entender melhor o significado disso, veja a figura abaixo.
t
H a L
Em cada instante de tempo dΦ dtB representa a taxa de inclinação do fluxo. Note que para t nega- tivo ela começa próxima de zero e passa, em seguida, a aumentar gradativamente. Em torno de t = − 1 a taxa de inclinação atinge um máximo, a partir do qual ela passa a diminuir rapidamente, anulando-se em t = 0. Daí em diante ela se torna negativa, tendo um mínimo em torno de t = 1 e tendendo a zero conforme o tempo passa. Este comportamento é análogo ao do gráfico (c), mas cuidado: I ∝ − dΦ dtB. A corrente é tudo isso que eu falei, multiplicado por (-1).
Ou seja, a corrente corresponde ao gráfico na figura (d).
(2) De acordo com a lei de Lenz a corrente deve produzir um fluxo magnético cujo intuito é se contrapor ao fluxo magnético proveniente da interação com o imã. Vejamos primeiro a situação onde a espira está acima do imã. Se a corrente for no sentido anti-horário (visto de cima), então ela irá produzir um campo Bind para cima, que gera um fluxo magnético com o mesmo sinal que o fluxo original. Por outro lado, se o sentido da corrente for horário, o campo gerado será para baixo, acarretando num fluxo induzido contrário ao fluxo original. Portanto, da lei de Lenz podemos ver que a corrente irá fluir (enquanto a espira estiver acima do imã) no sentido horário. De acordo com o enunciado, devemos tomar como positivo o sentido anti-horário; portanto, no presente caso a corrente deverá ser negativa. Isso está de acordo com a nossa outra análise (gráfico (d)), onde concluímos que antes da espira atravessar o imã, a corrente é negativa.
Quando a espira estiver abaixo do imã, a corrente induzida será no sentido anti-horário; ou seja, ela irá produzir um campo para cima cuja tendência é aumentar o fluxo total (que agora está dimi- nuindo já que estamos nos afastando do imã). Novamente, este resultado está de acordo com nossa outra análise já que uma corrente no sentido anti-horário significa um número positivo, assim como observado no gráfico (d) na região onde t > 0.
(3) (Essa é a minha forma favorita de analisar o problema) Comecemos pela situação onde a espira está acima do imã. Se a corrente induzida fosse no sentido anti-horário, então o campo produzido pela espira seria para cima. Veja a figura abaixo:
S
N
ñ
I
O meu ponto é que o campo produzido se assemelha ao de um imã, com o norte apontando para cima. Agora se colocarmos este imã sobre o nosso imã original teremos a seguinte situação (rotacionada de 90 ◦^ para não ocupar tanto espaço):
N^ S N S
Imã fictí
cio
Note: essa situação acarretaria em uma atração dos imãs, que vai contra a lei de Lenz. Portanto, certamente, essa não deve ser a resposta correta; ou seja, a corrente deve circular no sentido horário. Uma análise semelhante mostra que quando a espira tiver abaixo do imã, a corrente deverá ser no sentido anti-horário para produzir uma situação como esta:
N S N^ S
Imã fictí
cio
Agora há uma atração entre os imãs. Por um lado isso reflete a inércia do sistema ao lutar contra mudanças. Por outro, isso reflete o fato que esse tipo de dispositivo não pode ser usado como um
estilingue de espiras: se a situação correta fosse a oposta, o imã aceleraria a espira para longe!
5. Solenóide
Um solenóide (que assumimos ideal) tem 30 cm de comprimento e 1 cm de raio, possui 500
voltas e carrega uma corrente de 2 A.
(a) Calcule o campo magnético no centro do solenóide.
B =
μ 0 N I L
= 4, 2 × 10 −^3 T = 42 G
(b) Calcule o fluxo magnético através do solenóide (assumindo que o campo seja uniforme).
ΦB = N AB = N (πr^2 )B ' 0 , 66 mWb
(c) Calcule a auto-indutância do solenóide.
ΦB = L ∴ L =
ΦB
I
' 0 , 33 mH
(d) Calcule a energia magnética armazenada no solenóide através da relação UB = 12 LI^2.
UB =
LI^2 ' 0 , 66 mJ
(e) Divida o seu resultado do item anterior pelo volume do solenóide a fim de obter a densidade
de energia magnética, uB.
uB =
UB
vol
UB
πr^2 L
' 7 J/m^3
(f) Calcule a densidade de energia através da relação uB = B
2
2 μ 0 , e verifique se o seu resultado
concorda com o item anterior.
uB =
B^2
2 μ 0
(4, 2 × 10 −^3 )^2
2 × 4 π × 10 −^7
' 7 J/m^3
(g) Suponha que passamos a aumentar a corrente numa taxa de 100 A/s. Qual será a fem
induzida no solenóide (em módulo)?
|E| =
dΦB dt
= L
dI dt
' 33 mV
6. Circuito RL
Considere o circuito da figura abaixo, onde a chave S, inicialmente aberta, é fechada em t = 0.
Tome E = 12 V, R = 3 Ω e L = 0, 6 H.
(a) Qual a constante de tempo do sistema e o valor final da corrente? Esboce um gráfico de
I vs. t, indicando o valor final da corrente. Não se esqueça de colocar escala e unidades.
A corrente em função do tempo é descrita por^2
I(t) = Im
1 − e−t/τ^
, Im =
E
R
e τ =
L
R
A constante de tempo será τ =
L
R
= 0, 2 s
e a corrente final será Im =
E
R
= 4 A
Um gráfico de I(t) está ilustrado na figura abaixo.
t
IHtL
(b) Calcule quantas constantes de tempo são necessárias para a corrente atingir 90%, 99% e
99,9% do seu valor final. Dica: desenvolva uma fórmula para o número de constantes de
tempo em função de uma fração f da corrente final; depois basta aplicar esta fórmula para
diferentes valores.
Seja f tal que I = f Im, 0 ≤ f ≤ 1 Substituindo na minha solução para I(t) eu obtenho
f = 1 − e−t/τ (^2) Esta fórmula é a solução da equação diferencial
L dI dt
provida da condição inicial I(t = 0) = 0. Esta equação, por sua vez, é obtida aplicando ao circuito a lei de Faraday (que alguns livros infelizmente chamam de lei de Kirchhoff, que é válida somente para campos conservativos — o que não é o caso no presente problema).
Como I(t) começa em zero e tende ao valor máximo (Im), UL também deve necessariamente fazer algo semelhante. A taxa com que armazenamos energia é simplesmente a derivada da energia:
PL =
dUL dt
L
d dt [I(t)]^2
Aqui devemos tomar um pouco de cuidado: estamos derivando [I(t)]^2 com relação ao tempo; preci- samos usar a regra da cadeia: d dt
[I(t)]^2 = 2I dI dt No item anterior calculamos dI/ dt em t 1 / 2. Substituindo os valores obtemos
PL =
[
]
= 12 W
Ufa! Ainda bem! 24 = 12 + 12 PE = PR + PL
Uma parcela da energia fornecida pela bateria é dissipada pelo resistor e a outra é armazenada no indutor.
7. Solenóides preenchidos com materiais magnéticos
Considere um solenóide com 400 voltas e 20 cm de comprimento, por onde passa uma corrente
de 4 A. Encontre o campo externo (produzido pelas correntes que passam pelo solenóide) e o
campo total quando
(a) não há nenhum material dentro do solenóide.
Na presença de materiais magnéticos o campo total se escreve
B = Bext + μ 0 M
Aqui Bext se refere ao campo produzido por um agente externo, neste caso o campo do solenóide, produzido pela corrente I = 4 A (não confunda com o campo externo ao solenóide, que além de ser aproximadamente nulo, não tem utilidade nenhuma no presente contexto!). Na ausência de qualquer material, B e Bext se igualam e podem ser calculados através da fórmula usual para o campo de um solenóide: B = Bext = μ 0 N I L
' 0 , 0100531 T
(b) o solenóide é preenchido com cromo (Cr é paramagnético com susceptibilidade χ = 2, 7 ×
10 −^4 ).
O Cromo é paramagnético (o que pode ser visto do fato que sua susceptibilidade é positiva). A definição de susceptibilidade é μ 0 M = χBext Portanto, o campo total se torna B = Bext(1 + χ) O campo externo é o mesmo, pois depende exclusivamente da corrente no solenóide. Substituindo valores, obtemos para o campo total,
B = Bext(1 + χ)(0, 0100531) × (1 + 2, 7 × 10 −^4 ) ' 0 , 0100558 T
Uma mudança ínfima!
(c) o solenóide é preenchido com ferro puro, cuja magnetização vale 1 , 2 × 106 A/m.
Mais uma vez: o campo externo permanece o mesmo. O campo total é obtido novamente da mesma relação: B = Bext + μ 0 M Da magnetização do ferro teremos que
μ 0 M = 1, 50796 T
Portanto, B = 1, 5180 T
Ao contrário do Cr, agora o campo é dominado quase que exclusivamente pela contribuição do material.
(d) Suponha agora que preenchemos o solenóide com um líquido. No processo, mediu-se que
o campo magnético dentro do solenóide diminuiu por 0,004%. Encontre a susceptibilidade
do líquido. Ele é diamagnético ou paramagnético?
Partimos da relação B = Bext(1 + χ) Isolando χ obtemos χ = B − Bext Bext Lembrando que 0 , 004% = 4 × 10 −^5 obtemos
χ = − 4 × 10 −^5
O material é portanto diamagnético; ele diminui o campo externo e portanto tem susceptibilidade negativa.
