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C CAAPPÍÍTTUULLOO 0022 – – LLEEII DDEE CCOOUULLOOMMBB EE IINNTTEENNSSIIDDAADDEE DDEE CCAAMMPPOO EELLÉÉTTRRIICCOO
CAPÍTULO 02
LEI DE COULOMB E INTENSIDADE DE CAMPO ELÉTRICO
2.1) Um fio de 2 m está carregado uniformemente com 2 μC. A uma distância de 2 m de sua
extremidade, no seu prolongamento, está uma carga pontual de 2 μC. Obter o ponto no
espaço onde o campo elétrico seja nulo.
Resolução:
Definições:
P (2+d; 0; 0) é o ponto onde o campo elétrico resultante é nulo.
E 1
é o campo elétrico gerado em P pela carga Q.
E 2
é o campo elétrico gerado em P pelo fio.
Cálculo do campo elétrico gerado em P pela carga Q:
2 x o
1 4 2 d
Q
E a
, onde Q = 2μC. (01)
Cálculo do campo elétrico gerado em P pelo fio:
= (^) x 2 o
L 2 4 2 x d
dL E a
,onde:
[ ]
dL dx
m
1 C
2 m
2 C
L
Q
L^ ρL
De (01), conclui-se que
=
2
x 0
2 x o
L 2 4 2 x d
dx E a
Substituição de variáveis na integral:
du dx
u 2 x d (04)
Substituindo (04) em (03), temos:
=
−
2 d
d
2 x d
u
u^4
du
o
L 2
x
2
o x^0
L x 2
2
x 0
1
o
L 2 x^2 o
L 2
E
E a E a E a
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Para o campo elétrico ser nulo em P, é necessário que E 1 + E 2 = 0
Substituindo (01) e (05) em (06), temos:
[ ]
m 3
4 d 2 d 8 8 d 2 d 4 d 4 d d 4 d 4 d d 0 d
2 d 2 d 2 d 2 d d 2 d 0
2 d
d
2 d
2 d
d
4 2 d
2 2 2 3 2 3
2 2
2 o
6
2 o
6
− −
πε^ πε
Logo, as coordenadas do ponto P são: ( 2,67; 0; 0 ) [m]
2.2) Uma linha de carga com ρL = 50 ηC/m está localizada ao longo da reta x = 2, y = 5, no
vácuo.
a) Determinar E
em P (1, 3, -4 );
b) Se a superfície x = 4 contém uma distribuição superficial de carga uniforme com
ρS = 18 ηC/m
2 , determinar em que ponto do plano z = 0 o campo elétrico é nulo.
Resolução:
a)
Campo elétrico para uma linha de cargas:
ρ
E a
o
L L 2
= , onde:
ρ
éounitário de
éovetordirigidodalinhaparaopontoP
a
Cálculo de ρ
e de ρ:
1 2 a (^) x 3 5 ay 0 az ax 2 a y
2 2
Cálculo dea ρ
ax 2 a (^) y a
ρ
ρ ρ (03)
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Substituindo (03) em (01), temos:
2 2
x y
2 2 o
L L o
L L x 2 y 5
x 2 y 5
2 x 2 y 5
a a E a E
ρ
[( ) ( ) ]
[( ) ( ) ]
x y 2 2 o
L L x^2 y^5 2 x 2 y 5
E a a
πε
ρ (04)
Cálculo do campo elétrico no ponto Q devido à superfície:
a (^) N a x
Substituindo (05) em (02), temos:
x o
S P 2
E a
Mas E (^) T = EL+EP= 0
Substituindo (04) e (06) em (07):
−
−
−
−
324 x 2 , 88 x 2
x 2 y 5
900 x 2
0 y 5 x 2 y 5
900 y 5
x 2 y 5
900 y 5 324
x 2 y 5
900 x 2
x 2 y 5
x 2 y 5
x 2 y 5 36
x 2 y 5
x 2 y 5
2 x 2 y 5
2 2
2 2
y 2 2 x 2 2
x 9
9
2 2
x y
2 2
9
9
x o
S
2 2
x y
2 2 o
L T
a a
a
a a
a
a a E
Logo, as coordenadas do ponto Q são: (x = 2,88; y = 50;z = 0).
2.3) Oito cargas pontuais de 1 μC cada uma estão localizadas nos vértices de um cubo de 1 m
de lado, no espaço livre. Encontrar E
no centro:
a) do cubo;
b) de uma face do cubo;
c) de uma aresta do cubo;
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Resolução:
P ( 0,5; 0,5; 0,5 )é o centro do cubo;
K ( 0,5; 1; 0,5 )é o centro de uma face;
M ( 1; 0,5; 0 )é o centro de uma aresta.
a) Como as cargas são todas iguais e simétricas, elas produzem campos iguais e em oposição.
Logo, o campo elétrico em P é nulo.
b) E (^) K EGK ECK EBK EFK EAK EEK EHK EDK
= + + + + + + + , onde:
éocampogeradoem pelacargaemD;
éocampogeradoem pelacargaemH;
éocampogeradoem pelacargaemE;
éocampogeradoem pelacargaemA;
éocampogeradoem pelacargaemF;
éocampogeradoem pelacargaemB;
éocampogeradoem pelacargaemC;
éocampogeradoem pelacargaemG;
éocampogeradoem pelascargaemG,C,B,F,A,E,HeD;
D
H
E
A
F
B
C
G
E K
E K
E K
E K
E K
E K
E K
E K
E K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
Por simetria:
E G K + ECK+EBK+EFK = 0
, o que torna E (^) K EAK EEK EHK EDK
Cálculo de EAK
K K
E (^) k a A 2 R o A
A 4 R
Q
πε
= , onde:
K K
K K
K
a R
R
R A K
A A
R
A A
A
éumversor de
R
éovetordirigidodacargaem aoponto
^
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Substituindo (02), (03), (04) e (05) em (01):
( K K K K )
K
E (^) k 32 RA RE RH RD
o (^) A
4 R
Q
Mas:
A E H D y
A E H D x y z x y z x y z x y z
4
05 05 05 05 05 05 05 05
R R R R a
R R R R a a a a a a a a a a a a
K K K K
K K K K
∴ + + + =
- =(, + + , )+(−, + + , )+(−, + − , )+(, + − , )
Substituindo (07) em (06) ,temos:
[ ]
m
19 , 57 19 , 57 V
4 R
4 Q
y
y 32 o
9
y 32 o A
−
k k
k
K
k
E a E
E a E a
c) E (^) M EEM EFM EAM EBM EHM EGM ECM EDM
= + + + + + + + , onde:
éocampogeradoem pelacargaemD;
éocampogeradoem pelacargaemC;
éocampogeradoem pelacargaemG;
éocampogeradoem pelacargaemH;
éocampogeradoem pelacargaemB;
éocampogeradoem pelacargaemA;
éocampogeradoem pelacargaemF;
éocampogeradoem pelacargaemE;
éocampogeradoem pelascargasemE,F,A,B,H,G,CeD;
D
C
G
H
B
A
F
E
E M
E M
E M
E M
E M
E M
E M
E M
E M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
Por simetria:
E E M + EFM = 0
Portanto: EM EAM EBM EHM EGM ECM EDM
Cálculo de EAM
M M
E (^) M a A
R 2 o A
A 4 R
Q
πε
= , onde:
M M
M M
M
a R
R
R A M
A A
R
A A
A
éumversor de
R
éovetordirigidodacargaem aoponto
^
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M
M
M
M M
R
R a a a a
A
A
A
A x y z A R R
05 0 ; R 125 ;
M
M
E M RA
32 o A
A 4 R
Q
Cálculo de EBM
M M
E (^) M a B 2 R o B
B 4 R
Q
πε
= , onde:
M M
M M M M
M
a R
R R
R B M
B B
R
B A B A
B
éumversor de
R R
éovetordirigidodacargaem aoponto
^
M
M
M
M M M
R
R a a a a
A
B
B
B x y z B A R R
05 0 ; R R 125 ;
M
M
E M RB
32 o A
B 4 R
Q
Cálculo de EHM
M M
E (^) M a H
R 2 o H
H 4 R
Q
πε
= , onde:
M M
M M M M
M
a R
R R
R H M
H H
R
H A H A
H
éumversor de
R R
éovetordirigidodacargaem aoponto
^
M
M
M
M M M
R
R a a a a A
H
H
H x y z H A R R
0 05 ; R R 125 ;
M
M
E M 32 RH
o A
H 4 R
Q
Cálculo de EGM
M M
E (^) M a G 2 R o G
G 4 R
Q
πε
= , onde:
M M
M M M M
M
a R
R R
R G M
G G
R
G A G A
G
éumversor de
R R
éovetordirigidodacargaem aoponto
^
M
M
M
M M M
R
R a a a a A
G
G
G x y z G A R R
0 05 ; R R 125 ;
M
M
E M 32 RG
o A
G 4 R
Q
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2.4) Uma distribuição linear uniforme de cargas no eixo z é definida como sendo ρL = 10π
ηC/m para z ≥ 0 e ρL = 0 para z < 0. Determinar qual deverá ser a densidade superficial
de cargas no plano infinito z = 0 de modo que o campo elétrico resultante no ponto P ( 0,
3, 0 ) tenha direção normal ao eixo z. Determinar também o campo elétrico resultante.
Cálculo do campo elétrico no ponto P devido ao plano:
z o
S N N z P o
S P 2
onde: 2
E a a a E a
Cálculo do campo elétrico no ponto P devido à linha:
9 z
3 z
R 9 z
3 z
onde 4 R
dz
2
y z R
2
y z
2 R o
L L
∫ a a a
R
R a a
E a
z 2 32 o
L y 2 32 o
L L
y z 2 32
y z
o
L L
9 z
zdz
9 z^4
3 dz
dz
9 z
3 z
E a a
E E
a a E
∫ ∫
∫
9 z
zdz
9 z
3 dz
z 2 32 o
L z
y 2 32 o
L y
∫
∫
E a
E a
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Para que o campo elétrico resultante no ponto P ( 0, 3, 0 ) tenha direção normal ao eixo z, a
condição de E (^) P Ez
= deve ser satisfeita.
Fazendo (01) = (04), temos:
2 2 32 o
L
o
S
3 z
zdz
Substituição de variáveis na integral:
dz 3 d
z 3tg
2 sec
Substituindo (06) em (05), temos:
[ ]
m
C
d 3
3 tg 3 d
S 2
90 0
9
S
9
S 3
9 2
S
°
−
− −
cos θ
cos
sen .cos
sec
. sec
Cálculo do campo elétrico resultante ( ETOTAL
Como o campo elétrico resultante no ponto P ( 0, 3, 0 ) apresenta somente uma componente
na direção de ay
, conclui-se que E (^) TOTAL Ey
Substituindo (03) em (07), temos:
2 2 32 y o
L TOTAL 3 z
3 dz
E a
Substituição de variáveis na integral:
dz 3 d
z 3tg
2 sec
Substituindo (09) em (08), temos:
[ ] [ ]
m
9412 V
d 6
33 d
y TOTAL
90 0 o
9
TOTAL
y o
9
y 3
2
o
9
TOTAL
sen ,
cos
sec
. sec
°
−
− −
E a E
E a a
θ
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Substituindo em (01) as coordenadas do ponto P, temos:
c c - 2
Substituindo (02) em (01), temos:
x
y
Portanto, a Equação da linha de Força é:
- 6 x+ 2 y+xy= 0 ou 6 x- 2 y−xy= 0
b) E (^) P éovetorEdefinidonopontoP(2,3,- 4 ).
y P x y
3 x
2 E (^) P 15 2. 3 a 5. 3 a E 180 a 135 a
E x y
x y E
2 2
x y E P
P E
a a a
a a a
a a a E
E
a
c)
1 pois éum versor.
0 pois Seja m n demodoque:
N N
N E N E N x y a a
a a a a a a a
De (01), conclui-se que:
n m - 0 , 75 n 0,
0 , 8 m 0 , 6 n m -
m (^) x n y (^08) x (^06) y 0 0 , 8 m 0 , 6 n 0
( a + a )•( , a + , a )= ⇒ + =
De (02), conclui-se que: m n 1
2 2
Substituindo (04) em (03) ,temos:
n 064 n 0 , 8
1 075
(-0,75 n) n 1 n
2
2
2 2 2 ⇒ = ⇒ =±
Substituindo (05) em (03), temos:
m = -0,75.(±0,8)⇒m=∓ 0 , 6 (06)
Substituindo (05) e (06) em (01), temos:
a (^) N 0 , 6 ax 08 a y
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2.7) Um cilindro de raio a e altura 2a possui as bases com cargas simétricas de densidade
ρS constante. Calcular o campo elétrico no seu eixo, a meia distância entre as bases.
Resolução:
Sabe-se que E (^) R E 1 E 2 R a R a Rzaz
= + =E (^) ρ ρ +E φ φ +E onde, ER
é o campo resultante,
E 1
é o campo gerado no ponto em questão devido à distribuição da base do cilindro (1) e E 2
é o
campo gerado no ponto em questão devido à distribuição do topo do cilindro (2).
Devido à simetria das distribuições, ER
não apresenta componentes nas direções de
a (^) ρ a φ
e de ( ER (^) ρ =ER φ = 0 ). Deste modo, as componentes de E 1
e de E 2
na direção de az
definem a direção e a magnitude de ER
.Assim, R (^1) z (^2) z
E 2 E 2 E
Cálculo de E 1
2 2
z R
2 2 z
R
R 2 o
S 1
a
a
a ; R a
éumunitáriode
R
paraoponto (0,0,a);
éovetordirigidodoelementodiferencialdeárea
dS d d
,onde 4 R
dS d
ρ
ρ
ρ ρ
ρ ρ φ
πε
ρ
ρ
ρ
a a a
R a a
a R
R
R
E a
Substituindo (02) em (01), temos:
2 2 32 z^111 z o
S 1 a ) 4 a
d d d E a a E E E
ρ ρ ρ
πε ρ
ρ ρ ρ φ (
( )
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2.8) Uma carga Q (Q > 0) está localizada na origem do sistema de coordenadas. Determinar
em que ponto na linha definida por x = 1 e z = 3 está E (^) yno seu máximo.
Resolução:
Cálculo do campo elétrico para a carga pontual:
2
x y z R
2 x y z
R
2 R o
10 y
y 3
y 3 ; R 10 y
éumunitáriode
R
éovetordirigidodaorigemparaoponto (1,y, 3 )
, onde 4 R
Q
a a a a
R a a a
a R
R
R
E a
πε
Substituindo (02) em (01), temos:
4 10 y
3 Q
4 10 y
yQ
4 10 y
Q
10 y
y 3
Q
10 y
y 3
4 10 y
Q
2 32 z o
z
2 32 y o
y
2 32 x o
x
2 32
x y z
o 2
x y z
2 2 o
E a
E a
E a
a a a E
a a a E
πε
πε
πε
πε πε
De (03), conclui-se que 2 32 o
y y 10 y
y
Q
E
πε
E
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Cálculo de máx
E (^) y :
10 y
10 y. 2 y.y 2
10 y
Q
y
E
2 3
2 32 2 12
o
y
πε
10 y 3 y y 5
3 y 10 y
10 y 10 y 3 10 y y
2 2
2
2 12
2 32 2 32 2 12 2
Logo, max
E (^) y ocorre nos pontos ( 1 , 5 , 3 ) e( 1 , - 5 , 3 ).
