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MAT - 3210 — Cálculo Diferencial e Integral II - Geologia 1 a^ Lista de Exercícios - 2019
1. APLICAÇÕES DA INTEGRAL DEFINIDA
EXERCÍCIOS
1. Calcule a área da região compreendida entre os gráficos de f (x) = x^3 − 2 x + 1 e g(x) = −x + 1, com − 1 ≤ x ≤ 1. (Resp.:
2. Desenhe a região A = B ∩ C ∩ D e calcule a área de A, onde B = {(x, y) ∈ R^2 : y ≥ x^2 − 4 }, C = {(x, y) ∈ R^2 : y ≤ 12 − 3 x^2 } e D = {(x, y) ∈ R^2 : y ≤ 3 x^2 + 12 x + 12 } (Resp.:
3. Desenhe a região A = {(x, y) ∈ R^2 : y ≥ x^2 − 1, y ≤ x + 1 e y ≥ −x^2 − 3 x − 2 } e calcule a sua área. (Resp.:
4. Sejam f : [−1, 3] → R contínua com f (x) ≤ 0, para todo x ∈ [−1, 3], A = {(x, y) ∈ R^2 : − 1 ≤ x ≤ 3 e y ≥ f (x)} e B = {(x, y) ∈ R^2 : − 1 ≤ x ≤ 3 e y ≤ x^2 + 3 },
tais que a área de A ∩ B seja igual a 23. Calcule
∫ (^3)
− 1
f (x)dx. (Resp.: −
5. Determine m > 0 para que a área delimitada por y = x^2 , y = x
2 2 e a reta y = mx seja igual a 4. (Resp.: m = 2)
6. Desenhe a região do plano delimitada pela curva y = x^3 − x e por sua reta tangente no ponto de abscissa x = −1. Calcule a área desta região. (Resp.:
7. Calcule
0 (x^ +^
1 − x^2 )dx, interpretando-a como uma área. (Resp.:
π 4
8. Calcule
∫ (^1)
− 1
x^3 sen (x^2 + 1 )dx. (Resp.: 0)
9. Encontre o volume de uma pirâmide cuja base é o quadrado de lado L e cuja altura é h. 10. Calcule o comprimento do gráfico de f (x) = ln(cos x), para 0 ≤ x ≤
π 4
(Resp.: ln(( 1 +
11. Calcule o comprimento da astróide cuja equação é x
(^23)
(^23) = a
(^23)
. (Resp.: 6a) 12. Calcule a área da região interna ao laço formado pela curva y^2 = x^2 (x + 3 ). (Resp.:
13. Dados a, b > 0, calcule a área da região do plano cartesiano limitada pela elipse
x^2 a^2
y^2 b^2
(Resp.: π ab)
14. Calcule o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo Ox do conjunto a) A = {(x, y) ∈ R^2 : 0 ≤ xy ≤ 2, x^2 + y^2 ≤ 5 e x > 0 }
(Resp.: π
[∫
1 0
( 5 − x^2 )dx +
∫ (^2)
1
x^2
dx +
∫ √ 5
2
( 5 − x^2 )dx
]
b) A = {(x, y) ∈ R^2 : y ≥
x e (x − 1 )^2 + y^2 ≤ 1 } (Resp.:
π 6
c) A = {(x, y) ∈ R^2 : 0 ≤ x ≤ 2 e e−x^ ≤ y ≤ ex^ } (Resp.:
π 2
(e^2 − e−^2 )^2 ) 1
d) A = {(x, y) ∈ R^2 : x > 0, y ≤ 1 e 1/x ≤ y ≤ 4/x^2 } (Resp.:
5 π 6
15. Calcule o volume do sólido obtido pela rotação em torno da reta y = 3, da região delimitada
pelas parábolas y = x e y = 2 − x^2. (Resp.:
π )
16. Seja A = {(x, y) ∈ R^2 : 0 ≤ x ≤ 1 e ln(x + 1 ) + 2 ≤ y ≤ ex^ + 4 }. Determine o volume do sólido obtido pela rotação de A em torno da reta y = 2.
(Resp.: π
[∫ 1
0
(ex^ + 2 )^2 dx −
∫ (^1)
0
ln^2 (x + 1 )dx
]
17. O disco x^2 + y^2 ≤ a^2 é girado em torno da reta x = b (b > a) para gerar um sólido, com a forma de um pneu. Esse sólido é chamado toro. Calcule seu volume. ( Sugestão: Note que ∫ (^) a
−a
a^2 − y^2 dy =
π a^2 2
.) (Resp.: ( 2 π b)( π a^2 ))
18. Calcule o volume de uma calota esférica de altura h, (h ≤ a) de uma esfera de raio a. (Resp.:
π
a −
h 3
h^2.
19. Determine o comprimento da curva y = cosh x, − 3 ≤ x ≤ 4. (Resp.: senh4 + senh3) 20. Um anel esférico é o sólido que permanece após a perfuração de um buraco através do cen- tro de uma esfera sólida. Se a esfera tem raio R e o anel esférico tem altura h. 21. Desenhe a curva dada em coordenadas polares ρ e θ.
a. ρ = e− θ^ θ ≥ 0; b. ρ = cos θ c. ρ cos θ = 1; − π 2 < θ < π 2 d. ρ = cos 3 θ e. ρ^2 =
1 + sen 2 θ
f. ρ = 1 − sen θ
22. Passe a curva dada abaixo para coordenadas polares ρ e θ e a desenhe.
a. x^4 − y^4 = 2 xy b.
x^2 + y^2
= x^2 − y^2 c. x^2 + y^2 + x =
x^2 + y^2 d.
x^2 + y^2
= y^2
23. Calcule a área da região limitada pela curva dada em coordenadas polares ρ e θ.
a. ρ = 2 − cos θ , (Resp.:
9 π 2
) b. ρ^2 = cos θ ; ρ ≥ 0, (Resp.: 1)
c. ρ cos 2 θ , (Resp.:
π 2
) d. ρ = cos 3 θ , (Resp.:
π 4
24. Calcule a área da interseção das regiões limitadas pelas curvas dadas em coordenadas pola- res ρ e θ.
a. ρ = sen θ e ρ = 1 − cos θ , (Resp.: π − 2 2 ) b. ρ = 3 e ρ = 2 ( 1 − cos θ ), (Resp.: 7 π − 9
√ 3 2 ) c. ρ^2 = cos θ e ρ^2 = sen θ ; ρ ≥ 0, (Resp.: 1 −
√ 2 2 )
d. ρ = 1 e ρ = 2 ( 1 − cos θ ), (Resp.: 83 π − 7
√ 3 2 )
10. Desenhe a imagem de cada uma das seguintes curvas: a. γ (t) = (1, t, 1); b. γ (t) = (cos t, sin t, 2); c. γ (t) = (e−t^ cos t, e−t^ sin t, e−t), t ≥ 0; d. γ (t) = (t, cos t, sin t), t ≥ 0; e. γ (t) = (sin t, sin t,
2 cos t), 0 ≤ t ≤ 2 π ; f. γ (t) = ( 1 + sin t, 1 + sin t, cos t).
11. Em cada caso, encontre uma parametrização para C e para a reta tangente a C no ponto P: a. C =
(x, y, z) ∈ R^3 | x^2 + y^2 + z^2 = 1 e z = x + 1
e P = (− 12 ,
√ 2 2 ,^
1 2 ). b. C =
(x, y, z) ∈ R^3 | x^2 + y^2 + z^2 = 1 e (x − 1 )^2 + y^2 + (z − 1 )^2 = 1
e P = ( 12 ,
√ 2 2 ,^
1 2 ). c. C =
(x, y, z) ∈ R^3 | z = y^2 − x^2 e x^2 + y^2 = 1
e P = (
√ 2 2 ,
√ 2 2 , 0). d. C =
(x, y, z) ∈ R^3 | x^2 + y^2 − 2 z^2 = 1 e y = 2 z + 1
e P = (−
e. C =
(x, y, z) ∈ R^3 | x = z e x^2 + y^2 = z
e P = ( 12 , 12 , 12 ).
f. C =
(x, y, z) ∈ R^3 | z =
4 x^2 + y^2 e z = 2 x + 1
e P = (0, 1, 1).
12. Seja f (x, y) =
2 x^2 + 4 y^2 x^2 + y^2 + 1
a. Esboce as curvas de nível de f dos níveis c = 1, c = 2 e c = 3. b. Encontre uma curva derivável γ , definida num intervalo I ⊂ R , cuja imagem seja a curva de nível de f do nível c = 1. c. Determine o vetor tangente à curva γ , que você encontrou no item anterior, no ponto (−1, 0). d. Seja Γ : [0, 2 π ] → R^3 dada por Γ(t) = (sin t, cos t, z(t)). Sabendo que a imagem da curva está contida no gráfico de f , encontre o vetor tangente a Γ em Γ( π 3 ).
RESPOSTAS
1 a.
(x, y) ∈ R^2 : y ≤ x
b.
(x, y) ∈ R^2 : x 6 = 0
c.
(x, y) ∈ R^2 : x^2 + y^2 > 1
d.
(x, y) ∈ R^2 : y 6 = x + 1 + 22 k π , k ∈ Z
e.
(x, y) ∈ R^2 : y > 0
f.
(x, y) ∈ R^2 : x(y − x)(y + x) > 0
g.
(x, y) ∈ R^2 : 4x^2 + y^2 < 16
2 a. γ (t) = (t, 12 ( 1 − t)), t ∈ R X = ( 12 , 14 ) + λ (2, − 1 ), λ ∈ R b. γ (t) = ( 5 + cos t, √^12 sin t), t ∈ [− π 2 , π 2 ] X = (6, 0) + λ (0, 1), λ ∈ R c. γ (t) = (sec t, tan t), t ∈ ] − 2 π , π 2 [∪] π 2 , 32 π [ X = (
2, 1) + λ (
2, 2), λ ∈ R d. k = 1: elipse; k = 2: um par de re- tas paralelas; k = 3: uma hipérbole. 5 b. Sim, no nível 5. 6 Apenas a superfície do item a. 8 no nível 2. 9 z(t) = 2 t^2 + 1. 11 a. γ (t) = 12 (cos t − 1,
2 sin t, cos t + 1 ), t ∈ [0, 2 π [
X = ( − 21 ,
√ 2 2 ,^
1 2 ) +^ λ (−1, 0,^ −^1 ),^ λ^ ∈ R ; b. γ (t) = 12 ( 1 − cos t,
2 sin t, cos t + 1 ), t ∈ [0, 2 π [ X = ( 12 ,
√ 2 2 ,^
1 2 ) +^ λ (1, 0,^ −^1 ),^ λ^ ∈^ R ; c. γ (t) = (cos t, sin t, − cos( 2 t)), t ∈ [0, 2 π [ X = (
√ 2 2 ,
√ 2 2 , 0) +^ λ (−1, 1, 2
2 ), λ ∈ R ; d. γ (t) = (
2 cos t, − 1 +2 sin t, − 1 + sin t), t ∈ [0, 2 π [ X = (−
2, −1, − 1 ) + λ (0, 2, 1), λ ∈ R ; e. γ (t) = ( 12 + 12 cos t, 12 sin t, 12 + 1 2 cos^ t),^ t^ ∈^ [0, 2 π [ X = ( 12 , 12 , 12 ) + λ (1, 0, 1), λ ∈ R ; f. γ (t) = ( 14 (t^2 − 1 ), t, 12 (t^2 + 1 )), t ∈ R X = (0, 1, 1) + λ (1, 2, 2), λ ∈ R. 12 a. c = 1: x^2 + 3 y^2 = 1; c = 2: y = 1 e y = −1; c = 3: − x
2 3 +^
y^2 3 =^ 1; b. γ (t) = (sin t, cos√ 3 t ), t ∈ [0, 2 π ]; c. (0, √^13 );
d. ( 12 , −
√ 3 2 ,^ −^
√ 3 2 ).
3. LIMITES E CONTINUIDADE
EXERCÍCIOS
1. Calcule os seguintes limites, caso existam. Justifique quando não existirem:
a. lim (x,y)→(0,0)
xy x^2 + y^2
; b. lim (x,y)→(0,0)
x^2 y cos(x^2 + y^2 ) x^2 + y^2
c. lim (x,y)→(0,0)
x^3 + y^3 x^2 + y^2
; d. lim (x,y)→(0,0)
x^2 y 2 x^4 + x^2 y + y^2
e. lim (x,y)→(0,0)
2 x^2 + 3 xy + 4 y^2 3 x^2 + 5 y^2
; f. lim (x,y)→(0,0)
x^2 y x^4 + y^2
g. lim (x,y)→(0,0)
xy x^3 − y
; h. lim (x,y)→(0,0)
x^4 sin(x^2 + y^2 ) x^4 + y^2
i. lim (x,y)→(0,0)
(x + y)^3 x^2 + y^2
; j. lim (x,y)→(0,0)
x^2 x^2 + y^2
sin
√xy x^2 +y^2
k. lim (x,y)→(0,0)
x^3 y + y^4 + x^4 x^3 y − xy^3
; l. lim (x,y)→(0,0)
x^3 + sin(x^2 + y^2 ) y^4 + sin(x^2 + y^2 )
m. lim (x,y)→(0,0)
x^3 y^4 + x^5
y^4 x^6 + y^8
; n. lim (x,y)→(0,0)
x^3 ( 1 − cos(x^2 + y^2 )) (x^2 + y^2 )^3
2. Decida se os limites abaixo existem, determinando seu valor em caso afirmativo: a. lim (x,y)→(0,0)
sin(x^2 + y^2 ) x^2 + y^2
; b. lim (x,y)→(0,0)
(x^2 + y^2 )ln(x^2 + y^2 );
c. lim (x,y)→(0,0)
x^2 ln( 3 x^2 + y^2 ) arctan
y^2 − x^2
; d. lim (x,y)→(1,1)
x^2 ln( 3 x^2 + y^2 ) arctan
y^2 − x^2
3. Determine os pontos de continuidade da seguinte função
f (x, y) =
(x^2 − y^2 )(x − 1 )^2 (x^2 + y^2 )[(x − 1 )^2 + (y − 1 )^2 ]
, se (x, y) 6 = (0, 0) e (x, y) 6 = (1, 1);
1, se (x, y) = (0, 0); 0, se (x, y) = (1, 1).
4. Seja
f (x, y) =
x^4 x^4 +y^2 sin
e
− (^) x (^2) +^1 y 2
, se (x, y) 6 = (0, 0);
L, se (x, y) = (0, 0). Existe algum número real L para o qual f seja contínua em (0, 0)? Justifique.
5. Seja f (x, y) =
3 (x − 1 )^2 + (y − 1 )^2 x^2 − y^2
a. Num mesmo sistema de coordenadas, esboce as curvas de nível de f nos níveis k = 1 e k = 3. b. Existe lim (x,y)→(1,1)
f (x, y)? Justifique.
RESPOSTAS
1 a. não existe; b. 0; c. 0; d. não existe; e. não existe; f. não existe g. não existe; h. 0; i. 0; j. 0; k. não existe; l. 1; m. não existe; n. 0.
2 a. 1; b. 0; c. 0; d. não existe. 3
(x, y) ∈ R^2 : (x, y) 6 = (0, 0)
4 L = 0.
5 O limite não existe.
5. INFORMAÇÕES GERAIS
Bibliografia Sugerida
(1) Hamilton L. Guidorizzi; Um Curso de Cálculo, vol. 1 cap. 13. (2) Hamilton L. Guidorizzi; Um Curso de Cálculo, vol. 2 cap. 9 a 16.
OU
(3) James Stewart; Cálculo , vol. 1, cap. 6. (4) James Stewart; Cálculo , vol. 2, cap. 13 e 14.
Monitoria.
(1) Monitor: Caue Almeida Costa (2) Email: [email protected] (3) Horário: Segundas e Quintas Feiras das 12h às 13h (4) Local: Auditório A
Avaliação - A média final (MF1) será a média de 3 provas: P1, P2 e P3. Haverá uma prova substitutiva (SUB) apenas para quem deixar de fazer uma das provas P1, P2, ou P3. MF1 ≥ 5 e frequência ≥ 70% indica aprovação, 3 ≤ MF 1 < 5 e frequência ≥ 70% dará direito a uma prova de recuperação (REC), MF1 < 3 ou frequência < 70% indica reprovação. Àqueles que fizerem a REC terão uma segunda média final (MF2) que será a média de MF1 e REC. MF2 ≥ 5 indica aprovação e MF 2 < 5 indica reprovação.
Prova Data P 1 19/09/ P 2 21/10/ P 3 21/11/ SUB 28/11/19 Fechada REC a ser marcada em Janeiro ou Fevereiro de 2020.
