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Lista de Integrais De nidas
- Suponha que f + g seja integrável sobre [a, b]. Então, são f e g integráveis sobre [a, b]?
- Suponha que f + g e f − g sejam integráveis sobre [a, b]. Que pode- mos dizer em relação à integrabilidade de f e g?
- Nos itens abaixo, esboce o grá co de cada função f (x) no intervalo dado. Divida intervalo em cinco subintervalos de comprimentos iguais. Depois acrescente ao seu esboço os retângulos associados com a soma de Riemann∑ 5 i=1 f^ (¯xi)∆ix, quando^ x¯i^ é i) a extremidade esquerda
ii) b extremidade direita
iii) o ponto médio do i−ésimo subintervalo.
a) f (x) = x^3 , x ∈ [0, 2]
b) f (x) = −x^2 , x ∈ [0, 1]
c) f (x) = sin x + 1, x ∈ [−π, π]
Para as funções acima, considerando uma partição com cinco subintervalos, explicite suas somas inferior e superior.
- Expresse os limites propostos nos exercícios a)−d) como integrais de nidas.
a) limn→∞
∑n i=1(¯x
2 i −^ 1)∆ix,^ onde^ P^ é uma partição de^ [−^1 ,^ 1] b) limn→∞
∑n i=1(5¯x
3 i +^ e x¯i (^) )∆ix, onde P é uma partição de [0, 1]
c) limn→∞
∑n i=
4 − x¯^2 i ∆ix, onde P é uma partição de [0, 2]
a) limn→∞
∑n i=1(tan ¯xi^ + ¯xi)∆ix,^ onde^ P^ é uma partição de^ [1,^ 3]
- Seja F (x) =
∫ (^) x π/ 2
sin t t dt.^ Determine os valores entre^ π/^2 e^3 π/^2 para os quais F (x) se encontra entre um máximo global e mínimo global. Justi que sua resposta.
- Use o fato que ex^ ≥ 1 + x para todos os valores de x e a fórmula
ex^ = 1 +
∫ (^) x
0
etdt
para provar que
ex^ ≥ 1 + x +
x^2 2
para todos os valores positivos de x. Generalize esta ideia para obter uma desigualdade envolvendo polinômios de grau superior.
- Use o fato que cos x ≤ 1 para todo x e integração repetida para mostrar que
cos x ≤ 1 −
x^2 2!
x^4 4!
- Suponha que f e g sejam contínuas e que
∫ (^2)
1
f (x)dx = − 4 ,
1
f (x)dx = 6,
1
g(x)dx = 8.
Calcular a seguintes integrais:
(a)
2 f^ (x)dx^ (b)^
5 g(t)dt
(c)
1 3 f^ (x)dx^ (d)^
2 f^ (x)dx
(d)
1 [f^ (x) + 4g(x)]dx^ (e)^
1 [3f^ (x)^ −^6 g(x)]dx
- Nos problemas a seguir.
a) Que valores de a e b maximizam o valor de ∫ (^) b
a
(x − x^2 )dx?
b) Que valores de a e b minimizam o valor de ∫ (^) b
a
(x^4 − 2 x^2 )dx?
- Para
∫ (^3) x^1 + 0 f^ (t)dt^ =^
2 ax +^ ax, determine os valores de^ a^ tal que^ f^ (
1 4 ) =^
16
Seja f uma função contínua no intervalo [1, 4], tal que:
a) f (1) = − 2 , f (4) = − 6
b) f ′(x) < 0 em cada x ∈ [1, 4]
c)
1 f^ (x)dx^ =^ −^10.
Determinar o valor de
− 6 f^
− (^1) (x)dx (f − (^1) : função inversa de f ).
- Calcular
lim x→ 1
∫ (^) x 1 sin(t^ −^ 1)
(^2) dt
(1 − x^3 )
- A base de um sólido S é a região limtada pela elipse
x^2 a^2
y^2 b^2
Determine o volume do sólido S assumindo que suas seções transversais per- pendiculares ao eixo X
a) têm o formato de um triângulo retângulo isósceles, onde cada hipotenusa encontra-se sobre o plano XY
b) são quadrados
c) são triângulos de altura igual a 2.
- Num circuito elétrico, a voltagem e(t) e a corrente i(t) no instante t são dados pelas fórmulas e(t) = 160 sin t e i(t) = 2 sin(t − π/6). A potência média é de nida por 1 T
∫ T
0
e(t)i(t)dt,
onde T representa o período tanto da voltagem como da corrente. Determine T e o valor da potência média.
- Se f : R → R é uma função periódica com período p > 0 e integrável sobre [0, p], mostre que
∫ (^) p 0 f^ (x)dx^ =^
∫ (^) p+a a para qualquer^ a^ ∈^ R.
- Seja f : R → R uma função ímpar, periódica com período 2 , e inte- grável sobre cada intervalo. Para g(x) =
∫ (^) x 0 f^ (t)dt^ e^ A^ =^ g(1), a) mostre que g é ímpar e que g(x + 2) − g(x) = g(2)
b) determine g(2) e g(5) em termos de A
c) para qual valor de A a função g seria periódica com período 2?
- Suponha que f seja contínua sobre [a, b]. Se
∫ (^) b a f^ (x)dx^ = 0, mostre que f (c) = 0 para algum c ∈ [a, b].
- Achar a função f e o valor da constante c tal que ∫ (^) x
c
f (t)dt = cos x −
, ∀ x ∈ R.
