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PME2100 - MECÂNICA A
2 a^ LISTA DE EXERCÍCIOS - CINEMÁTICA
LISTA DE EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES AO LIVRO TEXTO (Cap. 6 e 7) (FRANÇA, L. N. F.; MATSUMURA, A. Z. Mecânica Geral. Ed. Edgard Blücher, 2ª ed., 2004)
- Os pontos A (1,2), B (2,1) e C (−1,1) pertencem a um mesmo sólido. Sabendo que vA i j r r^ r = − 2 e que vB i mj r r^ r = 3 + , pedem-se: a) O valor de m. b) A velocidade vC r do ponto C.
Respostas: a) m = 0 b) VC i j
r (^) r r = 3 − 6
- São dadas num determinado instante as posições dos pontos A(0,2,1), B(0,3,1), C (1,3,1) e D (0,3,2) e as velocidades vA j r r = e vD i k r r^ r = 2 +. Considere duas situações para a velocidade de C : vC i r r = e vC i r r = −. Pede-se: a) Verificar se A , C e D podem pertencer a um mesmo sólido; considere as duas situações do ponto C e justifique a resposta. b) Determinar a velocidade de B para que A , B , C e D pertençam ao mesmo sólido; c) Determinar o vetor rotação Ω
r desse sólido.
Respostas: a) sim VC i
r r = (^) b) VB i j k
r r r r = + + c) i j k
r r r r Ω= + −
- A e B são dois pontos genéricos de um sólido em movimento qualquer. Demonstrar que: a)
dt
d B − A
é ortogonal a ( B − A ).
b) A projeção das velocidades de B e A sobre a reta AB são iguais.
c) A diferença de velocidades ( v B vA )
r r
− é um vetor ortogonal a ( B − A ).
- Mostre que se dois pontos P e Q de um mesmo corpo rígido têm, em um dado instante, a mesma velocidade, então: i) ( P − Q )é paralelo ao vetor de rotação ω r ou ii) O corpo realiza, neste instante, um ato de movimento translatório puro.
- Seja A um ponto de uma figura plana em movimento plano e (^) rA r o seu vetor de
posição. Pede-se mostrar que: a) O vetor de posição rC
r do centro instantâneo de rotação C é dado por
rC rA (ω vA ) / ω^2
r r r r = + ∧ , onde ω r é o vetor de rotação da figura.
b) A aceleração do centro instantâneo de rotação C será nula se, para um ponto A :
a A ( vA ) ( vA )
r (^) &r r r = ω /ω+ ω∧
- O chassi de um tanque de guerra (localizado entre as rodas A e B da figura) translada com velocidade v i
r ( v > 0, constante). A roda de centro B e raio r é ligada à anterior por
uma esteira, não havendo escorregamento entre a esteira e as rodas. Não havendo escorregamento entre a esteira e o solo inclinado por onde anda o tanque, determinar por
suas componentes na base ( i jk )
r r r , , :
a) As velocidades v 1 r , v 2 r , v 3 r dos pontos P 1 , P 2 e P 3 indicados. b) Os vetores de rotação (^) ω A r e (^) ω B r das roda de centro A e B , respectivamente. c) A aceleração do ponto P indicado; ( P
r . d) Trace a distribuição de velocidades do pontos do segmento de reta que vai de P 1 a P 2 .Obs.: todas as perguntas se referem ao movimento das rodas em relação ao solo.
Respostas:
a) 1 0
r r v = ; v vi
r r 2 =^2 ; 3 0
r r v = b) r k
R
k R
v (^) A A B
r r r ω^ r ω = − e ω =− c) a^ P R Ai
r 2 r = ω
R
A
B
P
j
r
i
r
ω A^ r
P 1
P 2
P 3
- O sistema indicado move-se no plano (^) Oi j r r
. A barra OA gira em torno de O , de
maneira que ϕ = ω t ( ω > 0, constante). No ponto A as barras estão ligadas por uma articulação. A extremidade B percorre um trecho do eixo (^) Oj r
. Pedem-se:
a) A posição do CIR da barra AB. b) A velocidade vB r de B e a velocidade vA r de A. c) O vetor de rotação Ω r da barra AB. d) A velocidade vM r , do ponto médio M da barra AB. e) Os valores máximo e mínimo de vM r , indicando para quais valores de ϕ eles ocorrem. Obs. i)Admitir que o sistema possibilita 2 0 ≤ ϕ ≤^ π. ii) Os vetores pedidos devem ser expressos na base ( i , j , k ) r rr . iii)Os escalares pedidos devem ser expressos em função da variável ϕ. Resposta: b) vB l j r^ r = 2 ω cos ϕ ; v (^) A l ( sen i cos j ) r r^ r = ω − ϕ + ϕ c) k r r Ω=− ω d) ( sen 3 cos ) 2 i j l vM r r^ r ϕ ϕ ω = − + e) v (^) M (^) máx l ω 2 3 = r ; v (^) M (^) mín l ω 2 1 = r
- A extremidade A da barra AB move-se com velocidade horizontal v constante, conforme indicado na figura. Pede-se: a) As coordenadas do CIR em relação ao sistema de coordenadas dado. b) A velocidade angular da barra AB. c) O vetor velocidade do ponto B. Respostas: a) sin^ ( ) (^2) θ h yCIR = b) k h r (^) v sin 2 ( θ)r ω =− c) j h vl i v h vl VB r r r
sin 3 (θ) sin^2 (θ)cos( θ) ϕ l A B O l j r i ϕ r x y A B l v^ θ^ h
θ (^) A
B C
R O
E (^) F D
j
r
i
r
v
- Na figura está representado o esquema de uma guilhotina. A lâmina móvel L da guilhotina é acionada pelas alavancas AOB e BD. É conhecida a velocidade angular ω da alavanca AOB e as seguintes dimensões: OB = l ; O 1 D = 8 l , BD = 6 l.
Determinar: a) O Centro Instantâneo de Rotação (CIR) da alavanca BD. b) O vetor velocidade v^ r^ B do ponto B. c) O vetor de rotação ω BD r da alavanca BD. d) O vetor velocidade vD r do ponto D. e) O vetor de rotação ω L r da lâmina móvel L.
Resp.: b) VB l j
r r = ω c) BD k
r^ r 10
ω ω = d) VD li lj
r r r = 0 , 48 ω + 0 , 64 ω e) L k
r^ r 10
ω ω =
- No mecanismo plano da figura, a barra EF é paralela ao eixo x e tem velocidade constante vi
r −. A barra AB é articulada em A , não havendo escorregamento entre o disco e as barras EF e AB nos seus pontos de contato D e C. Pede-se determinar em função de v , R e θ: a) O centro instantâneo de rotação I do disco, assim como ( I − O ). b) vO
r e o vetor de rotação ω d
r do disco. c) vC r e o vetor de rotação ω b r da barra AB. d) A aceleração aO
r do ponto O. e) aD r , supondo que D pertença à barra EF.
Respostas: a) j R I O
r cos θ
− = b) i v vO r^ r 1 +cos θ
k R
v d
r^ r θ
θ ω 1 cos
cos
=−
c) ( ) θ
θ θ θ 1 cos
sen sen cos
= − v i j vC
r r r ;
k R
v b
r^ r θ θ
θ ω cos 1 cos
sen 2
=−
d)
i R
v aO r^ r 3
2 3 cos 1 cos
sen θ θ
θ
= − ; e) 0 r r aE =
i
r
B
D
O
O 1 A
L
j ω
r
- No sistema da figura os dois discos ( O , r ) e ( O , R ) são unidos entre si por um eixo em O , mas podem girar independentemente um do outro, sem atrito, em torno do eixo comum. O disco menor ( O , r ) rola sem escorregar sobre o plano horizontal com velocidade angular ω constante. A barra AC apóia-se no disco ( O , R ) e não há escorregamento no contato. Pedem-se em função de ω, r , R e ϕ usando os versores
( i jk )
r r r , , :
a) A posição do CIR do disco ( O , R ). b) A velocidade angular Ω do disco ( O , R ). c) A velocidade angular ω b da barra AC. d) A aceleração aB r do ponto B da barra.
Respostas:
a)
j
R
CIR O
r cos ϕ
b)
k R
r ω r cos ϕr Ω = c)
k R r
r B
r^ r
ϕ
ω ϕ ω cos
sin 2
d)
[ ]
= j R r
r R i R r
R r R r
r aB r r^ r ϕ
ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ
ω ϕ cos
cos cos 1 cos
cos cos
( )^2 sin^3
- Os discos indicados (de raios R e r ) movem-se num plano, rolando sem escorregar sobre a horizontal fixa. Num certo instante o vetor de rotação do disco de centro O 1 é
k , ( 0 , k i j ).
r r r r r Ω =Ω Ω> = ∧ Nesse instante a barra^ AB , cujas extremidades são articuladas a dois pontos na periferia dos discos, ocupa a posição indicada, na qual A , B e O 2 estão alinhados. Pedem-se nesse instante , em função das constantes. R , r e Ω, expressando os
vetores na base ( i , j , k ):
rr r
a) As velocidades vA r e vB r dos pontos A e B. b) O vetor de rotação ω^ r^ do disco de centro O 2
Respostas: a) vB R ( 3 i 3 j ) r r^ r = − Ω + ; v (^) A R ( 3 i j ) r r^ r =− Ω +
b) k r
r R r ω= 2 Ω
R A
B
O r
C
ω
j
r
i
r
ϕ
R
A
B
O 1
r
j
r
i
r
O 2
60 o
- Os discos de raios r , centros A e B rolam sem escorregar, externa e internamente à circunferência fixa de centro O e raio R. O movimento se dá no plano do sistema móvel O ij
r r indicado. Dado o vetor de rotação do disco de centro A : (^) A Ak r^ r ω = ω , ( ω A , constante, k i j
r r r = ∧ ), determinar
por suas componentes na base ( i jk )
r r r , , : a) O vetor de rotação Ω
r da barra AB que está articulada aos centros dos discos. b) O vetor de rotação ω B r do disco de centro B. c) A aceleração aM r do ponto médio M do segmento AB.
Respostas: a)
k R r
r A
r^ r ^ ω
Ω=− b) (^) k R r
R r B A
r^ r ω ω
− =−
c)
−
= − j R r
R r i R r
r a (^) M A r r^ r 2
(^2) ω 2
- A haste rígida OA gira com velocidade angular constante ω, movimentando o disco de centro A que rola sem escorregar sobre o disco de centro O, que é fixo. Determine: a) O CIR da barra OA e do disco de centro A. b) A velocidade (^) v^ r A^ do ponto A.
c) O vetor de rotação Ω
r do disco de centro A. d) A velocidade (^) v^ r B^ e a aceleração (^) a^ r^ B do ponto B.
Respostas:
b) ω^ τ
r r vA = 3 R c) k
r r Ω= 3 ω
d) vB R ( u )
r r r = 3 ω τ− ; ω ω τ r 2 r 2 r aB =− 3 R u − 9 R
O
B
ω A A
y x
O
A
ω
u r
τ r
R
2 R
B
- Na figura os discos concêntricos são solidários. A barra AB move-se horizontalmente com velocidade constante v. Não há escorregamento em D. Um fio, flexível e inextensível, é enrolado no disco menor e sua extremidade E tem velocidade absoluta igual a 2 v como mostrado na figura. Adotando como referencial móvel a barra AB e utilizando os versores ( i , j , k )
r r r , pede-se:
a) A velocidade relativa ( vD ,rel) e absoluta ( vD ,abs) do ponto D. b) O vetor de rotação absoluta ( ω r ) dos discos. c) O CIR dos discos. d) As acelerações relativa, de arrastamento, de Coriolis e absoluta do ponto D do disco.
Resposta:
a) 0
r r r^ r vD = − vi;vD, rel = b) rk
v ω=- r r 4
c)
( ) j
r I D
r 3
4 − =
d) j r
v a (^) D, arr ;aD, cor ;aD aD, rel r r r r r r^ r 16
27 0 0
2 = = = =
- No guindaste ilustrado na figura, a velocidade de içamento do peso A é v , constante. A cabine e a lança BO do guindaste giram com velocidade angular ω, constante, em torno de um eixo vertical passando por O. Supondo AB sempre vertical e sendo a cabine o
referencial móvel e o solo o referencial fixo, pede-se, usando ( i , j , k )
r r r : a) A velocidade absoluta do ponto A , supondo α constante. b) A aceleração absoluta do ponto A , supondo α constante. c) A velocidade absoluta do ponto A , supondo α&=Ω constante.
Respostas:
a) vA vj b αk
r r^ r = − ω cos
b) aA b αi r r =− ω^2 cos
c) vA b αi ( b α v)j b αk r r r^ r =−Ω sen + Ω cos + − ω cos
v (^) A D B
C
E (^) 2 v j
r
i
r r
3 r
y
ω
A
B
h
b
x
α O
v
- A plataforma circular mostrada na figura tem velocidade angular ω constante. A barra AO e o disco de raio a e centro A giram com a plataforma, permanecendo sempre
no plano Oyz do sistema de coordenadas ( O , x , y , z ) de versores ( i , j , k )
r r r solidário à
plataforma. O ângulo ϕ 0 é constante.
Pede-se em função de θ , θ&, θ&& e demais dados do problema: a) os vetores velocidade relativa, de arrastamento e absoluta do ponto B , pertencente à periferia do disco; b) os vetores aceleração relativa, arrastamento e absoluta do mesmo ponto B.
Resp.: a) v^ B, rel θa( θj θk) vB, arr -(l a θ)ωi
r (^) & r r r^ r = cos +sen = cos ϕ 0 + sen
b) aB, rel ( θa θ θa θ)j (θa θ θa θ)k
r r (^) = −& (^2) sen +& & cos^ r+ & (^2) cos +& &sen
aB, arr ω(l a θ) j r r =−^2 cos ϕ 0 + sen aB, cor ωθa θi r (^) &^ r =− 2 cos
- Um caminhão de bombeiros avança com velocidade vC constante. Ao mesmo tempo, sua escada gira em torno de um eixo normal ao plano da figura e que passa por O , com velocidade angular Ψ &^. Um homem sobe a escada com velocidade relativa a esta v = s &. São dados s ( t ) e ψ( t ), portanto também conhecidos v, v & ,^ Ψ & ,Ψ &&Obter em função dos dados: a) Sendo a escada o referencial móvel, vrel , varr , v , do homem, usando os versores ( i , j , k )
r r r . b) Idem, usando os versores ( u , , k ) r r r τ. c) Também para o homem, e sendo a escada ainda o referencial móvel, arel , aarr , a , usando os versores ( u , , k ) r r r τ.
Respostas: a) vrel v i v j r r^ r = cosψ + sen ψ v (^) arr ( vC s ) i s j
r &
r & r = −ψ senψ +ψ cos ψ b) v (^) arr=vc ψu (ψs vC ψ)τ r & r r cos + − sen vrel vu r r = c) (^) a^ r =(^ v & - ψ &^2 s)u^ r+ (ψ && s + 2 ψ & v)τ r
O
s
i vC
j r
r
u r τ r
v , v &
ψ , ψ&^ ,ψ&&
A a B
O x
y
z
ϕ 0
ω
θ ,θ&, θ&&
l
- O mecanismo da figura consiste de uma barra AO que gira em torno da extremidade O com velocidade angular ω constante. A extremidade A é presa por um pino no cursor (ver figura) que pode deslizar internamente ao garfo DB , articulado em D. Usando como referencial móvel o garfo DB , determine em função de ω, l , a e s para θ = 90º: a) A velocidade absoluta do ponto A. b) A velocidade relativa e de arrastamento do ponto A. c) A velocidade angular Ω do garfo DB.
Resp.: b)
i s
a vA, rel ωl r r = − ;
j s
l vA, arr ω r 2 r = − c)
k s
ω.l Ω
r r 2
2 = −
- No mecanismo da figura a barra OC apresenta movimento de rotação em torno de O , com velocidade angular ω constante. O anel A escorrega sobre a barra OC e a barra AB , articulada no anel, tem liberdade de movimento apenas na vertical. Pede-se calcular a velocidade relativa de A com respeito à barra OC.
Resp.:
i ωl vA, rel r^ r ϕ
ϕ cos^2
sen
ϕ
C
O
l B
A
j
r
i
r
ω
s
θ l
ω
A
B
O
D
a
i
r j
r
