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Instituto de F´ısica da Universidade de S˜ao Paulo
F´ısica para Engenharia II - 4320196
Lista de exerc´ıcios 1 - 2011∗
(Quando necess´ario utilize c = 3 × 108 m/s)
Exerc´ıcios de Cinem´atica Relativ´ıstica
- Um feixe de m´esons que se move com velocidade v =
√ 3 2 c em rela¸c˜ao ao laborat´orio passa diante de dois contadores separados por uma distˆancia d = 9 m no labo- rat´orio. As part´ıculas n˜ao sofrem perda alguma, seja em velocidade ou em energia, ao passarem diante dos conta- dores. Observa-se que o primeiro contador registra 1000 m´esons e o segundo assinala somente 250. Admitindo-se que a diminui¸c˜ao no n´umero de m´esons resulta da desin- tegra¸c˜ao destes em vˆoo, pergunta-se qual ´e a meia vida dessas part´ıculas no seu sistema pr´oprio. Admita que os m´esons se desintegram segundo a lei N (t) = N 0 × 2 −t/T^ , onde T ´e a meia vida dos m´esons (n˜ao confundir com a vida m´edia tm, que ´e tm = T / ln(2)!). R: T ′^ = 0, 87 × 10 −^8 s.
- Uma r´egua tem o comprimento pr´oprio de 1 m e se move ao longo do pr´oprio eixo com uma velocidade V em rela¸c˜ao a um observador. O comprimento da r´egua medido pelo observador ´e 0,914 m. Qual a velocidade V? R: 0 ,406 c.
- Considere um universo em que a velocidade da luz ´e c = 120 km/h. Um Honda Civic correndo a uma veloci- dade v relativa
a estrada ultrapassa um Gol se movendo a uma velocidade de c 2 em rela¸c˜aoa estrada. A veloci- dade do Civic ´e tal que seu comprimento ´e medido por um observador fixo na estrada como sendo o mesmo que o do Gol. Sabe-se que o comprimento pr´oprio do Civic ´e o dobro do comprimento pr´oprio do Gol. Qual ´e a velocidade do Honda Civic? R: v = 108,2 km/h. - Um estudante vai realizar uma prova que deve du- rar 1 hora. Seu professor est´a em viagem e passar´a (sem parar) pela Terra com velocidade constante v = 0,6 c. O aluno prop˜oe que a prova inicie quando o professor passar pela Terra e quando o professor, em seu pr´oprio rel´ogio, verificar que se passou 1 hora do in´ıcio da prova ele en- vie um sinal luminoso `a Terra. O aluno terminaria a ∗Nota: os exerc´ıcios especialmente desafiantes est˜ao marcados com (*).
prova quando recebesse o sinal luminoso. Quanto tempo o aluno teria para realizar a prova de acordo com seu rel´ogio?
(a) Quanto tempo o aluno teria para realizar a prova, de acordo com seu rel´ogio?
(b) E quanto tempo o aluno teve para fazer a prova, de acordo com o rel´ogio do professor?
(c) Qual desses intervalos de tempo realmente importa?
R: (a) 2 horas, (b) 2,5 horas, (c) O hor´ario medido pelo aluno, claro!.
- Um evento ocorre no sistema de referˆencia S em x = 40 m, y = z = 0, t = 10−^8 s. S′^ ´e um sistema de referˆencia com uma velocidade de 0,8 c ao longo do eixo x positivo de S. Ache as coordenadas espa¸co-tempo do acontecimento em S′^ se os eixos x, y, z de ambos os sistemas forem paralelos. R: x′^ = 62,7 m, y′^ = z′^ = 0 e t′^ = − 1 , 6 × 10 −^7 s.
- Uma barra de comprimento pr´oprio l 0 no sistema S′, move-se com velocidade constante v relativamente ao sis- tema S. A extremidade da frente da barra, A′, passa pelo ponto A de S no instante de tempo t = t′^ = 0 e neste instante ´e emitido de A′^ um sinal de luz que viaja de A′ para B′^ (a extremidade de tr´as).
(a) Em qual instante de tempo t 0 , medido em S′^ (em repouso com rela¸c˜ao `a barra), o sinal chega em B′?
(b) Em qual instante de tempo t 1 , medido em S, o sinal alcan¸ca B′?
(c) Em qual instante de tempo t 2 , medido em S, a ex- tremidade B′^ da barra passa pelo ponto A?
R: (a) t 0 = l c^0 , (b) t 1 = l c^0
1 − vc 1+ vc^ e (c)^ t^2 =^
l 0 γv
- Quando visto de um sistema inercial S, um evento ocorre no ponto xA sobre o eixo x, e 10−^6 s mais tarde um outro evento ocorre no ponto xB , tal que xA − xB = 600 m, quando visto de S.
(a) Existe um outro sistema inercial S′, movendo-se com uma velocidade menor do que c paralela ao eixo x, para o qual os dois eventos s˜ao simultˆaneos? Se as- sim for, qual ´e o m´odulo e o sentido da velocidade de S′^ com rela¸c˜ao a S?
(b) Repita a parte (a) para o caso em que A e B est˜ao separados somente de 100 m quando vistos de S. R: (a) Sim, ~v = − 0 ,5 c ˆx e (b) ~v = −3 c ˆx (???), impos- s´ıvel!.
- Um astronauta observa duas espa¸conaves viajando em dire¸c˜ao a ele em sentidos opostos. Uma das espa¸conaves (S 1 ) se aproxima com uma velocidade escalar v 1 = 0,6 c, enquanto a segunda (S 2 ) se aproxima com uma veloci- dade escalar v 2 = 0,8 c. Com que velocidade escalar um observador em S 2 vˆe a espa¸conave S 1 se aproximando? R: v = 0,95 c.
- Duas naves espaciais, A e B, viajam na mesma di- re¸c˜ao em sentidos contr´arios, com velocidade de magni- tude 0,8 c em rela¸c˜ao `a Terra (vA = 0,8 c e vB = − 0 ,8 c). Cada nave tem o comprimento, L 0 = 100 m, no referen- cial em que est´a em repouso.
(a) Qual o comprimento de cada nave medido por um observador na Terra?
(b) Qual o comprimento e a velocidade da nave B me- didos por um observador na nave A? (c) Qual o comprimento e a velocidade da nave A me- didos por um observador na nave B?
(d) No instante de tempo t = 0 (rel´ogio da Terra) as proas das naves est˜ao alinhadas e elas come¸cam a passar uma pela outra. Em que instante de tempo (no rel´ogio da Terra) estar˜ao as popas alinhadas? R: (a) LA = LB = 60 m, (b) L′ B = 21,8 m e v′ B = − 0 ,98 c, (c) L′ A = 21,8 m e v A′ = 0,98 c e(d) t = 2, 5 × 10 −^7 s.
- Dois eventos, um na posi¸c˜ao (xA, yA, zA), e outro na posi¸c˜ao (xB , yB , zB ) ocorrem no mesmo instante t 1 para um observador que est´a no sistema inercial de referˆencia S. Esses eventos ser˜ao simultˆaneos para um observador que est´a no sistema inercial de referˆencia S′, que se move com velocidade v ao longo do eixo x em rela¸c˜ao a S? Se n˜ao, qual o intervalo de tempo entre a ocorrˆencia destes eventos? Discuta a dependˆencia do intervalo de tempo com v e com a distˆancia entre os eventos. R: Para xA 6 = xB os dois eventos n˜ao ser˜ao simultˆaneos, pois t′ B − t′ A = γvc 2 (xA − xB ).
- Uma nave espacial S ´e alcan¸cada por uma nave es- pacial S′^ com S′^ passando por S com uma velocidade
relativa v = 2 c. O capit˜ao de S sa´uda o capit˜ao de S′ piscando as luzes da proa e popa, simultaneamente do ponto de vista de S. Quando medida por S, a distˆancia entre as luzes ´e de 100 m. Qual a diferen¸ca entre os tem- pos de emiss˜ao dos sinais das luzes, quando medidos por S′? R: ∆t′^ = 1, 92 × 10 −^7 s.
- Um observador em S vˆe uma estrela com uma ele- va¸c˜ao angular θ em rela¸c˜ao `a horizontal Ox. Um segundo observador S′^ caminha na dire¸c˜ao Ox com velocidade v relativa a S.
(a) Calcule o ˆangulo de eleva¸c˜ao θ′^ da estrela, visto por S′, em rela¸c˜ao a O′x′, sem utilizar os resulta- dos da Teoria da Relatividade Restrita (c´alculo cl´as- sico, conhecido pelos astrˆonomos como “aberra¸c˜ao da luz”).
(b) Calcule novamente o ˆangulo θ′, desta vez utilizando a Teoria da Relatividade Restrita.
(c) Compare os resultados dos itens anteriores quando v c ^ 1.
R: (a) tan(θ′) = (^) cos(sen(θ)θ−) v c , (b) tan(θ′) = (^1) γ [cos(^ sen(θ)θ−) v c ]
e (c) Para vc 1 tem-se que γ ≈ 1 e o resultado relativ´ıstico ser´a igual ao cl´assico.
- Em um referencial S um observador vˆe duas part´ıcu- las idˆenticas (A e B) emergirem da origem do sistema de referˆencia, com velocidades iguais u = 0,5 c, formando um ˆangulo de +30◦^ e − 30 ◦^ com o eixo x.
(a) Determine as velocidades de A e B quando obser- vadas no referencial do centro de massa das duas part´ıculas.
(b) Determine a velocidade da part´ıcula A em rela¸c˜ao `a part´ıcula B.
R: (a) ~vA =
√ 13 13 c ˆ^ e^ ~vB^ =^ −^
√ 13 13 c ˆ^ e (b)^ ~v
′ A =^
√ 13 7 c ˆ.
- (*) Num sistema de referˆencia S, uma barra de com- primento L 0 se move na dire¸c˜ao y, com velocidade (0, u, 0), mantendo-se sempre paralela ao eixo x. Em t = 0 o centro da barra coincide com a origem do sistema de referˆencia e eventos 1 e 2 ocorrem nas extremidades di- reita e esquerda da barra, respectivamente.
(a) Quais s˜ao as coordenadas espa¸cos-temporais dos eventos 1 e 2, conforme um observador em S?
(b) Determine as coordenadas espa¸cos-temporais dos eventos 1 e 2 observadas num referencial S′, que se move com velocidade (v, 0, 0) relativamente a S. Em t = t′^ = 0 os dois sistemas de coordenadas se superp˜oem.
(a) Qual ´e o volume da caixa, visto por um observador que se move em rela¸c˜ao `a caixa com velocidade de magnitude v na dire¸c˜ao da aresta a?
(b) Qual ´e a massa relativ´ıstica da caixa medida por este observador?
(c) Qual ´e a densidade da caixa, em termos de ρ 0 , quando medida pelo observador?
R: (a) V 0 ′ = abcγ , (b) m = γm 0 e (c) ρ′ 0 = γ^2 ρ 0.
- Um n´ucleo de 12 C ´e composto de 6 pr´otons (p) e 6 nˆeutrons (n), mantidos em estreita associa¸c˜ao por for¸cas nucleares intensas. As massas de repouso do n´u- cleo 12 C, do pr´oton e do nˆeutron s˜ao, respectivamente, mC = 12, 000000 u, mp = 1, 007825 u e mn = 1, 008665 u, onde u = 931,4815 MeV/c^2. Qual ´e a quantidade de energia que devemos fornecer a um n´ucleo de 12 C para separ´a-lo em seus pr´otons e nˆeutrons constituintes? R: ∆E = 92,1608 MeV = 1, 48 × 10 −^11 J.
- Para um avi˜ao supersˆonico voando a 2400 km/h, ache o erro percentual feito no c´alculo da sua energia cin´etica, quando se utiliza a aproxima¸c˜ao n˜ao relativ´ıstica. R: ∆KK = 3, 7 × 10 −^12 = 3, 7 × 10 −^10 %.
- Um pr´oton com energia cin´etica EK = 437 MeV colide elasticamente com um pr´oton em repouso e, ap´os a col- is˜ao, os pr´otons emergem com energias cin´eticas iguais. Determine o ˆangulo entre as dire¸c˜oes definidas pelas tra- jet´orias dos pr´otons ap´os a colis˜ao. R: θ = 84, 0 ◦.
- Um corpo de massa de repouso m 0 caminhando ini- cialmente com uma velocidade de magnitude v = 0,6 c em rela¸c˜ao ao referencial do laborat´orio, efetua uma coli- s˜ao perfeitamente inel´astica com um corpo idˆentico, ini- cialmente em repouso no referencial do laborat´orio.
(a) Qual ´e a velocidade do corpo resultante?
(b) Qual ´e a massa de repouso do corpo resultante?
R: (a) u = 13 c e (b) M 0 = 3
√ 2 2 m^0.
- Uma part´ıcula de massa de repouso m 0 tem uma en- ergia cin´etica K. Prove que seu momento linear obedece `a equa¸c˜ao
p =
2 m 0 K +
K^2
c^2
- Um el´etron e um p´ositron (anti-el´etron) movem-se juntos, formando um sistema ligado conhecido como
positrˆonio, com velocidade v 0 = 0,6 c. Num certo instan- te de tempo o p´ositron e o el´etron se aniquilam, criando dois f´otons que se movem em dire¸c˜oes que formam ˆangu- los θ iguais em rela¸c˜ao `a dire¸c˜ao definida pela trajet´oria do positrˆonio. F´otons s˜ao part´ıculas de massa de re- pouso igual a zero. As energias de repouso do el´etron e do p´ositron s˜ao iguais e valem 0,5 MeV/c^2. Despreze a energia de liga¸c˜ao do positrˆonio.
(a) Qual a energia do positrˆonio?
(b) Qual a energia e o momento linear de cada f´oton?
(c) Qual o valor do ˆangulo θ?
R: (a) Ep = 1,25 MeV, (b) Ef = 0,625 MeV e pf = 0 ,625 MeV/c e (c) θ = arccos
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- No referencial do laborat´orio, qual a m´ınima energia cin´etica que um pr´oton deve ter para que ao colidir com outro pr´oton de mesma energia, mas movendo-se em sen- tido contr´ario, crie no estado final mais um pr´oton e um antipr´oton? (No estado final haver´a trˆes pr´otons e um antipr´oton e a m´ınima energia corresponde `a situa¸c˜ao em que todas as part´ıculas est˜ao em repouso em rela¸c˜ao ao laborat´orio). Use para a massa de repouso do pr´oton e do antipr´oton M 0 = 1 GeV/c^2. R: K = 1 GeV.
- Uma part´ıcula ´e criada a 20 km acima do n´ıvel do mar com energia E = 1, 35 × 105 MeV em rela¸c˜ao `a Terra, e passa a se deslocar verticalmente para baixo. No seu sistema pr´oprio (sistema que se desloca com a mesma velocidade da part´ıcula) ela se desintegra no intervalo de tempo ∆t = 2, 0 × 10 −^8 s ap´os a sua cria¸c˜ao. A energia de repouso da part´ıcula ´e E 0 = 140 MeV. Determine, para um observador na Terra:
(a) Quanto tempo demora para a part´ıcula se desinte- grar?
(b) A que altura acima do n´ıvel do mar se d´a a desinte- gra¸c˜ao?
R: (a) T = 1, 93 × 10 −^5 s e (b) h = 14,2 km.
- Duas part´ıculas de mesma massa de repouso m 0 c^2 = 1 GeV caminham em sentidos opostos com velocidade de magnitudes v 1 = 0,6 c e v 2 = 0,8 c. Num deter- minado instante de tempo elas colidem formando uma ´unica part´ıcula de massa de repouso M 0 e velocidade de magnitude v.
(a) Determine o valor de v.
(b) Determine o valor de M 0.
(c) Qual ´e a energia cin´etica da part´ıcula formada na colis˜ao?
R: (a) |v| = 0 ,20 c, (b) M 0 = 2 ,9 GeV/c^2 = 5 , 3 × 10 −^27 kg, e (c) K = 58 MeV.
- Em rela¸c˜ao a um referencial S uma part´ıcula possui energia de 5 GeV e momento linear de 3 GeV/c.
(a) Qual ´e a massa de repouso da part´ıcula?
(b) Qual ´e a energia da part´ıcula em um referencial S′ onde seu momento linear ´e igual a 4 GeV/c?
(c) Qual ´e a velocidade relativa dos dois referenciais S e S′^ (S e S′^ se movem em sentidos opostos)?
R: (a) m 0 = 4,0 GeV/c^2 , (b) E′^ =
32 GeV e (c) u = 0 ,19 c.
- Uma part´ıcula de massa de repouso M 0 estacion´aria, cinde-se em duas part´ıculas cujas massas de repouso s˜ao m 0 e 2m 0. A velocidade da part´ıcula de massa m 0 ´e 0 ,8 c.
(a) Determine a velocidade da part´ıcula de massa 2m 0.
(b) Obtenha a raz˜ao M m^00.
R: v 2 m 0 = √^213 c e (b) M m 00 = 5+
√ 13
Uma part´ıcula de massa em repouso 2 MeV/c^2 e energia cin´etica 3 MeV colide com uma part´ıcula esta- cion´aria de massa de repouso 4 MeV/c^2. Depois da coli- s˜ao, as duas part´ıculas ficam unidas. Achar
(a) o momento inicial do sistema,
(b) a velocidade final do sistema de duas part´ıculas e
(c) a massa em repouso do sistema de duas part´ıculas.
R: (a) 4,58 MeV/c, (b) 0,509 c e (c) 7,75 MeV/c^2.
- Um el´etron move-se livremente na dire¸c˜ao x positiva no sistema inercial 1 com velocidade v = 0,8 c. Qual o valor de seu momento e de sua energia neste sistema? Considere agora um outro sistema inercial 2 que se move na dire¸c˜ao x positiva com velocidade 0,6 c em rela¸c˜ao ao sistema 1. Ache o momento e a energia do el´etron neste sistema. Deixe suas respostas em termos da massa de repouso do el´etron m 0 e da velocidade da luz c. R: No sistema 1: ~p 1 = 43 m 0 c ˆx e E 1 = 53 m 0 c^2. No sistema 2: ~p 2 = 125 m 0 c ˆx e E 2 = 1312 m 0 c^2.
- (*) Considere a seguinte colis˜ao el´astica observada em um dado referencial S: uma part´ıcula A tem massa de repouso m 0 e uma part´ıcula B massa de repouso M 0 = 2m 0. Antes da colis˜ao a part´ıcula A move-se com velocidade ~v = 0,6 c ˆı e a part´ıcula B est´a em repouso. Depois da colis˜ao, a part´ıcula A move-se ao longo da
dire¸c˜ao y, no sentido positivo, com velocidade de mag- nitude vA e a part´ıcula B move-se segundo um ˆangulo θ em rela¸c˜ao `a dire¸c˜ao x com velocidade de magnitude vB. Dica: use o fato de que γ^2 v^2 = (γ^2 − 1)c^2.
(a) Determine as magnitudes das velocidades vA e vB das part´ıculas A e B.
(b) Determine o ˆangulo θ.
R: (a) vA = 0,371 c e vB = 0,392 c e (b) θ = 28, 0 ◦.
- (*) Considere a colis˜ao de um f´oton de energia hν com um el´etron que est´a em repouso em um dado refe- rencial. Ap´os a colis˜ao, parte da energia ´e transferida ao el´etron, e um outro f´oton de energia menor hν′^ ´e gera- do, sendo que sua trajet´oria forma um ˆangulo θ com a dire¸c˜ao de incidˆencia do f´oton original. Utilizando a con- serva¸c˜ao de energia e momento relativ´ısticos, determine a rela¸c˜ao entre a energia do f´oton “espalhado” e o ˆangulo de espalhamento hν′(θ). Este processo de espalhamento de f´otons por el´etrons ´e denominado “Efeito Compton”. Sugest˜ao: considere a conserva¸c˜ao de energia total, e das componentes x e y do momento linear total no plano do espalhamento (sendo x, por exemplo, a dire¸c˜ao de incidˆencia do f´oton original). R: hν′(θ) = (^) 1+ hνhν mec^2 [1−cos(θ)]^
, onde me ´e a massa de re- pouso do el´etron.
