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Campus Avançado Sobral
Cursos de Economia e Finanças
Econometria 1
Prof.: Felipe Bastos
Lista de Exercícios 1
Aluno: ____________________________________________________________ Matric: __________
1. Derive os estimadores de MQO para uma regressão de Y contra X com intercepto, e mostre que os
estimadores para o intercepto e coeficiente angular de fato minimizam a soma dos quadrados dos
resíduos amostrais.
2. Para uma regressão de Y contra X derive o estimador do intercepto na forma: 3. Os modelos a seguir são modelos de regressão linear? Justifique sua resposta.
a. 𝑌
𝑖
𝛽
1
+𝛽
2
𝑋
𝑖
+𝑢
𝑖
b. 𝑌
𝑖
1
1 +𝑒
𝛽
1
+𝛽
2
𝑋
𝑖
+𝑢
𝑖
c. 𝑙𝑛 𝑌 𝑖
1
2
1
𝑋
𝑖
𝑖
d. 𝑌
𝑖
1
1
−𝛽
2
( 𝑋
𝑖
− 2
) +𝑢
𝑖
e. 𝑌 𝑖
1
2
3
𝑖
𝑖
4. Considere os modelos não-estocásticos a seguir (isto é, modelos sem termo de erro estocástico).
São modelos de regressão linear? Se não forem, é possível, por meio de manipulações algébricas
adequadas, convertê-los em modelos lineares?
a. 𝑌 𝑖
1
𝛽 1
+𝛽 2
𝑋 𝑖
b. 𝑌 𝑖
𝑋
𝑖
𝛽
1
+𝛽
2
𝑋
𝑖
c. 𝑌 𝑖
1
1 +exp (−𝛽
1
−𝛽
2
𝑋
𝑖
)
5. Com base no diagrama de dispersão da Figura 2.9, que conclusões gerais poderiam ser tiradas?
Qual a teoria econômica que embasa o gráfico? ( Dica : pesquise em um livro de economia
internacional o modelo de comércio de Heckscher-Ohlin).
6. Dadas as hipóteses da coluna l da tabela a seguir, demonstre que as premissas apresentadas na
coluna 2 são suas equivalentes.
7. Considere a regressão amostral:
Impondo as restrições (i)∑ 𝑢
𝑖
= 0 e (ii)∑ 𝑢
𝑖
𝑖
= 0 , obtenha os estimadores 𝛽
1
e 𝛽
2
e mostre
que eles são idênticos aos estimadores de mínimos quadrados dados nas Equações (3.1.6) e
(3.1.7). Esse método de obter estimadores é conhecido como princípio da analogia. Apresente uma
justificativa intuitiva para a imposição das restrições (i) e (ii). ( Dica: lembre-se da
c. Se fizermos uma regressão de 𝑌 𝑖
contra 𝑌
𝑖
; (isto é, Y observado contra Y estimado), os valores do
intercepto e do coeficiente angular serão 0 e l, respectivamente.
13. Uma variável aleatória X segue a distribuição exponencial se tem a seguinte função de densidade
de probabilidade:
em que θ > 0 é o parâmetro da distribuição. Usando o método de máxima verossimilhança, mostre
que o estimador de MV de θ é 𝜃
𝑖
, em que n é o tamanho da amostra. Ou seja, mostre que o
estimador de máxima verossimilhança de θ é a média amostral 𝑋
14. Verifique, explicando, se as seguintes afirmações são verdadeiras, falsas ou duvidosas. Seja
preciso.
a. O teste t de significância discutido neste capítulo requer que as distribuições amostrais dos
estimadores β
1
e β
2
sigam a distribuição normal.
b. Mesmo que o termo de erro do modelo clássico de regressão linear não seja normalmente
distribuído, os estimadores de mínimos quadrados ordinários continuam sendo não
viesados.
c. Se não há intercepto no modelo de regressão, a soma dos u i
estimados (= û
i
) não totalizará
zero.
d. O valor p e o tamanho de um teste estatístico significam a mesma coisa.
e. Em um modelo de regressão que contém o intercepto, a soma dos resíduos é sempre igual
a zero.
f. Se uma hipótese nula não é rejeitada, ela é verdadeira.
g. Quanto mais alto o valor de σ̂
2
, maior a variância de β
2
dada na Equação (3.3.1).
h. As médias condicional e não condicional de uma variável aleatória são a mesma coisa.
i. Na FRP de duas variáveis, se o coeficiente angular β
2
é zero, o intercepto β
1
é estimado pela
média amostral Y
j. A variância condicional, 𝑣𝑎𝑟
𝑖
𝑖
= σ̂
2
e a variância não condicional de Y, 𝑣𝑎𝑟
𝑌
2
serão iguais se X não influenciar Y.
15. Consulte a regressão da demanda por telefones celulares na Equação (3.7.3).
a. O coeficiente de intercepto estimado é significativo no nível de 5% de significância? Qual
é a hipótese nula subjacente?
b. O coeficiente angular estimado é significativo no nível de 5% de significância? Qual a hipótese
nula subjacente?
c. Estabeleça uma confiança de 95% para o verdadeiro coeficiente angular.
d. Qual o valor médio estimado para a demanda de telefones celulares se a renda per capita
for de $ 9.000? Qual o intervalo de confiança de 95% para o valor previsto?
1 6. O que se conhece por linha característica na análise moderna de investimentos nada mais é
do que a regressão obtida por meio do seguinte modelo:
Neste modelo, 𝛽 𝑖
é conhecido como o coeficiente beta do i - ésimo ativo, uma medida do risco
de mercado (ou risco sistêmico) de um ativo.
Com base em 240 taxas de retorno mensais do período 1956-1976, Fogler e Ganapathy obtiveram a
seguinte linha característica para as ações da IBM em relação ao índice de portfólio
de mercado calculado pela Universidade de Chicago:
a. Diz-se que um ativo cujo coeficiente beta é maior que um é um papel volátil ou agressivo.
As ações da IBM foram voláteis durante o período estudado?
b. O coeficiente do intercepto é significativamente diferente de zero? Se for, qual o significado prático
disso?
i. Estime a relação entre nmgrad e tac usando MQO; isto é, obtenha as estimativas de
intercepto e de inclinação da equação.
Comente a direção da relação. O intercepto tem uma interpretação útil aqui? Explique.
Qual deveria ser o valor previsto de nmgrad se a nota tac aumentasse em cinco pontos?
ii. Calcule os valore estimados e os resíduos de cada observação e verifique que a soma dos
resíduos é (aproximadamente) zero.
iii. Qual o valor previsto de nmgrad quando tac = 20?
iv. Quanto da variação de nmgrad dos 8 estudantes é explicada por tac? Explique.
20. Na função de consumo linear
A propensão marginal a consumir, 𝑃𝑀𝑔𝐶, (estimada) é simplesmente a inclinação 𝛽
1
, enquanto a
propensão média a consumir, 𝑃𝑚𝑒𝐶, é 𝑐ô𝑛𝑠 𝑟𝑒𝑛𝑑
0
1
. Usando as observações de
renda e consumo anuais de 100 famílias (ambas medidas em dólares), obteve-se a seguinte equação:
i. Interprete o intercepto dessa equação e comente seu sinal e magnitude.
ii. Qual é o consumo previsto quando a renda familiar é $30.000?
iii. Com rend sobre o eixo de x, desenhe um gráfico da 𝑃𝑀𝑔𝐶 e da 𝑃𝑚𝑒𝐶 estimadas.
