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Lista de Exerc´ıcios – Teoria do Consumidor Microeconomia – Gradua¸c˜ao Departamento de Economia – Universidade de Bras´ılia Prof. Jos´e Guilherme de Lara Resende
RETA ORC¸ AMENT ´ARIA
Exerc´ıcio 1: Suponha que existam apenas dois bens e o governo resolve controlar os pre¸cos desses bens do seguinte modo: o pre¸co ´e R$ 1,00 at´e 5 unidades adquiridas, e o pre¸co ´e R$ 2,00 para unidades adicionais (acima das primeiras 5 unidades adquiridas). Suponha que Carlos tem uma renda de R$ 10,00.
a) Ilustre graficamente a reta or¸cament´aria de Carlos.
b) Descreva a reta or¸cament´aria em termos alg´ebricos.
Exerc´ıcio 2: Suponha uma economia com dois bens, denotados por x e y. A reta or¸cament´aria de Maria ´e pMx x + pMy y = mM^ e a reta or¸cament´aria de Jo˜ao ´e pJx x + pJy y = mJ^ , onde pMx /pMy 6 = pJx /pJy. Ou seja, o custo de mercado entre x e y para Maria ´e diferente do custo de mercado para Jo˜ao. Maria e Jo˜ao decidem se casar e formar uma fam´ılia onde a renda dos dois ´e gasta em conjunto, apesar de que os pre¸cos dos bens para cada um deles continuam os mesmos de antes.
a) Defina a restri¸c˜ao or¸cament´aria do casal.
b) Haver´a especializa¸c˜ao na compra dos bens?
PREFERˆENCIAS
Exerc´ıcio 3: Suponha um consumidor que tenha preferˆencias definidas entre cestas compostas por dois bens do seguinte modo: se (x 1 , x 2 ) > (y 1 , y 2 ) (ou seja, x 1 > y 1 e x 2 > y 2 ), ent˜ao x y. Se (x 1 , x 2 ) < (y 1 , y 2 ) (ou seja, x 1 < y 1 e x 2 < y 2 ), ent˜ao y x. Finalmente, se (x 1 , x 2 ) = (y 1 , y 2 ), ent˜ao x ∼ y. Essas preferˆencias s˜ao (justifique sua resposta): a) Completas? b) Transitivas? c) Monotˆonicas? d) Convexas?
Exerc´ıcio 4: O t´ecnico de volei Bernardo acha que os jogadores devem ter trˆes qualidade: altura, agilidade e obediˆencia. Se o jogador A ´e melhor que o jogador B em duas dessas trˆes caracter´ısticas, ent˜ao Bernardo prefere A a B. Para os outros casos, ele ´e indiferente entre A e B. Carlos mede 2,08m, ´e pouco ´agil e obediente. Luis mede 1,90m, ´e muito ´agil, e muito desobediente. Paulo mede 1,85m, ´e ´agil, e extremamente obediente.
a) Bernardo prefere Carlos ou Luis? Bernardo prefere Luis ou Paulo? Bernardo prefere Carlos ou Paulo?
b) As preferˆencias do t´ecnico s˜ao transitivas?
c) Depois de perder v´arios campeonatos, Bernardo decide mudar sua forma de comparar os jogadores. Agora ele prefere o jogador A ao jogador B se A ´e melhor do que B nas trˆes caracter´ısticas Ele ´e indiferente entre A e B se eles tˆem todas as trˆes caracter´ısticas iguais. Para todas as outras possibilidades, Bernardo diz que n˜ao ´e poss´ıvel comparar os jogadores. As novas preferˆencias de Bernardo s˜ao: completas? transitivas? reflexivas? Justifique.
Exerc´ıcio 5: Suponha que uma pessoa esteja consumindo uma cesta de bens tal que a sua utilidade marginal de consumir o bem A ´e 12 e a sua utilidade marginal de consumir o bem B ´e 2. Suponha tamb´em que os pre¸cos dos bens A e B s˜ao R$ 2 e R$ 1, respectivamente, e que as preferˆencias desse consumidor s˜ao estritamente convexas.
a) Essa pessoa est´a escolhendo quantidades ´otimas dos bens A e B? Caso n˜ao esteja, qual bem ela deveria consumir relativamente mais (n˜ao se preocupe com a restri¸c˜ao or¸cament´aria nesse item)?
b) A sua resposta para o item a) depende do valor da utilidade marginal? Explique.
Exerc´ıcio 6: Suponha que Ana consome apenas p˜ao e circo, e suas preferˆencias s˜ao estritamente convexas. Um certo dia o pre¸co do p˜ao aumenta e o pre¸co do circo diminui. Ana continua t˜ao feliz quanto antes da mudan¸ca de pre¸cos (a renda de Ana n˜ao mudou).
a) Ana consume mais ou menos p˜aes ap´os a mudan¸ca de pre¸cos?
b) Ana consegue agora comprar a cesta que comprava antes?
PROBLEMA DO CONSUMIDOR
Exerc´ıcio 7: Suponha que existam apenas 2 bens e que a utilidade de um certo indiv´ıduo ´e u(x 1 , x 2 ) = x^01 , 25 + x^02 , 25.
a) Monte o problema do consumidor e derive as demandas ´otimas usando o m´etodo de Lagrange (assuma que as condi¸c˜oes de segunda ordem s˜ao satisfeitas).
b) Mostre que as demandas ´otimas satisfazem a propriedade de “adding-up”, ou seja, que p 1 x 1 (p 1 , p 2 , m) + p 2 x 2 (p 1 , p 2 , m) ´e de fato igual a m.
Exerc´ıcio 8: Suponha uma fun¸c˜ao de utilidade definida por
u(x 1 , x 2 ) = min{x 2 + 2x 1 , x 1 + 2x 2 }
a) Desenhe a curva de indiferen¸ca para u(x 1 , x 2 ) = 20.
b) Para que valores de p 1 /p 2 a solu¸c˜ao ´otima consistir´a em x 1 = 0 e x 2 = m/p 2?
c) Para que valores de p 1 /p 2 a solu¸c˜ao ´otima consistir´a em x 1 = m/p 1 e x 2 = 0?
d) Para que valores de p 1 /p 2 a solu¸c˜ao ´otima ser´a interior (ou seja, x∗ 1 > 0 e x∗ 2 > 0)?
Exerc´ıcio 13: Calcule as demandas de um consumidor representado por uma utilidade CES (elasticidade de substitui¸c˜ao constante) dada por:
u(x 1 , x 2 ) = [axρ 1 + bxρ 2 ]
(^1) ρ
Exerc´ıcio 14: Calcule as demandas de um consumidor representado pela seguinte utilidade:
u(x 1 , x 2 ) = x^01 , 5 + x^02 ,^5
ELASTICIDADES
Exerc´ıcio 15: Derive as agrega¸c˜oes de Engel e Cournot para o caso de n bens. Reescreva essas agrega¸c˜oes em termos de elasticidades. Interprete (por exemplo, ´e poss´ıvel que todos os bens que um indiv´ıduo consuma sejam bens inferiores? Por quˆe? Se um indiv´ıduo consome n bens, no m´aximo quantos bens podem ser inferiores? Justifique sua resposta).
Exerc´ıcio 16: A utilidade de Maria ´e u(x 1 , x 2 ) = ln(x 1 ) + x 2.
a) Encontre as demandas Marshallianas de Maria. Derive as elasticidades-pre¸co, pre¸co-cruzada e renda para os dois bens. b) Classifique os bens em termos de cada uma dessas elasticidades, como visto em sala.
c) Encontre as demandas Hicksianas dos dois bens. Compare a demanda Hicksiana com a demanda Marshalliana do bem 1, quando as demandas s˜ao positivas. Interprete.
Exerc´ıcio 17: Suponha a existˆencia de n bens. Usando a propriedade de homogeneidade das fun¸c˜oes de demanda Marshalliana, mostre que as elasticidades-pre¸co e renda de um dado bem i satisfazem a seguinte igualdade:
ηi +
∑^ n
j=
ij = 0, (1)
onde ηi ´e a elasticidade-renda do bem i e ij ´e a elasticidade-pre¸co da demanda do bem i com rela¸c˜ao ao pre¸co do bem j. Interprete intuitivamente a rela¸c˜ao (1) acima.
Exerc´ıcio 18: Suponha que a elasticidade-renda da demanda per capita de cerveja ´e constante e igual a 3/4 e a elasticidade-pre¸co ´e tamb´em constante e igual a − 1 /2. Os consumidores gastam, em m´edia, R$ 400,00 por ano com cerveja. A renda m´edia anual destes consumidores ´e R$ 6.000,00. Cada garrafa de cerveja custa R$ 3,00.
a) Se o governo pretende desestimular o consumo de cerveja pela metade, qual deve ser o aumento no pre¸co da cerveja que alcan¸caria esta meta?
b) Suponha que o governo estimou um aumento da renda m´edia anual no pr´oximo ano de R$ 3.000,00. O governo deseja manter o n´ıvel de consumo de cerveja constante no pr´oximo ano, usando um imposto sobre o pre¸co da cerveja. Qual deve ser o aumento no pre¸co da cerveja no pr´oximo ano para que o seu consumo n˜ao se modifique, dado que a previs˜ao de aumento de renda se realize?
PROBLEMA DUAL DO CONSUMIDOR
Exerc´ıcio 19: Encontre as demandas Hicksianas e a fun¸c˜ao dispˆendio para os seguintes casos:
a) Utilidade Cobb-Douglas: u(x 1 , x 2 ) = xα 1 x^12 − α, 0 < α < 1.
b) Utilidade linear: u(x 1 , x 2 ) = ax 1 + bx 2 , a, b > 0.
c) Utilidade Leontief: u(x 1 , x 2 ) = min{ax 1 , bx 2 }, a, b > 0.
d) Utilidade CES: u(x 1 , x 2 ) = [axρ 1 + bxρ 2 ]
(^1) ρ , a, b > 0, ρ < 1, ρ 6 = 0.
Exerc´ıcio 20: Resolva os seguintes itens para cada uma das fun¸c˜oes de utilidade elencadas no exerc´ıcio 5 acima.
a) Verifique se as demandas Hicksianas s˜ao homogˆeneas de grau 0 nos pre¸cos.
b) Cheque a validade do lema de Shephard para o bem 1.
c) Ilustre graficamente a fun¸c˜ao dispˆendio como fun¸c˜ao do pre¸co do bem 1, todas as outras vari´aveis constantes. Interprete economicamente o formato de cada gr´afico em termos da possibilidade de substitui¸c˜ao do consumo dos dois bens.
EQUAC¸ ˜AO DE SLUTSKY
Exerc´ıcio 21: Suponha que os ´unicos bens que Renata consome s˜ao guaran´a e p˜ao e que as preferˆencias de Renata s˜ao estritamente convexas.
a) Entre janeiro e fevereiro, o pre¸co do guaran´a sobe (e nada mais muda). Ilustre em um mesmo gr´afico as escolhas ´otimas de Renata nos dois meses (denote por J a escolha ´otima em Janeiro e por F a escolha ´otima em fevereiro), representando o consumo de p˜ao no eixo vertical e o consumo do guaran´a no eixo horizontal (mantenha essa conven¸c˜ao para o resto do exerc´ıcio).
b) Em mar¸co, o pre¸co do guaran´a volta ao mesmo n´ıvel de janeiro, por´em a renda de Renata diminui em um montante tal que agora ela alcan¸ca o mesmo bem-estar de fevereiro. Ilustre a escolha ´otima de Renata em mar¸co (denote essa escolha ´otima por M ) juntamente com as outras duas escolhas ´otimas de Renata.
c) Analise os seguintes itens, dizendo sob quais condi¸c˜oes ser˜ao verdadeiros.
c.1) J est´a a esquerda de F. c.2) F est´aa esquerda de M. c.3) J est´a `a esquerda de M.
d) Justifique a afirma¸c˜ao “Todo o bem de Giffen ´e um bem inferior” em termos do que vocˆe fez nesse exerc´ıcio, n˜ao recorra `a teoria vista em sala.
BEM-ESTAR
Exerc´ıcio 26: Considere a fun¸c˜ao de utilidade dada por
u(x 1 , x 2 ) = x^21 x 2 ,
onde x 1 e x 2 s˜ao as quantidades consumidas dos bens 1 e 2, respectivamente.
a) Calcule as fun¸c˜oes de demandas Marshallianas e a fun¸c˜ao de utilidade indireta.
b) Suponha que os pre¸cos dos bens 1 e 2 s˜ao p 1 = R$ 4 e p 2 = R$ 2, respectivamente, e que a renda do consumidor ´e R$ 90. Calcule a quantidade consumida de cada bem.
c) Calcule as elasticidades pre¸co e renda do bem 1. Se a renda aumentar em 10%, vocˆe pode dizer o que ocorre com o consumo do bem, sem ter conhecimento do valor original da renda?
d) Suponha que os pre¸cos dos bens e a renda s˜ao como dados no item b). Calcule a varia¸c˜ao no excedente do consumidor no caso em que o pre¸co do bem 2 aumenta para R$ 4.
Exerc´ıcio 27: Suponha dois bens com pre¸cos positivos (p 1 > 0 e p 2 > 0). A renda do consumidor ´e denotada por m > 0 e a sua utilidade ´e
u(x 1 , x 2 ) = x 1
a) Determine as demandas Marshallianas desse consumidor (justifique sua resposta).
b) Determine as demandas Hicksianas desse consumidor (justifique sua resposta).
c) Suponha que m ´e igual a R$ 10. Calcule a VC, a VE e a varia¸c˜ao no EC quando o pre¸co do bem 1 aumenta de R$ 1 para R$ 2. Compare essas medidas. Qual ´e a maior? Qual ´e a menor? Com base apenas nessas compara¸c˜oes, o bem 1 deve ser normal ou inferior?
Exerc´ıcio 28: Considere a fun¸c˜ao de utilidade dada por
u(x 1 , x 2 ) = ln(x 1 ) + ln(x 2 ),
onde x 1 e x 2 s˜ao as quantidades consumidas dos bens 1 e 2, respectivamente.
a) Calcule as fun¸c˜oes de demandas ´otimas e a fun¸c˜ao de utilidade indireta, usando o m´etodo de Lagrange.
b) Suponha que os pre¸cos dos bens 1 e 2 s˜ao p 1 = R$ 1 e p 2 = R$ 1, respectivamente, e que a renda do consumidor ´e R$ 1.000. Calcule a quantidade consumida de cada bem.
c) Suponha que o pre¸co do bem 2 aumentou para R$ 2. Calcule o excedente do consumidor e a varia¸c˜ao compensadora.
d) Encontre a fun¸c˜ao dispˆendio e as demandas hicksianas.
Exerc´ıcio 29: Considere a mesma fun¸c˜ao de utilidade do exerc´ıcio anterior, suponha que a renda do indiv´ıduo ´e R$ 1.000, o pre¸co do bem 1, p 1 = 1 e o pre¸co do bem 2, p 2 = 1. Suponha que o pre¸co do bem 2 aumentou para R$ 2.
a) Decomponha o efeito total da mudan¸ca de pre¸co do bem 2 em efeito substitui¸c˜ao e efeito renda, usando a decomposi¸c˜ao de Slutsky (que mant´em o poder de compra original constante).
b) Decomponha o efeito total da mudan¸ca de pre¸co do bem 2 em efeito substitui¸c˜ao e efeito renda, usando a decomposi¸c˜ao de Hicks (que mant´em o n´ıvel de utilidade original constante).
c) Calcule o valor de uma compensa¸c˜ao de Slutsky. Mostre que essa compensa¸c˜ao, que mant´em o poder de compra original, aumentar´a o bem-estar do indiv´ıduo. Seria poss´ıvel que a utilidade do indiv´ıduo fose menor do que a original com esse tipo de compensa¸c˜ao? Justifique sua resposta.
d) Calcule o valor de uma compensa¸c˜ao de Hicks. Mostre que essa compensa¸c˜ao mant´em o n´ıvel de utilidade constante, e ´e menor do que a compensa¸c˜ao de Slutsky.
e) Imagine que vocˆe ´e chamado pelo ministro da economia para elaborar uma pol´ıtica de com- pensa¸c˜ao na tarifa de energia el´etrica para pessoas com um n´ıvel de renda de at´e R$ 1. mensais. Discuta os pontos positivos e negativos de cada uma das compensa¸c˜oes vistas acima.
Exerc´ıcio 30: A utilidade de Let´ıcia ´e u(x, y) = min{x, y}. Let´ıcia recebe R$200 de sal´ario por mˆes. Os pre¸cos dos dois bens que Let´ıcia consome s˜ao px = py = 1. O chefe de Let´ıcia quer transfer´ı-la para outra cidade. Let´ıcia gosta das duas cidades igualmente. Por´em, na nova cidade, os pre¸cos s˜ao px = 1 e py = 2. Let´ıcia diz que mudar para a outra cidade ´e t˜ao ruim quanto um corte no sal´ario de A reais. Ela diz tamb´em que n˜ao se importa de se mudar caso receba um aumento de B reais. Calcule e compare A e B. Qual a rela¸c˜ao de A e B com a varia¸c˜ao compensadora e a varia¸c˜ao equivalente?
Exerc´ıcio 31: Considere novamente a utilidade Cobb-Douglas u(x 1 , x 2 ) = xα 1 x^12 − α, 0 < α < 1.
a) Calcule a demanda Hicksiana dos dois bens e a fun¸c˜ao de dispˆendio.
b) Verifique se o lema de Shepard ´e v´alido para o bem 1.
c) Verifique se as duas rela¸c˜oes entre demanda Marshalliana e demanda Hicksiana s˜ao v´alidas.
d) Verifique se as duas rela¸c˜oes entre a fun¸c˜ao de utilidade indireta e a fun¸c˜ao de dispˆendio s˜ao v´alidas.
e) Verifique a equa¸c˜ao de Slutsky para o bem 2, dada uma mudan¸ca no seu pre¸co.
Suponha que os pre¸cos s˜ao p 1 = 2 e p 2 = 1, α = 0, 5, e a renda do consumidor igual a R$20.
f) Calcule as quantidades ´otimas consumidas.
g) O pre¸co de x 2 aumentou para R$2. Calcule a varia¸c˜ao no excedente do consumidor, a varia¸c˜ao compensadora e a varia¸c˜ao equivalente dessa mudan¸ca de pre¸cos. Compare os resultados obtidos.
b) Se o consumidor descrito no item a), ap´os a diminui¸c˜ao do pre¸co do bem 1, continuou sendo vendedor l´ıquido do bem, o que ocorre com o seu bem-estar? Ilustre graficamente a sua resposta.
c) Em aula, nas notas e neste exerc´ıcio, a an´alise feita assumiu a existˆencia de apenas dois bens. As conclus˜oes dos itens a) e b) acima e as obtidas em sala para os casos 1, 2, 3 e 4 se alteram? Justifique sua resposta.
Exerc´ıcio 35: Carlos pode trabalhar de 0 a 24 horas por dia, recebendo um sal´ario de R$ 1 por hora. O imposto sobre a renda superior a R$ 5 por dia ´e de 50% (ou seja, os primeiros R$ 5 n˜ao s˜ao taxados). Carlos escolhe trabalhar 10 horas por dia. Al´em de lazer, Carlos consome um outro bem, com pre¸co igual a R$ 1. Suponha que Carlos possua preferˆencias bem-comportadas (ou seja, as curvas de indiferen¸ca associadas a essas preferˆencias s˜ao convexas com rela¸c˜ao `a origem) e que n˜ao possua nenhuma outra fonte de renda al´em da obtida com trabalho.
a) Ilustre graficamente a reta or¸cament´aria de Carlos e a sua escolha ´otima.
b) O governo muda a forma do imposto: agora toda a renda est´a sujeita a um imposto de 25%. Carlos trabalha mais ou menos ou a mesma quantidade de horas agora? O governo coleta mais ou menos receita sobre o imposto de Carlos agora?
c) Qual tipo de imposto Carlos prefere? Justifique sua resposta.
INCERTEZA
Exerc´ıcio 36: Considere as loterias g = (0, 60 ◦10000; 0, 40 ◦1000) e h = (0, 50 ◦10000; 0, 50 ◦2800). Se um consumidor est´a indiferente entre estas duas loterias, ent˜ao pode-se afirmar que ele ´e neutro ao risco. Verdadeiro ou falso? Justifique.
Exerc´ıcio 37: Responda os seguintes itens.
a) Suponha duas loterias g = (0, 50 ◦ m 1 ; 0, 50 ◦ m 2 ) e h = (0, 50 ◦ w 1 ; 0, 50 ◦ w 2 ), tais que u(m 1 ) = 25, u(m 2 ) = 65, u(w 1 ) = 35, u(w 2 ) = 50 e v(m 1 ) = 1, v(m 2 ) = 9, v(w 1 ) = 3, v(w 2 ) = 6. Verifique se u e v representam a mesma utilidade esperada.
b) Suponha que a fun¸c˜ao de utilidade da riqueza de um indiv´ıduo seja u(w) = log 10 (w) (logaritmo na base 10). O indiv´ıduo possui um carro no valor de R$ 100.000,00. Existe uma probabilidade de 10% de ocorrer um acidente e o carro passar a valer R$ 10.000,00. Calcule a utilidade esperada deste indiv´ıduo.
c) Suponha que a fun¸c˜ao de utilidade da riqueza de um indiv´ıduo seja u(w) =
w. Considere a loteria g = (0, 10 ◦ 100; 0, 60 ◦ 60 , 0 , 30 ◦ 0). Determine o valor esperado, a utilidade esperada e o desvio-padr˜ao de g. Calcule o equivalente de certeza e o prˆemio ao risco da loteria g.
Exerc´ıcio 38: Considere um investidor com renda w e utilidade u(w) =
w. Suponha que ele deseja investir R$ 150,00 na compra de a¸c˜oes de duas empresas, empresa A e empresa B. Os pre¸cos das a¸c˜oes das duas empresas s˜ao iguais a R$ 15,00. O pre¸co das a¸c˜oes das duas empresas no per´ıodo seguinte depende dos estados da natureza, que podem ser dois: expans˜ao ou contra¸c˜ao. A tabela abaixo descreve os pre¸cos de ambas as a¸c˜oes para os dois estados da natureza poss´ıveis, al´em das probabilidades destes estados.
Estado Prob. empresa A empresa B expans˜ao 50% 40 5 contra¸c˜ao 50% 5 40
a) Calcule o pre¸co esperado destas a¸c˜oes. Calcule o retorno esperado destas a¸c˜oes.
b) Se o indiv´ıduo investir toda a sua renda na a¸c˜ao A, qual ser´a a sua utilidade esperada? Qual ser´a a utilidade esperada se ele investir toda a renda na a¸c˜ao B?
c) Qual a utilidade esperada se o indiv´ıduo investir metade da renda na a¸c˜ao A e metade na a¸c˜ao B?
d) Comparando as trˆes possibilidades de investimento descritas nos itens b) e c), em qual delas o investidor obter´a maior utilidade?
e) A op¸c˜ao de investimento encontrada no item d) ´e a que maximiza a utilidade do investidor?
