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INTRODUÇÃO E A PRIMEIRA LISTA DE EXERCÍCIOS
INTRODUÇÃO
Os livros de cálculo costumam conter um capítulo ou um apêndice dedicado a explicações de fatos básicos da matemática e que, em geral, são abordados no Ensino Médio das escolas brasileiras. O entendimento desses conceitos, e o uso correto deles em diversas situações, são condições necessárias para que o aluno da disciplina Cálculo Diferencial e Integral I possa compreender conceitos específicos da disciplina, como o de derivada e integral, e possa aplicar esses conceitos na resolução de situações- problema relevantes. Por outro lado, percebe-se que, na maioria das vezes que o estudante apresenta dificuldades em resolver um problema de aplicação de limite, derivada ou integral, essa dificuldade não reside no entendimento dos conceitos específicos do cálculo diferencial e integral, mas sim na modelagem do problema, no seu equacionamento, na manipulação de expressões algébricas, ou na utilização de fatos elementares de trigonometria ou de geometria plana. Por essas razões, é extremamente importante que todos os estudantes da disciplina identifiquem suas próprias dificuldades com esses fatos elementares da matemática e se esforcem para superá-las ao longo do curso. Para auxiliar os estudantes nesse ponto, listamos uma relação de conceitos matemáticos que serão utilizados com muita freqüência durante o curso e cujo entendimento deve ser priorizado pelos estudantes.
- Números Operações com frações e números reais. Potenciação e radiciação. Raiz quadrada. Intervalos. Desigualdades. Valor absoluto. Reta numérica. Equações polinomiais.
- Álgebra Elementar. Produtos notáveis e fatoração. Operações com polinômios: soma, subtração, divisão. Raízes e igualdade de polinômios. Cálculo da decomposição de uma fração em soma de frações parciais.
- Geometria Analítica. Coordenadas de pontos no plano cartesiano. Distância entre pontos. Simetrias. Retas: equações, paralelismo e perpendicularidade. Equações da circunferência. Equação e gráfico de parábolas. Elipse dada pela sua equação reduzida. Hipérbole de equação y = (^1) x. Translação de gráficos.
- Funções e gráficos. Definição de função, domínio e imagem. Determinação de domínio e imagem de funções reais. Funções pares e ímpares. Funções crescentes e decrescentes. Operações e composições de funções. Função exponencial. Função logarítmica. A exponencial e o logaritmo natural. Aplicações de exponencial e logaritmo. Funções trigonométricas: seno, cosseno, tangente. As funções que definem a parte superior, inferior e lateral de uma circunferência. 5. Trigonometria Trigonometria nos triângulos. Lei dos senos e dos cossenos. O círculo trigonométrico. Graus versus radianos. Identidades trigonométricas. Aplicações de trigonometria.
ESTRATÉGIAS DE ESTUDO Apresentamos também as seguintes estratégias de estudo para essa parte inicial da disciplina Cálculo Diferencial e Integral I. (a) É extremamente importante que você possua algum livro de cálculo durante todo o semestre letivo. Então providencie um livro, fazendo um empréstimo na biblioteca ou com algum amigo, comprando o livro ou de outra forma qualquer. (b) Identifique as seções do seu livro que tratam dos conteúdos listados acima e LEIA essas seções, dando especial atenção para as definições, para as propriedades e para os exemplos resolvidos no livro. (c) Não acumule dúvidas. Assim que possível, durante o seu estudo, procure o seu professor ou os monitores para esclarecimentos de todas as suas dúvidas. (d) Resolva os exercícios do livro e compare suas soluções com as de outros alunos do curso. Caso você tenha dúvidas sobre algum exercício, procure o seu professor. (e) Resolva todos os exercícios listados a seguir.
A lista de exercício a seguir aborda praticamente todos os conteúdos listados anteriormente. Esses exercícios devem ser obrigatoriamente resolvidos por todos os alunos das Turmas Especiais de Cálculo Diferencial e Integral I.
- Determine os pontos sobre a reta de equação y = 2 x − 3 cujas distâncias ao ponto Q = (4, 5) sejam iguais a 7 25.
- Determine o centro e o raio da circunferência de equação. Explicite y em função de x e identifique a figura que cada uma dessas funções representa?
x^2 + y^2 − 4 x + 6 y − 3 = 0
- Determine a equação da reta tangente à circunferência de equação no ponto Q de abscissa 3 sobre essa circunferência e que está no quarto quadrante.
x^2 + y^2 = 25
- Analise a resolução da equação e diga o que está errado. Sol.. Cancelando o x obtemos. Daí , o que nos fornece as raízes
x ( x^2 − 3 x )=− 2 x x ( x^2 − 3 x )=− 2 x ( x^2 − 3 x )=− 2 x^2 − 3 x + 2 = 0 2 x =^3 ±^1 , isto é, 1 e 2.
- Simplifique: a ) (^222) 2 − −
− x x
x x b ) h
( 5 + h )^2 − (^25) c ) 16 43 8 −
− x
x
- Resolva as desigualdades: a ) − 2 x^2 + 10 x − 12 < 0 b ) − 4 x + 7 > 0 c ) x (^2) −^22 − xx − 3 ≤ 0 d ) 2 ( ( 21 ) 1 ) 22.^20 2 x x x −−− x x ≥ e ) x > x + 2 f ) − x + 2 x 1 ≥ (^4) x x ++ 23
g ) sen x ≥ 21 , no intervalo [0, 2 π ] h ) 12 ≤ sen x ≤ 22 , no intervalo [0, 2 π ]
- Determine o valor de x no triângulo abaixo.
- Seja , calcule f (0), f (1) e f (2). ⎩⎨
⎧
= − ≤ , 1 ( )^1 ,^1 x^2 se x f x x sex
- Esboce o gráfico de y = | x − 2| + | x + 6|.
Respostas: 11) (^) ⎜⎝⎛^152 ,^12 ⎟⎠⎞e (^) ⎜⎝⎛^12 ,^ − (^2) ⎟⎠⎞ 12) centro ( 2 , − 3 ) e raio 4.
- y = 43 x + 6. 16) c ) − 1 < x ≤ 2 e ) x > 2 g ) π 6 ≤ x ≤^76 π
h ) 6 π^ ≤ x ≤ 4 π ou 34 π^ ≤ x ≤^76 π. 17) x = 14. 18) f ( 0 ) = 1 ; f ( 1 ) = 0 ; f ( ) 2 = 4.
- Encontre o domínio de cada função a seguir: a ) f ( x )= ln 6 ( xx −− x^32 ) b ) h ( t )= t + 4 − t.
- Expresse a área de um retângulo em função de um de seus lados sabendo que ele tem perímetro igual a 20 cm.
- Expresse o perímetro de um retângulo em função de um de seus lados sabendo que ele tem área igual a 16 cm^2.
- Uma caixa sem tampa deve ser construída de um pedaço retangular de papelão que tem dimensões 12 cm por 20 cm. Devem-se cortar quadrados de lados x em cada canto do papelão e depois dobrá-los. Expresse o volume da caixa em função de x.
- Um quadrado está inscrito em um círculo de raio r. Expresse o lado do quadrado em função de r.
- Determine as coordenadas do ponto da circunferência x^2^ + y^2 = 1 que está mais próximo do ponto P =(4 , 3).
- Ache o ponto do eixo y que é eqüidistante de(5 , − 5)e (1 , 1).
- Determine todas as retas que passam pelo ponto P = (2,3) e que são tangentes a circunferência de equação x^2 + y^2 = 4.
- Os pontos A = (2 , 2), B = (6 , 14)e C = (10 , 6)são vértices de um triângulo retângulo? Se sim, qual desses pontos é o vértice de ângulo reto?
- Usando a expressão: área = metade da base vezes a altura, determine a área do triângulo retângulo de vértices A = (6 , − 7), B = (11 , − 3)e C = (2 , − 2).
- Determine a equação da reta em cada situação a seguir. a ) A reta passa pelos pontos A = (1, 3) e B = (−2, 7); b ) A reta passa pelo ponto C = (−4, 1) e é paralela à reta de equação 3 x − 4 y = 1; c ) A reta passa pelo ponto C = (3, 1) e é perpendicular à reta de equação 2 x + 6 y = 1.
Respostas: 20) a ) 3 < x < 6. b ) 0 < t < 4. 21) A = l ( 10 − l ) para 0 < l < 10.
P = (^2) ⎜⎝⎛^ l +^16 l ⎟⎠⎞ para (^0) < l <∞. 23) V = 4 x ( 10 − x )( 6 − x ) para 0 < x < 6.
l = r 2. 25) (^) ⎜⎝⎛ 54 , 53 ⎟⎠⎞ 26) ( 0 , − 4 ) 27) y = 125 x +^136 e x = 2.
Sim; C. 29) 412. 30) a ) y = − 34 x +^133 b ) y = 43 x + 4 c ) y = 3 x − 8
- Desintegração radioativa: os átomos de uma substância radioativa possuem a tendência natural a se desintegrarem, emitindo partículas e transformando-se em outra substância não radioativa. Assim sendo, com o passar do tempo, a quantidade de substância original diminui aumentando, conseqüentemente, a massa da nova substância transformada. Além disso, pode-se demonstrar que se no instante de tempo t = 0 a quantidade de matéria radioativa é igual a M (^) 0 , então no instante de tempo a quantidade dessa matéria será igual a
t ≥ 0 M ( ) t = M e 0 − kt , sendo uma constante positiva que depende da matéria radioativa considerada. Em geral, para o cálculo dessa constante k , é informado o tempo de meia vida da substância radioativa: esse é o tempo para que metade da substância radioativa se desintegre.
k
a ). Mostre que as constantes e , de uma mesma substância radioativa, estão relacionados pela expressão:
k tm ln 2 m k = (^) t. b ) A meia-vida de uma substância radioativa é um ano. Quanto tempo levará para que num corpo puro de 10 gramas desse material reste apenas um grama? c ) Uma amostra de tório reduz-se a 43 de sua quantidade inicial depois de 33.600 anos. Qual é a meia-vida do tório?
- Lei de resfriamento de Newton: essa lei afirma que em um ambiente com temperatura constante, a temperatura de um objeto no instante t varia de acordo com a expressão: , sendo
T t ( ) T t ( ) − A = Ce − kt A a temperatura do meio, C a diferença de temperatura entre o objeto e o meio no instante t = 0 e k uma constante positiva. a ) Num certo dia, a temperatura ambiente é de 30 graus. A água que fervia numa panela, 5 minutos depois de apagado o fogo tem a temperatura de 65 graus. Quanto tempo depois de apagado o fogo a água atingirá a temperatura de 38 graus? b ) O corpo de uma vítima de assassinato foi descoberto às 23 horas. O médico da polícia chegou às 23:30 h e imediatamente tomou a temperatura do cadáver que era de 34,8 graus. Uma hora mais tarde ele tomou a temperatura outra vez e encontrou 34,1 graus. A temperatura do quarto era mantida constante a 20 graus. Use a lei do resfriamento de Newton para estimar a hora em se deu a morte. Admita que a temperatura normal de uma pessoa viva é de 36,5 graus.
Respostas:
- b ) lnln^102 = log 2 10 ≈ 3 , 3 anos. c ) 80. 956 , 5 3 ln^4
- 600 ln^2 ≈ ⎜⎝⎛ ⎟⎠⎞
× anos.
- a ) (^) ln 24 15 , 6 min.
5 ln^35 ≈
⎜⎝⎛ ⎟⎠⎞ b ) 2 , 24 14 , 1 ln^14 ,^8
14 , 8 ln^16 ,^5 ≈ ⎜⎜⎝⎛ ⎟⎟⎠⎞
⎜⎜⎝⎛ ⎟⎟⎠⎞ horas antes das 23:30 h, ou seja,
aproximadamente às 21:15 h.
- Utilizando um teodolito e uma trena um topógrafo fez as medidas de ângulos e distâncias indicadas na figura ao lado. Calcule a altura da torre indicada nessa figura.
- Para saber o comprimento de uma ponte que será construída sobre um rio, um engenheiro instalou o teodolito no ponto B a uma distância de 30 metros do ponto A, situado na margem do rio. Depois, mediu os ângulos e , conforme a figura. Com base nas medidas feitas pelo engenheiro, determine o comprimento AC da ponte.
BA ˆC= 105 o CB ˆA= 30 o
Respostas: 41) (^) tgtg ( 35 (^23 o) )^ tgtg(^35 ( 23 o)) 87 , 2 1 , 7 95 , 7 m o o − × +^ ≈.
- 15 2 m.
- Usando valor absoluto, escreva express˜oes para os seguintes conjuntos: (a) o conjunto dos pontos cuja distˆancia a 1 ´e menor do que ou igual a 4 |x − 1 | ≤ 4; (b) o conjunto dos pontos cuja distˆancia a -5 ´e menor do que 2 |x + 5| < 2; (c) o conjunto dos pontos cuja distˆancia a 6 ´e maior do que 3 |x − 6 | > 3.
- Mostre que os dois conjuntos abaixo s˜ao iguais e os escreva na forma de intervalos: A = {x : x < 4 } e B = {x : |x − 2 | < |x − 6 |}.
B = {x : x^2 − 4 x + 4 < x^2 − 12 x + 36} = {x : 8x < 32 } = {x : x < 4 } = A A = B = (−∞, 4)
- Encontre o dom´ınio das seguintes fun¸c˜oes: (a) (^) x (^21) +4 R; (b) √(x − 1)(x + 2) {x ∈ R/x ≤ −2 ou x ≥ 1 }; (c) √ 3 − 2 x − x^2 {x ∈ R/ − 3 ≤ x ≤ 1 }; (d)
√ 3 x− 4 x+2 {x^ ∈^ R/x <^ −2 ou^ x^ ≥^4 /^3 }.
- Se f (x) = 4x − 3, mostre que f (2x) = 2f (x) + 3.
- Quais os dom´ınios de f (x) = (^) x−^18 e g(x) = x^3? Determine o dom´ınio de h(x) = f (g(x)). D(f ) = R − { 8 }, D(g) = R e D(h) = R − { 2 }
- Se f (x) = 1 − x, mostre que f (f (x)) = x.
- Se f (x) = axx−+ab , mostre que f (f (x)) = x.
- Se f (x) = ax, mostre que f (x) + f (1 − x) = f (1). Verifique tamb´em que f (x 1 + x 2 ) = f (x 1 ) + f (x 2 ), para todos x 1 , x 2 ∈ R.
- Caracterize as seguintes fun¸c˜oes como sobrejetora, injetora, bijetora, ou nenhuma delas: (a) f : R → R, f (x) = 3x + 5 bijetora; (b) g : R → R, g(x) = x^2 − 9 nenhuma delas; (c) h : A → A, h(x) = x^2 + 4, A = {x ∈ R/x ≥ 4 } injetora; (d) ϕ : {x ∈ R/x ≥ 0 } → R, ϕ(x) = 53 x^2 injetora.
- Determine se as seguintes fun¸c˜oes s˜ao pares, ´ımpares ou nenhuma delas: (a) f (x) = 2x^5 + 3x^2 nenhuma delas; (b) g(x) = 3 − x^2 + 2x^4 par; (c) h(x) = 1 − x nenhuma delas; (d) ϕ(x) = x + x^3 ´ımpar. 2
- Suponha f (x) uma fun¸c˜ao ´ımpar e g(x) uma fun¸c˜ao par.
(a) Podemos falar algo sobre a paridade de Q(x) = f g^ ((xx)) e P (x) = f (x)g(x)? (b) Sabendo que sen(x) ´e fun¸c˜ao ´ımpar e cos(x) ´e par, o que podemos falar sobre tg(x)? Resposta: Todas ´Impares.
- Resolva as seguintes equa¸c˜oes: Respostas (a) 2 x^ = 16 { 4 } (b) 4 x^ = (^12 )x^2 −x^ {− 1 , 0 } (c) (3x)x+3^ = 9x+6^ { 3 , − 4 } (d) 2. 5 x^ + 3. 5 x+1^ = 17 { 0 } (e) 2. 6 x^ + 3. 6 x−^1 − 4. 6 x−^1 = 11 { 1 } (f) 9 |x|^ − 4. 3 |x|^ + 3 = 0 {− 1 , 0 , 1 }
- Resolva as inequa¸c˜oes: Respostas (a) 73 x−^2 < 49 S = {x ∈ R|x < 43 } (b) 8 x^3 +^23 ≤ 32 x−^2 S = {x ∈ R|x ≥ 3 } (c) (^53 )x^2 +10^ ≥ (^53 )^7 x^ S = {x ∈ R|x ≤ 2 ou x ≥ 5 } (d) √^32 x+1^ < 16 S = {x ∈ R|x < 11 }
- Dadas as fun¸c˜oes f (x) = (^13 )x^2 +7^ e g(x) = (^13 )^5 x+1, determine x real de modo que se tenha: Respostas (a) f (x) = g(x) x = 2 ou x = 3 (b) f (x) > g(x) 2 < x < 3
- Resolva o seguinte sistema
{ (^8) x. 4 y (^) = 1 4 x. 2 −y^ = 24. Resposta: x = 0, y = − 1
- Dado o sistema
{ (^5) x−y (^) = 1 3 x+y^ = 243125. , calcule o valor de (xy)^3.^ Resposta: 64
- Resolva a equa¸c˜ao ((1024x)x)x^ = 2^1 ,^25 Resposta: {^12 }
- Seja f (x) = 3x^ − 94 x uma fun¸c˜ao de vari´avel real. Determine o conjunto que cont´em todos os valores reais de x para os quais f (x) = f (x − 1). Resposta: S = { 1 }
- Resolva o seguinte sistema
{ (^2) x (^) + 3y (^) = 11 2 x^ − 3 y^ = 5. Resposta:^ x^ = 3,^ y^ = 1
- Uma popula¸c˜ao de bact´erias no instante t ´e dada pela fun¸c˜ao f (t) = C. 4 kt, em que t ´e dado em minutos. Experimentalmente, verifica-se que e a popula¸c˜ao depois de 1 minuto era de 64 bact´erias e depois de 3 minutos, de 256. Determine a popula¸c˜ao inicial (isto ´e, quando t = 0). Resposta: 32 3
- Determine a) cos (π 2 − x), sendo que senx = 23 b) sen(π 2 − x), sendo que cos x = (^15) R: a) 2/ 3 b) 1/ 5
- Determine o dom´ınio de f (x) = tg( − x 3 ). R: {x ∈ R/x 6 = 32 (2n + 1)π, n = 0, 1 , 2 , · · ·}
- Na fun¸c˜ao f (x) = tg(mx), determine o valor de m tal que o per´ıodo da fun¸c˜ao seja π. R: m = 1
- Determine o que se pede em cada caso: (a) cotgx, sendo senx = −√ 23 e cos = 12 ; R: − 1 /√ 3 (b) tgx, sendo cotgx = 3; R: 1/ 3 (c) secx, sendo cosx = 23 ; R: 3/ 2 (d) cosx, sendo secx = −5; R: − 1 / 5 (e) secx, sendo cosx = −√ 35 ; R: − 3 /√ 5 (f) cosx, sendo secx = √7; R: 1/√ 7 (g) cossecx, sendo senx = −√ 87 ; R: − 8 /√ 7 (h) senx, sendo cossecx = −10. R: − 1 / 10
- Determine o valor de m, e qual o quadrante do arco x, de modo que se tenha: a) senx = m+1 3 e cos x = m√ 3 5 R: m = 1, I b) cos x = √ 7 m 2 e^ senx^ =^ −^3 m 2 R:^ m^ =^ ±^1 /2, II ou IV
- Verifique as seguintes identidades: (a)secx + cotgx = (cscx)(cos x + tgx) (b)sec^2 x + csc^2 x = sec^2 x.csc^2 x (c)sen^2 (x) = 1 −cos(2 2 x) (d) cos^2 (x) = 1+cos(2 2 x)
- Determine o per´ıodo das seguintes fun¸c˜oes e esboce seus gr´aficos: a) f (x) = sen(7x) b) f (x) = cos(x 4 ) c) f (x) = tg(πx) R: a) T = 2π/ 7 b) T = 8π c) T = 1
- Verifique as seguintes igualdades: (a)senx = sen(π − x) (b) cos x = − cos(π − x) (c)tgx = −tg(π − x) (d)cotgx = −cotg(π − x) (e)secx = −sec(π − x) (f )cossecx = cossec(π − x)
- Verifique a paridade das seguintes fun¸c˜oes: a) f (x) = xn^ em que n ∈ N b) f (x) = tgx c) secx R: a) par, se n par e ´ımpar se n ´ımpar b) ´ımpar c) par
- Mostre que tg(2a) = (^1) −^2 tgatg (^2) a , com a 6 = π 4 + kπ.
- Resolva a equa¸c˜ao sen^2 x − 7 senx = −6. R: x = π 2 ± 2 nπ, n = 0, 1 , 2 , · · ·
5
SEGUNDA LISTA DE EXERCÍCIOS
- Em cada situação verifique se o limite existe. Caso exista calcule-o. a ) lim (^222)
2 2 − −
→ x x
x x x^ b )^3 lim|^3 | 3 −
→ x
x x c ) d ) ⎪⎩
⎪⎨⎧ − ≥
− ≤ <
− <− →− = ( 1 ) 1
1 1
2 1 lim ( ),emque () (^1) x (^2) se x x se x
x se x x f x f x x lim→ 0 x + x^4 −^2
- Calcule (^) h lim→ 0 f ( x o+ hh )^ − f ( x o^ ) em cada caso a seguir:
a) f ( x ) = x^3 b) f ( x ) = a x^2 + bx + c c) f ( x ) = x
- Calcule os limites indicados:
a ) (^) x lim→ 0 x sen⎜⎝⎛^1 x ⎟⎠⎞ b ) lim x → 1 ( x^3 −^1 )(sen⎜⎝⎛ x^1 − 1 ⎟⎠⎞+cos⎜⎝⎛^3 x ⎟⎠⎞^ +^10 ) c ) (^) x lim→∞^ sen xx d ) lim 2 3 43 94 5
3 2
→−∞ x x
x x x x e )^34 lim 4 9 5 3
4 2
→−∞ x x
x x x x f ) lim 2 4 43 94 5
3 2
→∞ x x
x x x x g )^5 lim^7 x → 5 + x − h ) lim ln( ) 0
x x
→^ −
i ) (^) x lim → −∞ ln(− x )
j ) lim x → 1 2 x + x 3 −−^15 k ) (^) t lim → 9 39 −^ − tt
l ) lim x → 0 1 + x^ x −^1 m )
6 3 lim 9 x 1
x x →∞ x
n )
6 3 lim 9 x 1
x x →−∞ x
x →+ x p ) lim ( 10 sen^2 cos )
1 0
e x x x x
− + →+
- Se existe o (^) x lim → 5 f ( x ), então (^) x lim → 5 f ( x )= f (5)? Comente sobre sua resposta.
- Determine constantes a , b e L para que a função abaixo seja contínua em IR.
2
bx para x
L parax
x xax parax f x.
- Calcule, se existirem, os seguintes limites:
(a) lim x→ 1 (x^3 − 3); (h) lim x→ (^32)
√ (^8) t (^3) − 27 4 t^2 − 9 ; (b) lim x→ 2 √x^4 − 8; (i) lim x→ (^342) xx (^33) −− 135 xx^22 − (^) + 4^2 xx^ − −^3 3 ; (c) lim x→ 2
√ (^) x (^3) + 2x + 3 x^2 + 5 ;^ (j) lim^ y→−^3
√ y (^2) − 9 2 y^2 + 7y + 3 ; (d) (^) xlim→− 3 x x^2 + 3 −^9 ; (k) lim h→ 5 √5 + hh − √ 5 ; (e) lim x→ 1333 xx^2 −− 1 x; (l) lim h→ 0
√3 + 3h − √ 3 h ; (f ) lim x→ 3 x x^3 −−^273 ; (m) lim x→ 2 x x^4 −−^162 ; (g) lim x→ 0
√x + 3 − √ 3 x ;^ (n) lim x→ 1
x − 1 x^2 − 1.
- Fa¸ca o esbo¸co do gr´afico de f (x) =
|x| se x < 4 6 se x = 4 − 4 x + 20 se x > 4 e observe no gr´afico o valor de lim x→ 4 f (x). H´a alguma diferen¸ca entre lim x→ 4 f (x) e f (4)?
- Seja f a fun¸c˜ao definida por f (x) =
{ (^2) x − 1 se x ̸= 2 1 se x = 2 (a) Encontre lim x→ 2 f (x) e verifique que lim x→ 2 f (x) ̸= f (2). (b) Fa¸ca um esbo¸co do gr´afico de f.
- Seja f a fun¸c˜ao definida por f (x) =
{ (^) x (^2) − 9 se x ̸= − 3 4 se x = − 3 (a) Encontre (^) xlim→− 3 f (x) e verifique que (^) xlim→− 3 f (x) ̸= f (3) (b) Fa¸ca um esbo¸co do gr´afico de f.
- Determine o valor de lim h→ 0 f^ (x^ +^ h h)^ −^ f^ (x)quando a) f (x) = x b) f (x) = x^2 c) f (x) = x^3.
- Nos ´ıtens a seguir, calcule os limites laterais pedidos e verifique se o limite (bilateral) existe. Caso exista dˆe seu valor. (a) f (x) = |x x| , (^) xlim→ 0 + f (x), (^) xlim→ 0 − f (x), lim x→ 0 f (x). (b) f (x) =
2 se x < 1 − 1 se x = 1 − 3 se x > 1 ; (^) xlim→ 1 + f (x), (^) xlim→ 1 − f (x), lim x→ 1 f (x)
(c) f (r) =
2 r + 3 se r < 1 2 se r = 1 7 − 2 r se r > 1 ;^ rlim→^1 +^ f^ (r),^ rlim→^1 −^ f^ (r), lim^ r→^1 f^ (r) (d) g(x) =
2 + x^2 se x < − 2 0 se x = − 2 11 − x^2 se x > − 2 ; (^) x→−lim 2 + f (x), (^) x→−lim 2 − f (x), (^) xlim→− 2 f (x)
- Dada f (x) = |x|x+ x. Existe lim x→ 0 f (x)?
- Dada f (x) = |x^2 x+ x|. Verifique se existem os limites abaixo e, caso existam, determine seus valores: a) (^) xlim→− 1 f (x) b) lim x→ 0 f (x).
- Calcule, se existirem, os seguintes limites:
(a) lim x→ 1 (x^3 − 3) = −2; (h) lim x→ (^32)
√ (^8) t (^3) − 27 4 t^2 − 9 =
√ (^9) 2 ; (b) lim x→ 2 √x^4 − 8 = 2√2; (i) lim x→ (^342) xx (^33) −− 13 5 xx^22 − (^) + 4^2 xx^ − −^3 3 =^1117 ; (c) lim x→ 2
√ (^) x (^3) + 2x + 3 x^2 + 5 =
√ (^5) 3 ;^ (j) lim^ y→−^3
√ y (^2) − 9 2 y^2 + 7y + 3 =
√ (^6) 5 ; (d) (^) xlim→− 3 x x^2 + 3−^9 = −6; (k) lim h→ 5 √5 + hh − √ 5 = √10 + √5; (e) lim x→ 1333 xx^2 −− 1 x =^13 ; (l) lim h→ 0
√3 + 3h − √ 3 h =
√ 3 2 ; (f ) lim x→ 3 x^3 x^ −−^273 = 27; (m) lim x→ 2 x x^4 −−^162 = 32; (g) lim x→ 0
√x + 3 − √ 3 x =
√ 3 6 ;^ (n) lim x→ 1
x − 1 x^2 − 1 =
1
f (x) =
|x| se x < 4 6 se x = 4 − 4 x + 20 se x > 4 xlim→ 4 f^ (x) = 4^ ̸=^ f^ (4) = 6
- f (x) =
{ (^2) x − 1 se x ̸= 2 1 se x = 2 xlim→ 2 f^ (x) = 3^ ̸=^ f^ (2) = 1.
- f (x) =
{ (^) x (^2) − 9 se x ̸= − 3 4 se x = − 3 xlim→− 3 f^ (x) = 0^ ̸=^ f^ (−3) = 4.
(a) Figura ex.2 (b) Figura ex.3 (c) Figura ex.
- a) 1 b) 2x c) 3x^2.
- (a) (^) xlim→ 0 + f (x) = 1, (^) xlim→ 0 − f (x) = −1, @ (^) xlim→ 0 f (x). (b) (^) xlim→ 1 + f (x) = −3, (^) xlim→ 1 − f (x) = 2, @ (^) xlim→ 1 f (x) (c) (^) rlim→ 1 + f (r) = (^) rlim→ 1 − f (r) = 5, lim r→ 1 f (r) = 5 (d) (^) x→−lim 2 + f (x) = 5, (^) x→−lim 2 − f (x) = 6, @ (^) xlim→− 2 f (x)
- @ (^) xlim→ 0 f (x), pois (^) xlim→ 0 + f (x) = 2 e (^) xlim→ 0 − f (x) = 0.
- a) (^) xlim→− 1 f (x) = 0 b) (^) xlim→ 0 + f (x) = 1, (^) xlim→ 0 − f (x) = −1, @ (^) xlim→ 0 f (x).
- Calcule os seguintes limites: (a) (^) x→lim+∞
( (^3) 2
)x (b) (^) x→lim+∞
( (^1) 2
)x (c) (^) x→lim+∞(2x^ − 2 −x) (d) (^) x→−∞lim (2x^ − 2 −x) (e) (^) x→lim+∞(2x^ − 3 x).
- Seja f (x) =
−x − 1 se x ≤ − 1 x^2 − 1 se − 1 < x ≤ 1 2 se x > 1 f ´e cont´ınua em x = 1? Em x = −1? Em x = 2? Em x = −3?
- Seja f (x) =
{ (^2) x + 3 se x ≤ 4 7 + (^16) x se x > 4 f^ ´e cont´ınua em^ x^ = 4?
- Seja f (x) =
{ (^) x− (^31) se x ̸= 1 3 se x = 1 f^ ´e cont´ınua em^ x^ = 1?
- Encontre os pontos x, caso existam, nos quais f ´e descont´ınua e dˆe as raz˜oes para esta poss´ıvel descontinuidade: (a) f (x) = √^3 x − 8; (b) f (x) = (^) xx 2 +2− 4 ; (c) f (x) = (^1) x + (^) xx 2 −−^11 (d) f (x) = x |x^2 |+9+
- Verifique se as fun¸c˜oes a seguir s˜ao cont´ınuas nos pontos indicados. Caso n˜ao sejam, determine as raz˜oes da descontinuidade. (a) f (x) = |x + 1| − 3 em x = −1; (b) f (x) = (^) x 2 x− 1 em x = −2 e em x = 1; (c) f (x) =
{ (^) −x − 2 se x ̸= 3 − 5 se x = 3 em^ x^ = 3.
- Encontre um valor para a constante k, se poss´ıvel, para que a fun¸c˜ao seja cont´ınua para todo x ∈ R.
(a) f (x) =
{ (^7) x − 2 se x ≤ 1 kx^2 se x > 1 (b) f (x) =
{ (^) kx (^2) se x ≤ 2 2 x + k se x > 2
- Encontre os valores das constantes k e m, se poss´ıvel, que para que seja cont´ınua para todo x ∈ R a fun¸c˜ao
f (x) =
x^2 + 5, se x > 2 , m(x + 1) + k, se − 1 < x ≤ 2 , 2 x^3 + x + 7, se x ≤ − 1.
- Dˆe exemplo de duas fun¸c˜oes f e g descont´ınuas em um certo ponto x = c tal que f + g seja cont´ınua neste ponto.
- E verdade que uma fun¸´ c˜ao cont´ınua que nunca ´e zero em um intervalo nunca muda de sinal nesse intervalo? Justifique sua resposta.
- Utilize o Teorema do Valor Intermedi´ario para mostrar que a equa¸c˜ao x^3 + x^2 − 2 x + 1 = 0 possui pelo menos uma solu¸c˜ao no intervalo [− 1 , 1].
- Mostre que, se p(x) ´e um polinˆomio de grau ´ımpar, ent˜ao e equa¸c˜ao p(x) = 0 possui pelo menos uma solu¸c˜ao real.
- (Contra¸c˜ao de Lorentz) De acordo com a teoria da relatividade, o comprimento de um objeto, por exemplo, de um foguete, parece a um observador depender da velocidade com que o objeto se desloca em rela¸c˜ao a esse observador. Se ele medir o comprimento L 0 do foguete em repouso e em seguida com a velocidade v, o comprimento parecer´a ser L = L 0 √ 1 − v c 22 , sendo c a velocidade da luz no v´acuo. O que acontece com L
a medida que v aumenta? Calcule (^) vlim→c− L. Por que ´e necess´ario tomar o limite laterala esquerda?
- C´alculo 1 - Limites - Gabarito Lista 2
- a) 3 b) 0 c)-1 d)@ e) +∞ f) 12 g) @ h) √ 63 i) 0 j)− 251 k) −∞ l) +∞ m) −∞ n) −∞ o) 0+^ p)+∞ q) 0−^ r) 0+^ s)-1 t) +∞ u) 12 v) −∞ w) +∞ x) +∞ y) +∞ z) 1 α) − 1 β) −∞ γ) 7 δ) 133 ϵ) (^) |a|b+a ε) 14 ζ) 7 η) −√ 2 θ) − 251 ϑ) 0−
- (a) N˜ao, pois (^) xlim→ 1 − f (x) = 4 e (^) xlim→ 1 + f (x) = 2. (b) f (x)g(x) =
{ (^) x (^4) + 3x (^2) se x ≤ 1 2 x + 2 se x > 1. xlim→ 1
(f (x).g(x)) (^) = 4
- a)
b) lim x→ 0 − f (x) = 2 (^) xlim→ 0 + f (x) = 0 @ (^) xlim→ 0 f (x) (^) xlim→ 2 − f (x) = 4 (^) xlim→ 2 + f (x) = 1 @ (^) xlim→ 2 f (x).
- a) cosx b) −senx c) f (x) = − (^) x^12.
- a) 2/ 5 b) 0.
- (^) xlim→ (^02) −^ xsen 2 cos(x()x) = 1.
- −M g(x) ≤ f (x).g(x) ≤ M g(x) ⇒ (^) xlim→ 0 −M g(x) ≤ (^) xlim→ 0 f (x).g(x) ≤ (^) xlim→ 0 M g(x) ⇒ −M (^) xlim→ 0 g(x) ≤ (^) xlim→ 0 f (x).g(x) ≤ M (^) xlim→ 0 g(x) ⇒ 0 ≤ (^) xlim→ 0 f (x).g(x) ≤ 0 ⇒ (^) xlim→ 0 f (x).g(x) = 0.
- |senx| ≤ 1 e (^) x→lim+∞ x^1 = 0 ⇒ (^) x→lim+∞^ senxx = 0.
- (a) Ass´ıntotas verticais: x = 3 e x = −3, Ass´ıntota horizontal: y = 0; (b) Ass´ıntota vertical: x = 1, Ass´ıntota horizontal: y = 0; (c) Ass´ıntota vertical: x = −2, Ass´ıntota horizontal: y = 1; (d) Ass´ıntota vertical: x = 0; (e) Ass´ıntota vertical: x = 1; (f) Ass´ıntota vertical: x = 0.
x→lim+∞ ax^ =
{ (^) +∞, se a > 1 0 , se 0 < a < 1 e^ x→−∞lim ax^ =
{ (^0) , se a > 1 +∞, se 0 < a < 1
- (a) +∞ (b) 0 (c) +∞ (d) −∞ (e) −∞
