Baixe Álgebra Linear: Sistemas de Equações Lineares - Exercícios Resolvidos e outras Exercícios em PDF para Matemática, somente na Docsity!
- Escreva cada um dos sistemas abaixo na forma matricial:
(a)
2 x + 8 y = 18 2 x + 2 y − 3 z = 3 x + 2 y + 7 z = 12
, (b)
2 x 1 + 3 x 2 + x 4 = − 2 4 x 1 + 5 x 2 +3x 3 +3x 4 = − 2 − 2 x 1 − 6 x 2 +7x 3 +7x 4 = − 16 8 x 1 + 9 x 2 +5x 3 +21x 4 = − 66
(c)
8 x + 12 y − 4 z = − 36 6 x + 5 y + 7 z = 11 2 x + y + 6 z = 16
, (d)
4 x 1 +2x 2 +x 3 = 6 − 4 x 1 − 6 x 2 +x 3 +3x 4 = 13 8 x 1 +16x 2 − 3 x 3 − 4 x 4 = − 20 20 x 1 +10x 2 +4x 3 − 3 x 4 = 15
- Resolva os seguintes sistemas lineares utilizando o M´etodo da Matriz Inversa:
(a)
8 x + 12 y − 4 z = − 36 6 x + 5 y + 7 z = 11 2 x + y + 6 z = 16
, (b)
2 x − y − 3 z = 5 3 x − 2 y + 2 z = 5 5 x − 3 y − z = 16
- Resolva os seguintes sistemas utilizando o M´etodo de Gauss:
(a)
2 x − 3 y = 7 3 x + 5 y = 1 , (b)
2 x + 3 y − z = 1 3 x + 5 y + 2 z = 8 x − 2 y − 3 z = − 1
- Determine os valores reais de k, em cada um dos casos, tais que o sistema linear dado tenha: (i) uma ´unica solu¸c˜ao; (ii) infinitas solu¸c˜oes; (iii) nenhuma solu¸c˜ao:
(a)
x + y − z = 1 2 x + 3 y + kz = 3 x + ky + 3 z = 2
, (b)
kx + y + z = 1 x + ky + z = 1 x + y + kz = 1
(c)
x + 2 y + kz = 1 2 x + ky + 8 z = 3 , (d)
x + y + kz = 2 3 x + 4 y + 2 z = k 2 x + 3 y − z = 1
- Determine os valores reais de k, em cada um dos casos, para que o sistema linear dado admita solu¸c˜ao n˜ao-trivial:
(a)
x − y − z = 0 x − 2 y − 2 z = 0 2 x + ky + z = 0
, (b)
2 x − 5 y + 2 z = 0 x + y + z = 0 2 x + kz = 0
MTM 3121 Álgebra Linear - Semestre 2022/
Lista 2 Sistemas de Equações lineares
- Determine os valores reais de a e b para que o sistema linear
x + y − 2 z = 0 2 x + y + z = b x + ay + z = 0 tenha: (a) uma ´unica solu¸c˜ao; (b) infinitas solu¸c˜oes; (c) nenhuma solu¸c˜ao:
- Determine os valores reais de k, em cada um dos casos, para que o sistema linear dado seja compat´ıvel.
(a)
− 4 x + 3 y = 2 5 x − 4 y = 0 2 x − y = k
, (b)
a 1 + 2 a 2 = − 1 − 3 a 1 + 4 a 2 = k 2 a 1 − a 2 = − 7
- Considere a matriz A =
λ 0 1 1 λ − 1 0 0 0 λ + 1
, encontre os valores reais de λ para os quais
o sistema homogˆeneo AX = 0 admite apenas a solu¸c˜ao trivial.
- Sejam
A =
, X =
x 1 x 2 x 3
, B 1 =
, B 2 =
, B 3 =
(a) Determine, se poss´ıvel, a inversa de A. (b) Utilize o item (a) para resolver a equa¸c˜ao matricial AX = Bk para k = 1, 2 , 3.
- Determine a condi¸c˜ao que os n´umeros reais a, b e c devem satisfazer para que, em cada um dos casos abaixo, o sistema dado tenha solu¸c˜ao.
(a)
x + 2 y − 3 z = a 2 x + 6 y − 11 z = b x − 2 y + 7 z = c
, (b)
x + 2 y − 3 z = a 3 x − y + 2 z = b x − 5 y + 8 z = c
(c)
x − 2 y + 4 z = a 2 x + 3 y − z = b 3 x + y + 2 z = c
, (d)
3 x − 7 y = a x + y = b 5 x + 3 y = 5 a + 2b x + 2 y = a + b − 1
(e)
x + 2 y = a − 3 x + 4 y = b 2 x − y = c
- Considere o sistema linear
ax + by = e cx + dy = f
Mostre que:
(m)
x + 2 y + 3 z = − 6 2 x − 3 y − 4 z = 15 3 x + 4 y + 5 z = − 8
, (n)
3 x + 2 y + z = 2 4 x + 2 y + 2 z = 8 x − y + z = 4
(o)
2 x + 3 y = 13 x − 2 y = 3 5 x + 2 y = 27
, (p)
x + 4 y − z = 12 3 x + 8 y − 2 z = 4
(q)
x + 3 y = − 4 2 x + 5 y = − 8 x + 3 y = − 5
, (r)
2 x − y + z − t = 4 3 x + 2 y − z + 2 t = 1 2 x − y − z − t = 0 5 x + 2 t = 1
(s)
3 x + 3 y − 2 z − t = 2 5 x + 2 y + z − 2 t = 1 2 x − y + 3 z − t = − 1
, (t)
x + 2 y − 5 z + 4 t = 0 2 x − 3 y + 2 z + 3 t = 0 4 x − 7 y + z − 6 t = 0
(u)
x + 5 y + 4 z − 13 t = 3 3 x − y + 2 z + 5 t = 2 2 x + 2 y + 3 z − 4 t = 1
, (v)
x + 2 y − 3 z + 2 t = 2 2 x + 5 y − 8 z + 6 t = 5 3 x + 4 y − 5 z + 2 t = 4
(x)
x + 3 y + 2 z + 3 t − 7 w = 14 2 x + 6 y + z − 2 t + 5 w = − 2 x + 3 y − z + 2 w = − 1
- Determine k, nos seguintes casos, de acordo com o que se pede.
(a) De modo que o sistema linear
− 4 x 1 + 3 x 2 = 2 5 x 1 − 4 x 2 = 0 2 x 1 − x 2 = k
admita solu¸c˜ao. (b) De modo que o sistema linear homogˆeneo
2 x 1 − 5 x 2 + 3 x 3 = 0 x 1 + x 2 + x 3 = 0 2 x 1 + kx 3 = 0
tenha uma solu¸c˜ao distinta da solu¸c˜ao trivial. (c) Que torne o sistema linear
3 x 1 + 5 x 2 + 12 x 3 − x 4 = − 3 x 1 + x 2 + 4 x 3 − x 4 = − 6 2 x 2 + 2 x 3 + x 4 = 5 2 x 3 + kx 4 = 9
incompat´ıvel.
- Decida se a afirma¸c˜ao dada ´e (sempre) verdadeira ou (`as vezes) falsa. Justifique sua resposta dando um argumento l´ogico matem´atico ou um contra-exemplo.
(a) ( ) Se o sistema linear AX = 0 admite as solu¸c˜oes X 1 e X 2 , ent˜ao tamb´em admite k 1 X 1 + k 2 X 2 como solu¸c˜ao, quaisquer que sejam os n´umeros reais k 1 e k 2. (b) ( ) Uma condi¸c˜ao necess´aria e suficiente para que o sistema linear AX = 0 tenha somente a solu¸c˜ao trivial ´e que det A 6 = 0. (c) ( ) Todo sistema linear homogˆeneo admite a solu¸c˜ao trivial. (d) ( ) Se X 1 e X 2 s˜ao solu¸c˜oes do sistema linear AX = 0, ent˜ao X 1 − X 2 ´e solu¸c˜ao de AX = 0. (e) ( ) Se C ´e uma matriz invert´ıvel tal que CA = CB, ent˜ao os sistemas lineares AX = b e BX = b s˜ao equivalentes. (f) ( ) Se A ´e uma matriz tal que AT^ A = A, ent˜ao os sistemas lineares AX = b e A^2 X = b s˜ao equivalentes.
- Uma refinaria de petr´oleo processa dois tipos de petr´oleo: com alto teor de enxofre e com baixo teor de enxofre. Cada tonelada de petr´oleo de baixo teor necessita de 5 minutos no setor de mistura e 4 minutos no setor de refinaria; j´a o petr´oleo com alto teor s˜ao necess´arios 4 minutos no setor de mistura e 2 minutos no setor de refinaria. Se o setor de mistura est´a dispon´ıvel por 3 horas, e o setor de refinaria por 2 horas, quantas toneladas de cada tipo de combust´ıvel devem ser processadas de modo que os dois setores n˜ao fiquem ociosos?
- Um fabricante de pl´astico produz dois tipos de pl´astico: o normal e o especial. Para produzir uma tonelada de pl´astico normal s˜ao necess´arias duas horas na f´abrica A e 5 horas na f´abrica B; j´a na produ¸c˜ao de uma tonelada de pl´astico especial s˜ao necess´arias 2 horas na f´abrica A e 3 horas na f´abrica B. Se a f´abrica A funciona 8 horas por dia e a f´abrica B funciona 15 horas por dia, quantas toneladas de cada tipo de pl´astico devem ser produzidas diariamente para que as duas f´abricas se mantenham totalmente ocupadas?
- Um nutricionista est´a elaborando uma refei¸c˜ao que contenha os alimentos A, B e C. Cada grama do alimento A cont´em 2 unidades de prote´ına, 3 unidades de gordura e 4 unidades de carboidrato. Cada grama do alimento B cont´em 3 unidades de prote´ına, 2 unidades de gordura e 1 unidade de carboidrato. J´a o alimento no alimento C encontramos 3 unidades de prote´ına, 3 unidades de gordura e 2 unidades de carboidrato. Se a refei¸c˜ao deve fornecer exatamente 25 unidades de prote´ına, 24 unidades de gordura e 21 unidades de carboidrato, quantos gramas de cada tipo de alimento devem ser utilizados?
- Um cooperativa produz trˆes tipos de ra¸c˜ao: X, Y e Z, utilizando farelo de soja, gordura animal e milho. Cada quilograma da ra¸c˜ao A cont´em 100 g de farelo de soja e 200 g de milho e n˜ao cont´em gordura animal; cada quilograma da ra¸c˜ao B cont´em 300 g de farelo de soja, 100 g de gordura animal e 400 g de milho; cada quilograma da ra¸c˜ao C cont´em 200 g de farelo de soja, 200 g de gordura animal e 100 g de milho.
Comprando-se x quilos do produto X, y quilos do produto Y e z quilos do produto Z em qualquer dos supermercados pagarei R$31, 00. Determine x, y e z.
- Uma firma fabrica dois produtos: A e B. Cada um deles passa por duas m´aquinas: I e II. Para se fabricar uma unidade de A gasta-se 1h da m´aquina I e 1, 5 h da m´aquina II. Cada unidade de B gasta 3h de I e 2h de II. Quantas unidades de cada produto poder˜ao ser fabricadas em um mˆes se, por motivos t´ecnicos, I s´o funciona 300 horas e II s´o 250 horas por mˆes?
- Dois metais x e y s˜ao obtidos de dois tipos de min´erios I e II. De 100Kg de I se obt´em 3 gramas de x e 5 gramas de y e de 100Kg de II obt´em-se 4 gramas de x e 2, 5 gramas de y. Quantos quilos de min´erio de cada tipo ser˜ao necess´arios para se obter 72 gramas de x e 95 gramas de y, usando-se simultaneamente os dois min´erios?
- Trˆes pessoas jogam juntas. Na primeira rodada a primeira perde para cada um dos outros dois a mesma quantia que cada um deles tinha no in´ıcio do jogo. Na segunda rodada, a segunda pessoa perde para cada um dos outros a mesma quantia que eles tinham no final da 1a rodada. Na terceira rodada, o 1◦^ e o 2◦^ jogadores ganham do 3◦^ a mesma quantia que cada um tinha no final da segunda rodada. Neste momento, os jogadores verificaram que cada um deles possui R$24, 00. Quanto cada jogador tinha ao come¸car o jogo?
- Uma ind´ustria produz trˆes produtos, A, B e C, utilizando dois tipos de insumos, X e Y. Para a manufatura de cada quilo de A s˜ao utilizados 1 grama do insumo X e 2 gramas do insumo Y ; para cada quilo de B, 1 grama do insumo X e 1 grama do insumo Y e, para cada quilo de C, 1 grama do insumo X e 4 gramas do insumo Y. O pre¸co da venda do quilo de cada um dos produtos A, B e C ´e de R$2, 00, R$3, 00 e R$5, 00, respectivamente. Com a venda de toda a produ¸c˜ao de A, B e C manufaturada com 1 quilo de X e 2 quilos de Y , essa ind´ustria arrecadou R$2500, 00. Determine quantos quilos de cada um dos produtos A, B e C foram vendidos.
- Cada ra¸c˜ao cont´em as seguintes unidades de prote´ınas (P ), carboidratos (C) e gorduras (G).
P C G (1) 1 0 2 (2) 3 1 4 (3) 2 2 1
Se as quantidades de prote´ınas (P ), carboidratos (C) e gorduras (G) que a cooperativa tem dispon´ıvel, nos meses de dezembro e janeiro, s˜ao mostradas na tabela abaixo, qual a quantidade de cada tipo de ra¸c˜ao ´e produzido em cada mˆes?
Quant./mˆes P C G Dezembro 15 10 14 Janeiro 13 5 17
- (a)
x y z
; (b)
x 1 x 2 x 3 x 4
- (a) S = {(0, − 2 , 3)} (b) det A = 0, logo n˜ao ´e poss´ıvel utilizar o m´etodo da matriz inversa para resolver o sistema. Mas utilizando outro m´etodo, percebemos que o sistema ´e imposs´ıvel, ou seja, n˜ao admite solu¸c˜ao.
- (a) S = {(2, −1)}. (b) S = {(3, − 1 , 2)}.
- (a) (i) k 6 = −3 e k 6 = 2 (ii) k = 2; (iii) k = −3. (b) (i) k 6 = 1 e k 6 = −2; (ii) k = 1; (iii) k = −2. (c) (i) para nenhum k ∈ IR; (ii) k 6 = 4; (iii) k = 4. (d) (i) k 6 = 3; (ii) k = 3; (iii) para nenhum k ∈ IR.
- (a) k = 1 (b) k = 2.
- (a) a 6 = 25 e b ∈ IR; (b) a = 25 e b = 0; (c) a = 25 e b 6 = 0.
- (a) k = − 6 (b) k = 13.
- S = {λ ∈ IR; λ 6 = 0, λ 6 = − 1 , e λ 6 = 1}.
- (a) det A = − 1 6 = 0 logo, existe A−^1 e A−^1 =
(b) S 1 = {(− 1 , − 5 , 4)}; S 2 = {(− 1 , − 5 , −3)}; S 3 = {(2, − 8 , 4)}.
- (a) − 5 a + 2b + c = 0; (b) 2a − b + c = 0; ; (c) para quaisquer a, b e c em IR;
(d) a = 2 e b = 4; (e) −a + b + 2c = 0;.
- (a) Se ad − bc 6 = 0, ent˜ao a matriz dos coeficientes do sistema ´e invers´ıvel, logo ter´a uma
´unica solu¸c˜ao dada por
[
x y
]
= A−^1
[
e f
]
= (^) ad−^1 bc
[
d −b −c a
] [
e f
]
de−bf ad−bc af −ce ad−bc
Respostas
Devem processadas 20t de cada tipo de combustivel.
1, 5 T de pl´astico normal e 2, 5 T de pl´astico especial.
Devem ser utilizadas 3, 2 g de A, 4, 2 g de B e 2g de C.
(a) Os pesos de nado, corrida e ciclismo seguem a seguinte propor¸c˜ao, respectivamente, 4 3 : 1 : 1. (b) Ele ficaria empatado com o primeiro colocado.
x = 5, y = 3 e z = 2.
Poder˜ao ser fabricadas 60 unidade de A e 80 unidades de B.
Ser˜ao necess´arios 1. 600 Kg do min´erio de tipo I e 600Kg do min´erio de tipo II.
O jogador A tinha R$39, 00, o jogador B tinha R$21, 00 e o jogador C tinha R$12, 00.
Foram vendidos 700Kg do produto A, 200Kg do produto B e 100Kg do produto C.
Em dezembro foram produzidos 1 unidade da ra¸c˜ao 1, 2 unidades da ra¸c˜ao 2 e 4 unidades da ra¸c˜ao 3. J´a em janeiro foram produzidos 2 unidades da ra¸c˜ao 1, 3 unidades da ra¸c˜ao 2 e 1 unidade da ra¸c˜ao 3.
