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MAT- 002 — CÁLCULO 2 — 2008 - ECA — ECO — EEL. "PROF. SEBASTIÃO FERNANDES CAPÍTULO 1 - FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 01.Representar graficamente as superfícies abaixo nas regiõês indicadas: 02. os. a)x +») =2x,com 2>0 . Resp: Cilindro com eixo paralelo-ao eixo z, :* b)y=z-1 ,comy20 Resp: Cilindro parabólico no c) 2º +xº =4 no 1º octante Resp: Cilindro com eixo coincidênie ao eixo y o : : “ d)x+2=2 Resp: Plano paralelo ao eixo y é e) 3x+2y+47=12 no 12 octante Resp: Plano oblíquo | Dz=9-9º—y? Resp: Parabolóide com vértice em z=9- Fazer um esboço do sólido obtido pela interseção do cilindro. x? + » =4 com plano gy N , supondo 2>0. Do os Dea Representar graficamente o conjunto de pontos (x,y,z) dados pela “interseção. das 2 2 : superfícies x +) +27! =a!e|x-2| +) =2 coma >0, no 1ºoctante: p Z y 4 1 04. Obter o dominio de cada função dada e esboçá-lo graficamente: a)z=Im(3x-y+1) Resp: y<3x+1 b)z= = ++? Resp: |x<1 0) z=/25-xº -y* Resp: x +) <25 (círculo) g)z= 2» Resp: y*2x ls y-2x . EA 3xºy , Dry Resp: x=0 e y=0 xl x1 f + Y) = arecos(2x — 4 Resp: ys>+— e yz>—-— 3 (6,3) (2x — 47) PySSt7 0 dzSg 9) Sey)=yp-x +)Zx—y Resp: y<2x e yzx 05. Calcule ya ção se wexisenl + yin E ate - Resp: Zu. x 3 [274 z x . 06. Calcule os valores de ne Z para que a equação. + =r'(icos.9 -1) satisfaça a Igualdade aro) ! Slsmodo)=o Resp: n=2 ou n=-3 r [od seng d0 fold) 07. 08. 09. io. 14. 12. 13. Sendo z nbr? +" ), calcule ro Resp: 1 x E £ calcular a + Eid . Resp: z o O Sez=— , e re” x Calcule n de modo que z =yte ? satisfaça a equação — aê] Resp: n ==. Mostre que: x +97? Vx+y [EA b) se z=senZ+InÊ , então sE Eco x vo * [Ed c) se coube [7 +57), então a vãos , a) sez= aê O 3 entãox—+y—=-z para yp>-x à “ô 2 d) se w=x'y+y'z+2'x , então Dedr= (ee yea) Achar z= f(x,)) se: ED eo+ e f)=2hxsesl Resp: z=In(e? + 3º )rei se à x+y ê 1 y » . EAR j Dare +2x e f(,y)=Inyre'+2y Resp: z=In(xy)+x!+e” +2p=1 x x o) G = cosx-rcosy e 155 ]-Eeosa+ar Resp: z= poos = xseny+4x d) Entry e fly)=3"+4y-3 Resp: 2=2º 1-2149243-2 XxX A relação entre a frequência de ressonância f de um circuito LC, a sua indutância L e sua 1 24 LC a) ache o erro relativo aproximado em f se as medidas da indutância e da. capacitância capacitância C é dada por f= Pede-se: « forem sujeitas a erros máximos de 1,25% e 0,75%, respectivamente. Resp: —1% b) ache o erro relativo em L, se a frequência tiver um erro de +0,5% € a capacitância tiver um erro de +1,5%. Resp: 42,5% . Encontre a variação percentual na altura de uma pirâmide regular de base quadrada quando a aresta da base sofre um acréscimo de 10% & o seu volume sofre uma diminuição de 12%. Resp: diminui de 32% 14. Ache a variação percentual no volume de um cilindro circular reto quando seú raio sofre um aumento de 12% e a sua altura diminui de 8%. Resp: aumenta de 15% sa 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 35. Dada a função z= x? +)? +2, em que x-e y são expressos em coordenadas polares r x e 6, calcular Ed no ponto ro)-(2:4). Resp: 6 . o 30 4 2 z 2 2 Sez=xy, x=rcos8 6 y=rseng, mostre que (E) E) (5) + & . o) rlos x 3% Se E. =) =0 para f diferenciável, mostre que 1£+ sã =z. xx ê “O Se ap+zx —zy? =0, verificar que rEssÊco. x [e Se f(x-az,y-bz)=0 calcule ap, Resp; 1 ê Oy Mostre que a função f(x,»,z)=3x -2y? +5xp+8az-z? verifica a equação diferencial de 2z Laplace para 3 dimensões —— cr, 2 or ê SE. 0. ox? “a? rs z Sendo w=9x +4y?, x=rcos8 é y=rseng , calcule o valor da expressão “= Dr e m para à = Resp: 13 Sendo z=xy, x=rcos8 e y=rseng, calcule g(r = Eis, dz FEM é ' Sd enzo lar “097 )' Resp: g(,9)=1-2* 2 2 2 Sez=x"+)*,x=e”cosg é y=e” seng, mostre que e?” cs, Bal dz Z, 8'z = 00º “56 [0 “a Sea, b, ce k são constantes, mostre que w=(acosex + bsencxje é uma solução da equação de calor Ed [Raia sã à . Se f(x,y)=(1+x)" (1+y)', calcular o valor das suas derivadas parciais de segunda ordem 2 2 . 2 no ponto 2(0,0). Resp: E =mfm-1) e =mns E =n(n=1) é — y - Achar o valor de. 2 . » “ Sejam as funções w=x"+y" +27”, x=uvcosó, y=uvsend e z= ow ” —— ho ponto (u,v,6)=|3,5,— |. Resp: 30 doe no porto (1,n,6)=[35,%) p do 36. 37. 38. 39. 40. 41. Determine os pontos de Máximo Relativo, Mínimo Relativo ou de Sela para as funções. a) f(x, p)=12xp-4xºy 3? Resp: (0,0) (sela) ; (0,4) (sela); (3,0) (sela); (13) (máximo) b) Slov)=="+ay? 6a (4>0) Resp: (0,0) (sela) ; (62,184) (mínimo) c) z=/(3-x—») Resp: (0,0) (sela) ; (3,0) (sela) ; (0,3) (sela) : (1,1) (máximo) d)z= ee? -29?) Resp: (0,0) (sela) ; (--4,-2) (máximo) e) Fx y)==" +" -3x-124+20 Resp: (1,2) (minimo) ; (-1,-2) (máximo) ; (1-2) (sela); (-1,2) (seia) Achar os pontos críticos da função f(x,y)=4x! -2x?y-x e mostre que essa função não possui extremos relativos. : ; Achar os pontos críticos da função f(x,y)=25-x? - y?, sujeita à restrição +? (p= 2) =4, Resp: (0,0) e (0,4) Uma placa de metal é aquecida de modo que a sua temperatura num ponto (x;») € dada por T(x, )=64(8xº -20+39º +29+3) *C. Encontre os pontos críticos cessa função e classifique-os. Considere a função d(x,y)=2xº -xy* e seja 7 um vétor com origém no ponto P(23) e extremidade no ponto o(6,5). Pede-se: . a) o gradiente de no ponto (2,3); Resp: Vj=27-2;+4k b) a derivada direcional de é no ponto (2,3) e na direção à. Resp: D;d=2 Seja a superficie f(x,y,z)=x"-2y? +22? 11, Pede-se: a) o gradiente de fno ponto P(2,1,3). Resp: Vf=47-47+6F . . b) mostrar que a derivada direcional de f no ponto P, na direção que vai do ponte P ag ponto Q(- 2,1,6) é igual a 5 c) a direção de maior crescimento da função a partir do ponto P. - Resp: à = 27 2: F 7 Ni 
