Lista de Exercícios de Linear, Exercícios de Geometria Analítica e Álgebra Linear

Baixe Lista de Exercícios de Linear e outras Exercícios em PDF para Geometria Analítica e Álgebra Linear, somente na Docsity! Universidade Federal da Campina Grande Departamento de Engenharia Elétrica Álgebra Linear Prof. Edmar Candeia Gurjão Primeira Lista de Exerćıcios Problema 1 Calcule as inversas das seguintes matrizes: a) [ 1 a 0 1 ] , b)  1 a b0 1 c 0 0 1 , c)  0 1 11 0 1 1 1 0  e d)  1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 . Solução: a) det [ 1 a 0 1 ] = 1, log a matriz tem inversa, e A−1 = [ ∆11 ∆21 ∆12 ∆22 ] = [ (−1)1+1.1 (−1)2+1a (−1)1+20 (−1)2+11 ] = [ 1 −a 0 1 ] b) A matriz é diagonal, logo det(A) = 1, e a inversa existe: A−1 =  ∆11 ∆21 ∆31∆12 ∆22 ∆23 ∆13 ∆23 ∆33  =  (−1)1+1det [ 1 c 0 1 ] (−1)2+1det [ a b 0 1 ] (−1)3+1det [ a b 1 c ] (−1)1+2det [ 0 c 0 1 ] (−1)2+2det [ 1 b 0 1 ] (−1)3+2det [ 1 b 0 1 ] (−1)1+3det [ 0 1 0 0 ] (−1)2+3det [ 1 a 0 0 ] (−1)3+1det [ 1 a 0 1 ]  =  1 −a ac− b0 1 −c 0 0 1  . c) det(A) = 0, logo não existe inversa. d) Matriz indentidade A−1 = A. Problema 2 Sejam as matriz A =  1 0 −1 2 0 3 1 −1 2 4 0 3 −3 1 −1 2 , B =  1 2 3 −1 0 −2 4 1  e C = [ 3 −2 0 5 1 0 −3 4 ] . Responda: a) D = ABC existe? Se existe determine d34; b) E = BAC existe? Se existe determine e22; c) F = BCA existe? Se existe determine f43; d) G = ACB existe? Se existe determine g31; Solução: A4×4, B4×2 e C2×4. 1 a) D = A4×4.B4×2.C2×4 existe, e ... b) E = B4×2.A4×4.C2×4 não existe. c) F = B4×2.C2×4.A4×4 existe e ... d) G = A4×4.C2×4.B4×2. não existe. Problema 3 Uma matriz é dita ser ortogonal se A−1 = AT . Determine x, y, z de modo que a matriz abaixo seja ortogonal. A =  1 0 00 1√ 2 1√ 2 x y z  Solução: det  1 0 00 1/√2 1/√2 x y z  = z√ 2 − y√ 2 Para que A−1 exista z√ 2 − y√ 2 6= 0. E a inversa é det  1 0 00 1/√2 1/√2 x y z  = z√ 2 − y√ 2 Problema 4 Determine as condições para o parâmetro c que permitam as matrizes se- rem inverśıveis: a) [ 1 2 c −1 ] b)  1 2 c+ 10 1 1 0 0 c  Problema 5 Encontre o determinante e a inversa de cada um das matrizes: a)  2 1 01 1 −1 0 1 2  b)  2 1 01 1 −1 0 −1 2  Problema 6 Seja A =  2 0 100 7 + x −3 0 4 x . Encontre valores de x para que A seja in- verśıvel. Problema 7 Suponha que X e Y são matrizes 3× 3 tais que det(X) = 7 e det(Y ) = 10. Encontre det(2(Y X)T (XY )−1). Problema 8 Em cada um dos casos abaixo realize a multiplicação das matrizes: a) Uma matriz simétrica m×m, com m > 2 por uma matriz triangular superior n×n. 2 Problema 23 Determine a inversa das seguintes matrizes, caso necessário indique as condições para que a inversa exista. a) A =  a 0 01 a 0 0 1 a . b) B =  x 0 41 x 1 1 1 1 , sendo x o último número da sua matŕıcula. Problema 24 Escreva cada uma das matrizes abaixo na forma escada, e determine o posto e a nulidade de cada uma delas. a) A =  3 55 −2 2 4 . b) B =  3 −2 −12 −1 −1 4 3 −1  Problema 25 Considere que os elementos de uma matriz 3×3 são da forma aij = i+ j, e realize as seguintes operações: 1. A soma de uma matriz diagonal com uma matriz triangular superior subtráıdo de uma matriz simétrica. 2. A multiplicação de uma matriz simétrica por uma matriz anti-simétrica. 3. A transposta de uma matriz somada com 3 vezes a matriz identidade. Problema 26 Escreva a matriz abaixo na forma escada, determine seu posto e nulidade. A =  4 −3 5 6−8 5 −1 3 −4 −2 0 7 . Problema 27 Calcule o determinante da matriz A =  4 −3 1−1 5 −1 0 −2 0 . Problema 28 Se posśıvel, encontre a inversa de cada uma das matrizes: a) [ 1 3 −2 6 ] b)  1 2 30 2 3 1 2 4  Problema 29 Calcule os determinantes das seguintes matrizes: a)  2 1 −30 1 2 −4 2 1  b)  0 1 −2−1 3 1 2 −2 3  c)  2 2 −3 1 0 1 2 −1 3 −1 4 1 2 3 0 0  Problema 30 Determine quais das seguintes matrizes são inverśıveis: a)  4 3 −5−2 1 3 4 6 2  b)  2 2 −41 5 2 3 7 2  c)  0 1 21 2 0 1 3 4  5 Problema 31 Uma matriz A é dita simétrica se aij = aji. Mostre que se A é simétrica, então a matriz adj(A) também é simétrica. Problema 32 Encontre as inversas das seguintes matrizes ou mostre as que não tem inversa: a)  1 −1 10 2 0 −1 0 1  b) [ cos θ − sin θ sin θ cos θ ] c)  2 −2 10 2 0 2 0 1  Solução: a) O determinante da matriz é 4, logo tem inversa. Para calcular a inversa vamos fazer: A−1 = 1 det(A)  (−1)22 0 (−1)42(−1)3(−1) (−1)42 (−1)5(−1) (−1)4(−2) (−1)52 (−1)62 T =  1/2 1/4 −1/20 1/2 0 1/2 1/4 1/2  b) O determinante da matriz é 1, logo tem inversa. A−1 = [ (−1)2 cos θ (−1)3 sin θ (−1)3(− sin θ) (−1)4 cos θ ]T = [ cos θ sin θ − sin θ cosθ ] c) O determinante da matriz é 0, logo não tem inversa. Problema 33 Mostre que a matriz abaixo é inverśıvel para todos os valores de θ, em seguida encontre a sua inversa. A =  cos θ senθ 0−senθ cos θ 0 0 0 1  Problema 34 Mostre que B = [ 1 1 1 2 ] é uma inversa de A = [ 2 −1 −1 1 ] . 6 Problema 35 Determine os valore de k para que o sistema abaixo tenha: a) uma única solução b) infinitas soluções c) nenhuma solução. 2x+ y − z = 0 −3x− 3z = 0 2kx+ (k + 1)y + (k − 2)z = 0 Problema 36 Determine condições nos parâmetros (δ, β) para que os sistemas abaixo tenha a) uma única solução, b) infinitas soluções e c) nenhuma solução. i) { δx+ 2y = 0 2x+ δy = 2 ii)  x− y − z = −1 x+ y − z = 1 3x− y + z = −1 x+ y + (β − 1)z = δ Problema 37 Resolva os seguintes sistemas de equações: 1.  2x1 + 3x2 = 7 x2 + x3 = 1 x2 − x3 = 1 2.  x1 + 6x2 − x3 = 4 x1 + x2 = 0 x2 = 1 3. { x1 − x2 = 2 x1 + 2x2 = 11 Problema 38 (2,0 pontos) Use a regra de Cramer para resolver os seguintes sistemas de equações lineares: a)  x+ y + z = 4 2x+ 2y + 5z = 11 4x+ 6y + 8z = 24 b) { x1 − 2x2 = 2 2x1 − x2 = 4 Problema 39 ((2,0 pontos)) Determine os valores de p e q para que o sistema abaixo tenha 1. solução única 2. não tenha solução 3. infinitas soluções  x1 + x3 + 2x4 = 1 x1 + x2 + 2x3 + x4 = 3 2x2 + 2x3 + px4 = q Problema 40 Para os sistemas abaixo, determine ov valores de a, b e c para que o sistema possua a) solução única, b) infinitas soluções, c) nenhuma solução. i)  x− y + z = a 2x− y + 3z = 2 x+ y + bz = 0 ii)  x− 2y + 7z = a x+ 2y − 3z = b 2x+ 6y − 11z = c Problema 41 Sem fazer contas, discorra sobre a existência e unicidade de soluções dos sistemas abaixo. No caso de soluções infinitas, determine ainda o número de variáveis livres. 7