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C¡LCULO DE UMA VARI¡VEL 8. APLICA«’ES DA INTEGRAL
COMPRIMENTO: FORMA CARTESIANA
- Calcule o comprimento de uma circunferÍncia de raio R: (resp.: L = 2R)
- Em cada caso, a curva È dada na forma cartesiana. Calcule L ( ) ; o comprimento do arco.
(a) : y = 1 ln (sen x) ; = 6 x = 4 : (resp.: L = ln[2 +
p 3)(
p 2 1)])
(b) : y =
x^3
12
x
; 1 x 2 : (resp.: L = 13= 12 )
(c) : y =
2 3
1 + x^2
; 0 x 3 : (resp.: L = 21)
(d) : x =
y^3
2
6 y
; 1 y 3 : (resp.: L = 118= 9 )
(e) : y =
p x (1 x=3) ; 0 x 3 : (resp.: L = 2
p 3 )
(f ) : (y + 1)
2 = (x 4)
3 ; 5 x 8 : (resp.: L = 271
80
p 10 13
p 13
)
COMPRIMENTO: FORMA PARAM…TRICA
- Calcule o comprimento de uma circunferÍncia de raio R; na forma parametrizada.(resp.: L = 2R)
- Considerando a parametrizaÁ„o x = a cos^3 t e y = a sen^3 t; 0 t 2 ; calcule o comprimento da
hipociclÛide de equaÁ„o x^2 =^3 + y^2 =^3 = a^2 =^3 : (resp.: L = 6a)
- Calcule a dist‚ncia percorrida por uma partÌcula entre os instantes t = 0 e t = 4, se sua posiÁ„o
P (x; y) no instante t vem dada por: x = 12 t^2 e y = 13 (2t + 1)
3 = 2 : (resp.: L = 12)
- Em cada caso, calcule o comprimento do arco indicado:
(a) : x = t^3 ; y = t^2 ; 1 t 3 : (resp.: L = 271 (
p 85 + 13
p 13 16))
(b) : x = et^ cos t; y = et^ sen t; 0 t 1 : (resp.: L =
p 2(e 1))
(c) : x = 2 (1 sen t) ; y = 2 (1 cos t) ; 0 t : (resp.: L = 2)
(d) : x = t cos t; y = t sen t; 0 t = 4 : (resp.: L = 2
p 1 + ^2 )
(e) : x = cos (2t) ; y = sen^2 t; 0 t : (resp.: L = 2
p 5 )
(f ) : x =
1 2 t
(^2) + t; y = 1 2 t
(^2) t; 0 t 1 : (resp.: L = 1
p 2 2 ln(
p 2 1))
2 C¡LCULO DE UMA VARI¡VEL MARIVALDO P. MATOS
COORDENADAS POLARES
- Localize no plano cartesiano os seguintes pontos dados em coordenadas polares (r; ) e, em seguida,
determine suas coordenadas cartesianas:
(a) A(2; =4) (b) B(2; 3 =2) (c) C(3; =6) (d) D(1; =4)
(e) E(2; 5 =6) (f ) F (1; =4) (g) G (2; 7 =6) (h) H (3; 13 =6)
- Determine as coodenadas polares dos pontos cujas coordenadas cartesianas (x; y) s„o:
(a) (1= 2 ; 1 =2) (b) (= 2 ; =2) (c) (
p 2 = 2 ;
p 2 =2) (d) (3; 3
p
(e) ( 1 ; 1) (f ) (1;
p
- (g) (
p 7 ; 3) (h) (0; 4)
- Passe para a forma polar r = f () as seguintes curvas, descritas na forma cartesianas:
(a) xy = 2 (b) x^2 + y^2 3 y = 0 (c) 3 x^2 + 5y^2 = 15
(d) x + 1 = 0 (e) x^2 y^2 = 1 (f ) y^2 4 x = 0:
- Passe para forma cartesiana (F (x; y) = 0) as seguintes curvas, dadas na forma polar r = f () :
Esboce graÖcamente as curvas.
(a) r = 2 + sen 2 (b) r = sen 2 (c) r =
1 + cos
(d) r = a cos (e) r = 5
(f ) r = 5 + 2 cos (g) r = 3 sec (h) r = 1 +
p 2 cos (i) r = 2 tan (j) r =
(k) r^2 = 23 a^2 cos (l) r = 1= (m) r =
1 cos
(n) r = 2 sen (o) =
- Determine, caso exista, a interseÁ„o entre os seguintes pares de curvas:
(a) r = 2 e r = 4 cos (b) r = 1 + cos e r = 1=3 (1 cos )
(c) r^2 = 4 sen 2 e r = 2
p 2 cos (d) = = 4 e r = 2 cos
COMPRIMENTO E ¡REA EM COORDENADAS POLARES
Em coordenadas polares, consideramos curvas descritas por uma equaÁ„o do tipo : r = f (),
sendo a funÁ„o f e sua derivada primeira contÌnuas, e o angulo varia no intervalo [ 1 ; 2 ].
O comprimento L e a ·rea A (D) s„o calculados, respectivamente, pelas fÛrmulas:
L =
Z 2
1
q f ()
2
2 d e A (D) = (^12)
Z 2
1
f ()
2 d:
Abaixo ilustramos a situaÁ„o geomÈtrica.
4 C¡LCULO DE UMA VARI¡VEL MARIVALDO P. MATOS
(a) y = x^4 2 x^2 ; y = 2x^2 ; x 0; eixo y: (resp.: vol( ) = 32= 3 )
(b) y = x^2 4 x; y = 0; eixo x: (resp.: vol( ) = 512= 15 )
(c) y =
p x; y = 0; x = 4; eixo x = 4: (resp.: vol( ) = 256= 15 )
(d) x^2 + y^2 = 1; eixo x = 2: (resp.: vol( ) = 4^2 )
(e) y =
p x; y = 0; x = 4; eixo y = 2: (resp.: vol( ) = 40= 3 )
(f ) y = x; y = 0; x = 2; eixo y: (resp.: vol( ) = 16= 3 )
(g) y = x^2 ; y = 4 x^2 ; eixo x: (resp.: vol( ) = 64
p 2 = 3 )
(h) xy = 1; y = 0; x = 1 e x = 2; eixo x: (resp.: vol( ) = = 2 )
- Calcule o volume delimitado pela esfera: x^2 + y^2 + z^2 = R^2 : (resp.: vol( ) = 43 R^3 )
- Calcule o volume delimitado pelo elipsÛide:
x^2
a^2
y^2
a^2
z^2
b^2
= 1: (resp.: vol( ) = 43 a^2 b)
- Calcule o volume delimitado pelo parabolÛide: z =
x^2
a^2
y^2
a^2
; z h: (resp.: vol( ) = 12 a^2 h^2 )
- Calcule o volume de um cilindro circular reto de raio R e altura h: (resp.: vol( ) = R^2 h)
- Calcule o volume de um cone circular reto de raio R e altura h: (resp.: vol( ) = 13 R^2 h)
- Uma regi„o D do plano xy È delimitada pelo tri‚ngulo de vÈrtices (0; 0) ; (h; 0) e (h; r), sendo h
e r n˙meros positivos. Calcule o volume do sÛlido resultante da rotaÁ„o da regi„o D em torno do
eixo x. E se a rotaÁ„o fosse em torno do eixo y? (resp.: vol( ) = r^2 h= 3 e vol( ) = 2rh^2 = 3 )
- Qual o volume do sÛlido obtido pela rotaÁ„o em torno do eixo x da regi„o do plano xy delimitada
pela par·bola y = x^2 ; pelo eixo x e pelas retas y = 2x 1 e y = x + 2? (resp.: vol( ) = 17= 30 )
- … feito um orifÌcio de raio 2
p 3 pelo centro de um sÛlido esfÈrico de raio R = 4. Calcule o volume
da porÁ„o retirada do sÛlido. (resp.: vol( ) = 224= 3 )
- Calcule o volume de um tronco de cone circular reto de altura h, raio da base inferior R e raio da
base superior r: (resp.: vol( ) = h=3(R^2 + r^2 + rR))
- Calcule o volume de uma calota determinada em uma esfera de raio r por um plano cuja dist‚ncia
ao centro da esfera È h, h < r: (resp.: vol( ) = 2r^3 =3 + h^3 = 3 r^2 h)
