UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARA´
IBA
CENTRO DE CIˆ
ENCIAS APLICADAS E EDUCAC¸ ˜
AO
DEPARTAMENTO DE CIˆ
ENCIAS EXATAS
C´
ALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II PER´
IODO: 2007.2
PROFESSOR: GIVALDO DE LIMA
INTEGRAIS IMPR ´
OPRIAS
Chamamos de Integrais Impr´oprias as integrais cujos limites de integra¸c˜ao n˜ao s˜ao n´umeros reais, ou
cujos integrandos apresentam descontinuidades.
Integrais com Limites de Integra¸c˜ao Infinitos:
Seja fuma fun¸c˜ao real cont´ınua e n˜ao-negativa em um intervalo infinito [a,+∞),tal que lim
x→+∞
f(x) = 0.
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x=ax=t
y=f(x)
•Se t > a, ent˜ao a ´area sob o gr´afico de f, de aat´e t, ser´a dada por:
´
Area = Rt
af(x)dx ⇒A(t) = Rt
af(x)dx
•Se lim
t→+∞
A(t) existe, ent˜ao a ´area da regi˜ao sob o gr´afico de fser´a dada por R+∞
af(x)dx .
•Se lim
t→+∞
A(t) = +∞,n˜ao podemos atribuir uma ´area a essa regi˜ao.
Em resumo, temos que:
•Se f´e cont´ınua em [a, +∞),ent˜ao R+∞
af(x)dx = lim
t→+∞Zt
a
f(x)dx , desde que o limite exista.
•Se f´e cont´ınua em (−∞, a],ent˜ao Ra
−∞ f(x)dx = lim
t→−∞ Za
t
f(x)dx , desde que o limite exista.
Exemplos: Determine se a integral converge ou diverge:
a) R+∞
1
dx
x3
Sabemos que R+∞
1
dx
x3= lim
t→+∞Zt
1
x−3dx = lim
t→+∞
(x−2
−2)
t
1= lim
t→+∞
[−1
2t2+1
2] = 1
2.Portanto, a integral
converge para 1
2.
b) R+∞
0
dx
1+x2
Temos que R+∞
0
dx
1+x2= lim
t→+∞Zt
0
dx
1 + x2= lim
t→+∞
(arctan x)
t
0= lim
t→+∞
(arctan t−arctan 0) =
= lim
t→+∞
(arctan t) = π
2.Portanto, a integral converge para π
2.
1
