MAT 00A / MAT001 Lista de Exerc´ıcios 5 Prof. Rodrigo Lima
1. Mostre que a equa¸c˜ao x3−15x+c= 0 tem no m´aximo uma raiz no intervalo [−2,2].
2. Existe uma fun¸c˜ao ftal que f(0) = −1, f(2) = 4 e f0(x)≤2 para todo x? Justifique.
3. Para cada fun¸c˜ao abaixo, encontre: i) as ass´ıntotas horizontais e verticais (caso existam); ii)
os intervalos nos quais a fun¸c˜ao ´e crescente ou decrescente; iii) os valores m´aximos e m´ınimos
locais; iv) os intervalos de concavidade e os pontos de inflex˜ao. Utilize todas as informa¸c˜oes
anteriores para esbo¸car o gr´afico.
a) f(x) = √xe−x
b) f(x) = 2 + 3x−x3
c) f(x) = x2−4
x2+ 4
4. Seja f(x) = x3+ax2+bx.
a) Se ftem o valor m´ınimo local de −2
3em x= 1/√3, quais s˜ao os valores das constantes
aeb?
b) Qual das tangentes `a curva do item a) possui a menor inclina¸c˜ao?
5. Mostre que as curvas y=e−xey=−e−xtocam a curva y=e−xsen xem seu ponto de
inflex˜ao.
6. Mostre que se ffor positiva e cˆoncava para cima em um intervalo I, ent˜ao a fun¸c˜ao dada por
g(x) = f(x)2´e cˆoncava para cima em I.
7. Mostre que se f(x) = x4, ent˜ao f00(0) = 0, mas (0,0) n˜ao ´e um ponto de inflex˜ao do gr´afico
de f.
8. Calcule os limites:
a) lim
x→0
x2
1−cos x
b) lim
t→0
e2t−1
sen t
c) lim
x→1
xa−ax +a−1
(x−1)2
d) lim
x→∞ √x e−x/2
